毕达哥拉斯没有想到,他们的形数引起了后世许多大数学家的兴趣。1665年数学家帕斯卡写了一篇论文《论形数》,在这篇论文中,他根据点阵图提出了一个著名的断言(即费马猜想之一):每一个正整数是三个或更少的三角形数之和。这个猜想后来被高斯于1801年所证明。由此可以看出,形数对于数学研究起着重要的启示、联络、理解,甚至是提供方法的作用。这就是最初的几何直观。
随着数学科学的发展,人们逐渐认识到图形对于数学认识所具有的卓越功能,对直观性的理解也越来越多地增加了新的内涵。德国数学家克莱因说:“数学的直观就是对概念、证明的直接把握。”[5]荷兰数学教育家弗赖登塔尔说:“几何直观能告诉我们什么是可能重要,可能有意义和可接近,并使我们在课题、概念与方法的荒漠中免于陷入歧途之苦”。[6]我国现代数学家徐利治先生提出,“直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想,所产生的对事物关系直接的感知与认识,而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。”[7]由此可见,几何直观的本质,就是一种通过图形所展开的数学想象能力。这种能力,对于研究、学习数学,非常重要,使之成为一种基本的数学思维模式。这种模式的一个重要特点就是“想象”,它不仅是看到了什么,而是通过看到的图形思考了什么,想象到了什么,通过思考想象,进行一些合理的、又带有跳跃性的推理(也就是合情推理),猜想可能的结论和论证思路,从而可以为严格的证明结论奠定基础。站在这个角度来看,几何直观虽然是借助图形来展开思维活动,明显地,它已经跨越了图形,走向了直观,直观思维才是它的核心和重点。
例如,苏教版四年级上册“认识直线和射线”后的思考题,学生通过作图,观察点数为1、2、3、4、5时画出的直线的条数,进行猜想,每增加一个点,直线会增加几条,进而直观地得出点数与直线条数之间的数量关系。
再比如,行程问题“第五次铁路大提速后,Z517次客车13:11从北京西站开出,15:51到达石家庄;Z518次客车14:23从石家庄开出,17:10达到北京西站。这两列客车大约什么时间相遇?”这里没有告诉我们两地之间的距离,按照常规思路,用路程除以速度和无法解决。如果我们换一个角度,借助坐标纸画图(如下图),可以近似地得到两车大约在15:08分相遇。在这里,通过画图可以帮助学生对两列火车的行走情况进行科学地预测,这就是几何直观能力的实际应用。
再来看画图策略。画图能够直观明了地呈现实际问题里的主要数学信息,便于学生把握相关信息之间的联系,促进综合、分析思路的顺利展开。这里面固然也需要想象,但思考想象的对象基于解决问题本身,它是为了解决问题的需要而呈现的,是思维的辅助手段。通过这种画图策略的学习和过程体会,应当说也是有利于几何直观能力的形成和发展。
三、几何直观能力的培养需要贯穿于整个数学活动
“借助几何图形可以描述各种各样的问题,包括算术的、代数的、统计的等各方面的问题,同样对日常生活中问题的描述也能够体会到图形的作用”[8]。因此,修订后的新课标在义务教育阶段就明确提出几何直观不仅仅是几何内容,而应当“在整个数学学习活动过程中都发挥着重要的作用”,这是数学教育观念的一个进步。它表明,我们不仅仅在几何内容教学中要重视几何直观,而应该将其贯穿于义务教育数学课程的始终。比如,新标准在第一学段提出:“掌握初步的测量、识图和画图的技能”,“在操作、观察等活动中,能提出一些简单的猜想。”第二学段提出:“初步形成数感和空间观念,感受符号和几何直观的作用。”第三学段提出:“经历借助图形思考问题的过程,初步建立几何直观。”同时,新标准在教材编写建议中也明确提出:“教材的整体设计要体现内容领域的核心,教材应当围绕这些核心内容进行整体设计和编排。”
画图作为一种解决问题的策略,在实验教材中只是作为解决问题的策略之一被安排在某一阶段的学习内容之中。比如,苏教版安排在四年级下册教学用画图的方法表示图形面积增加或减少的情况,帮助理解题意,找到解决问题的方法。我们知道,策略的习得与形成需要学生对解题方法反复进行感悟、优化、抽象与概括,对解决问题的经验不断进行积淀、内化、总结与升华。因此,解决问题的策略需要教师长期有意识地采取一些有效的措施进行培养。如何实现对画图解决问题策略长效的培养,使之内化为利用图形思考的意识和能力,几何直观的提法可谓正中要害!
参考文献:
[1]叶柱.将几何直观落在实处[J].福建教育,2012A,(7/8)
[2][3]史宁中.义务教育数学课程标准(2011年版)解读[M].北京:北京师范大学出版社,2012
[4]张顺燕.数学的美与理[M].北京:北京大学出版社,2004
[5][6][7]秦德生.关于几何直观的思考[J].中学数学教学参考,2005,(10)
[8]刘晓玫.再从“几何直观”谈起[J].小学教学数学版,2012,(7/8)