让操作更有探究的“脊梁”

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　著名心理学家皮亚杰说：“儿童的思维从动作开始，切断动作与思维的联系，思维就不能得到发展。”小学生的思维正处在以具体形象思维为主向抽象逻辑思维过渡的阶段，他们对数学的理解往往是从动手操作开始的。作为一种认识活动，操作一方面是手与眼协同活动，是对客观事物的动态感知过程；另一方面，又是手与脑密切沟通，把外部动作系列转化为内部语言形态的智力内化方式，这两方面意义的融合，构成了操作活动的特定内涵。由于操作活动更能引起和促进学生把外显的动作过程和内隐的思维活动紧密结合起来，使之成为“思维的动作”和“动作的思维”，所以，在推进学生内化知识，发展逻辑思维和空间观念以及加强意义识记等方面起着积极的作用。在教学实践中，很多老师已认识到操作的重要性，也进行了一系列操作活动，收到了一定的效果。但笔者发现许多操作是为操作而操作，学生没有感受到明确的目的和要求，没有进行深刻的体验和深入的探究，缺少数学地思考，致使操作没有充分发挥其为培养学生探究能力和数学思考而服务的功效-现结合一些实例淡谈笔者的想法和做法：

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  一、从接受走向设计

    操作不仅是为了让学生获得活动经验和相关知识，它还应当担当起培养学生学会自主探究和数学思考的任务。笔者发现许多操作都是由老师事先设计好的，学生根本不用思考怎样设计，更不知道为什么这样设计，他们只是在完成老师下达的一个个指令，被

动地接受操作。

一位老师在教“平行四边形容易变形”的性质时，问：我们已经知道三角形具有稳定性，平行四边形具有稳定性吗?学生众说纷纭。于是，老师拿出平行四边形框架模型，请几个学生上台向多个方向拉动模型。学生发现：平行四边形容易变形。于是，老师就开始引导学生举例说明生活中哪些地方应用了这一性质。

上述教学，学生只是在接受操作。老师未能激发学生探究的主动性和积极性，学生也末进行深入探索。为此，笔者改进如下：

师：你打算怎样研究平行四边形是否具有稳定性呢?   

(学生自由发表意见)

    师：请同学们回想一下，当时我们是怎样研究三角形具有稳定性的?

生：我们先联系生活，再猜想，因为生活中许多活动的东西用上三角形就可以固定了，所以我们猜想三角形具有稳定性。

生：我们拉三角板，发现怎么拉也不变形。

    生：我们拉许多三角形框架模型，发现怎么拉也不变形。

师：现在，你猜想平行四边形具有稳定性吗?

生：我认为平行四边形不具有稳定性。因为我发现校门口的电动门上有许多平行四边形，门可以伸缩，

    生：还有包装苹果的网兜上有许多平行四边形，网兜可以拉动。

    生：用木条做几个不同形状的平行四边形框架模型，也来拉一拉，看是否拉得动，如果拉得动就不具有稳定性。

    这时，教师再让学生亲手拉多个不同形状的平行四边形框架模型。学生发现平行四边形真的容易变形。

    上述教学就像一个小专题研究，目的明确，层次清晰，浑然一体，一气呵成。教者用问题引领操作，学生的设计先于操作。教者先提出问题，使学生明确探究方向，再引导学生联系已有数学活动经验和日常生活进行类比猜想，尝试迁移，最后自己设计实验进行验证。此时，设计操作成为学生研究问题的内在需要，是一种探求知识的途径和方法。这样的操作充分激发了学生探究的主动性和积极性，学生不但发现了知识，而且学会了思考，学会了探究。他们的探究能力在设计操作的过程中得到有效的培养，所渗透的探究方法对学生终身有用。

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二、从表面走向内里

学生动手操作，是在视觉与触觉、运动觉协同感知事物的同时，以内部语言悄悄地展开思维，他们在操作中所获得的形象和表象，又及时地推动着他们进行分析、综合、比较、抽象和概括，深刻地理解知识的本质意义。为了使操作活动向纵深发展，更有成效，必须把实际操作与深入思考紧密结合起来。但笔者发现，一些操作比较肤浅和匆忙，学生的体验既不丰富也不深刻   

一位老师这样教“圆柱的认识”：

师：请同学们想象一下，如果把圆柱的侧面沿高剪开后再展开，会得到一个什么图形?

学生交流猜想后，老师进行了如下的引导：

师：请大家拿出贴有商标纸的圆柱形罐子，先沿着它的一条高剪开，再展开，看看得到什么图形?

生1：圆柱的侧面是一个长方形。

    生2：圆柱的侧面是曲面，应该说把它的侧面沿高剪开后展开，得到一个长方形。

    师：得到的长方形的长和宽分别与圆柱体的哪部分有什么关系？

    学生汇报后，教师板书学生的发现。

    师：根据这种关系，你认为圆柱的侧面积应该怎样计算?

    老师板书：圆柱的侧面积=底面周长×高

表面看，老师似乎并未把结论直接告诉学生，学生似乎也经历了猜想——操作——验证的过程，但学生探究的动机并不强烈，探索的空间非常狭窄，他们的体会不深刻，也不持久，他们更体验不到探究的乐趣。如何引导学生进行深入有效的探究，使其对圆柱的认识更深刻、更透彻呢?笔者改进如下：

师：课前同学们都做了一个圆柱，你认为怎样才能做成一个圆柱?

    生1：需要两个圆和一个长方形，

    生2：应该是两个等圆。

    师：这两个等圆叫做圆柱的底面，长方形叫做圆柱的侧面。但长方形是一个平面图形，而侧面却是一个曲面图形，你们是怎么做的?(教者引发第一次认知冲突)

    生3：我把长方形纸卷起来成为曲面，展开来成为平面。(学生用纸片演示)

    老师顺势拿出一张长方形纸和两张等圆纸来围，可怎么围也围不起来。学生面露疑惑。(教者引发第二次认知冲突)

    师：究竟怎样的长方形和两个等圆才能围成一个圆柱呢?同学们可以借助身边的侧面有包装纸的圆柱形罐子，试着研究一下。

此时，有的学生在把包装纸沿高剪开后展开，再卷起来，有的在思考，有的在轻声讨论着。

生1：我发现长方形的长和圆的周长相等(学生边兴奋地说边演示)

    生2：圆的周长就是圆柱的底面周长：(许多学生都认同)

    师：假如老师现在给所有同学都发两个完全一样的等圆，要做一个圆柱，你打算如何确定长方形的长?

    生：量出底面圆的直径(或半径)，算出周长，圆柱的底面周长就是长方形的长。

学生先小组合作，动手制作，然后展示作品。

师：同学们手中的两个圆片完全一样，可围成的圆柱怎么不一样呢?(教者引发第三次认知冲突)。

    生1：我们配的长方形的宽不一样，宽就是圆柱的高，所以圆柱不一样。

    生2：如果长方形的宽一样，围成的圆柱的高也就一样了。

师：如果你是老师，布置同学们做圆柱，而且要求每人做的完全一样，你会给出什么条件?

生：统一圆柱的底面半径(直径或周长)，统一高度，这样做成的圆柱就完全一样。

    师：现在你认为应该怎样求圆柱的侧面积?

在多个学生回答后，教者板书计算公式。整个设计紧紧围绕“怎样做成一个圆柱”这一专题展开，目标明确，层次分明，而且环环相扣，一波三折，引人人胜。它以冲突引发操作，又以操作深化探究。第一次认知冲突，促使学生感悟到曲面与平面之间的相互转化；第二次认知冲突，促使学生将探究重点聚焦到长方形的长与底面圆的关系上；第三次认知冲突，促使学生发现长方形的宽与圆柱高的关系。随着探究的不断深入，学生的思维也逐步深化：从部分到整体，从平面到立体，从相异到统一。学生从中还深刻地体验到圆柱的形状和大小是由底面与侧面决定的，这为后面学习圆柱的体积打下了基础。这样的操作已不再是走过场，而是充分的体验和深刻的探究。

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三、从依赖走向中介

    “手与脑有着千丝万缕的联系，手使脑得到发展，使它更加明智；脑使手得到发展，使它变成思维的工具和镜子。”手与脑的这种联系，要求教师在指导学生进行操作时必须紧密结合思维的指导。在教学中，必要的操作是需要的，但如果仅仅停留在操作层面或依赖操作是远远不够的，因为数学最终是要走向理性思考的。教师应善于引导学生在适当的时候跳出具体的、直观的操作，从相对抽象、更为一般的层面上认识方法，这样学生才能真正建立起对数学模型的认识和理解，把认识和推理提高到一个更高的水平。

有这样一道习题：至少要用多少块棱长为1厘米的小正方体才能拼成一个较大的正方体?

一位老师在发现许多学生无从下手时，便启发学生先拼一拼，再数一数。学生通过动手操作，发现至少要用8块。此题的教学到此结束。

笔者以为这种操作只停留在表面，只为解决此题服务：教者并未引导学生借助操作及时进行深入探究：为什么会是“8块”?这其中有规律吗?

笔者改进如下：

    在学生通过操作得出“8块”后，趁势引导学生观察并思考：

    师：为什么会是“8块”?

    生：因为沿着长、宽、高各都摆了2块，每层都要摆2×2=4(块)，要摆2层，所以是4×2=8(块)。

    师：你会列式计算吗?

    生：用2×2×2=8(块)。

    生：23=8(块)，

    师：每个“2”分别表示什么?

    生：每个“2”分别代表长、宽、高。

    师：你从中发现了什么?

    生：总块数等于长、宽、高的乘积。

    生：总块数等于正方体棱长的立方。

    师：这个发现究竟对不对呢?需要验证。假如要拼一个棱长为3厘米的正方体，至少需要多少块这样的小正方体?

    尽管一些学生还是依赖动手拼，但许多学生已开始借助表象，进行想象并抽象成算式：3×3×3=27(块)，或33=27(块)。

    师：假如要拼一个棱长为a厘米的正方体((1为自然数)，一共需要多少块这样的小正方体?你能想象出拼成的图形吗?

    绝大多数学生直接列式为a×a×a=a3，并说明了理由。

    笔者借助操作及时把感性上升到理性，把特殊转变到一般，把形象引向抽象，使探究不断深入，促进了学生空间观念的形成和抽象思维的发展。学生不但发现了规律，而且体验到探究的方法，并感受到探究的乐趣与价值。

    总之，要使操作更有探究味，更能促进学生思维的主动发展和探究能力的不断提高，就要让操作与明确的日的同在，与仔细的观察同在，与理性的思考同在，与准确的表达同在。