“平行四边形面积计算”教学新探索

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对平行四边形面积计算公式的推导教学，我们一般都要让学生学会“动手操作”，即将平行四边形通过“割补”成长方形，进而分析两种图形的面积与其长、高之间的关系，得出平行四边形面积计算公式。但是为什么要“动手操作”，怎样“动手操作”，不同的理念却带来不同的设计。有人说，操作活动是为了渗透“转化”的思想。可是“转化，，的思想又从哪里来?平行四边形面积的计算仅仅需要“转化”思想吗?显然这样的想法未免过于“功利诉求”。对此，我结合平行四边形面积计算的教学做些浅显的探索。

    学具准备

    学具l：每人5cm和4cm长的小棒各两根；

    学具2：每人长5cm、宽4~m的长方形纸片1张，邻边为5cm和4cm的平行四边形纸片1张。

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  一、提出问题
1．尝试围平行四边形。

师：为了方便研究，我为大家提供了一些小棒(学具1)，每人都有一些小棒，你们能选出合适的小棒围成一个平行四边形吗?试试看!
师：围好后请同桌间相互欣赏一下，你们围成的平行四边形的形状一样吗?使用的材料一样吗?

师：老师也围了一些图形；请大家欣赏一下!

课件呈现：

   
(学生的操作活动未必能全面展示各种情况，长方形这一 重要的特殊平行四边形往往是学生认识上的漏洞。)
2．明确问题。

师：比一比，这里的四个平行四边形(长方形也是特殊的平行四边形)，和你们一样也是使用5cm和4cm的小棒各两根，但是围成的形状都不相同。那么它们围成的面积会不会相等呢?(课件闪烁涂色部分)

(预设A：学生认为面积相等，因为用来围的材料是相同的。预设B：学生认为不等，因为形状不同。)
师：它们的面积到底等不等呢?也许你们从下面的实验中会有新的看法(电脑演示将长方形框架逐渐变形的过程)。

师：大家闭上眼睛想象一下，如果一直拉下去，长方形最后会变成一个什么图形?通过观察和想象，有什么发现?
(平行四边形的面积逐渐变小，直至为0；原来的长方形图形的面积最大……)

师：用同样的小棒围成的图形形状发生变化，面积也发生着变化，当由组成原来长方形的四根小棒最后重合在一起的时候，我们可以说它的面积变得最小。但是到这儿还只是我们的一种猜想。有没有什么办法来证实一下它们的面积确实大小不同呢?
(通过平行四边形的变形演示，使学生清楚地看出随着形状的改变面积也随之发生着变化。这一活动的安排，既是对学生原有的认知经验的纠正，使学生真切地感受到图形的变化会带来面积大小的变化，同时也为后面的动手实践活动奠定理性思维的．基础和动机，激发学生探究其中的深层原因。)
二、探究问题

1．从特殊人手。
师：为方便我们研究，我们选取其中1号和4号两个图形：一个长方形、一个平行四边形，并将它们重叠。课件出示图形如下。

师：从前面的变形中，我们感觉到长方形的面积应该比平行四边形面积大些，；但这样看能比出大小吗?看来需要我们对上面的图形做些“手术”，你们觉得怎样剪剪拼拼，就能比出大小来?请大家也拿出学具2，小组之间讨论讨论，再动手剪剪拼拼，看谁能想出办法，拿出让人信服的证据。
(学生小组之间讨论分析，动手实践，再组织汇报交流：将平行四边形右边多出的部分剪下，拼接到左边，补咸一个长5cm而宽小于4cm的小长方形，从而证实平行四边形的面积确实比长方形小。随即电脑演示如下：)

2．探究面积变小的原因。

师：为什么变形后面积变小了呢?我们来研究刚才平行四边形的变形原因。
课件隐去原来的长方形图形，单独呈现平行四边形的割补过程。

师：请大家仔细观察并思考，原来的平行四边形割补成长方形后；：它的邻边也就是宽，为什么变短了。没有4cm长了？
（引导学生发现：割补后的长方形的长虽然还是平行四边形的底5cm。但宽却是平行四边形的高，搞要比4cm的邻边短）
3.类推
师：通过刚才的研究，我们明白了平行四边形可以割补成一个长方形。说一说下面的平行四边形会与长和宽分别是多少的长方形面积一样大。

学生想象后，电脑演示割拼过程：

师：从这些平行四边形的割补过程来看，平行四边形面积我们可以怎样计算，为什么可以这样计算?

板书：
长方形面积
=长×宽



↓
↓
↓


平行四边形面积=底×高



S
=a × h

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  (这里我设计了两个层次的操作活动，让学生从“如何解决面积大小的比较问题”的现实需要出发，努力调动学生原有的知识和经验，触动学生思维的联结点，凸显“转化”的动因，使得“平行四边形怎样转化就可以求得面积”成为学生自觉的追求，从而使平行四边形面积的计算问题对学生而言含有较高的“数学思维价值”。)

    案例分析：

    我们知道，数学观念、思想和方法是数学科学的“灵魂”，在促进学生的发展中具有决定性的作用。其价值不仅仅在于学生掌握了它便能更加透彻地理解数学知识，还在于它是学生创造精神和创造力的坚实基础。学生在学习平行四边形面积的计算中，“动手操作”是必要的手段之一，但是如何让外显的“动手操作”体现出内隐的数学思维呢?本设计着力从以下几方面进行了探索。

1．“用小棒围平行四边形”：对“变”与“不变”的大胆质疑

比较边长分别相等的平行四边形和长方形的面积大小，一般的教学设计常常安排在教学的最后环节。但是这个问题又常常易引起学生的思维混乱。原因是这里的变(面积、形状变化)和不变(四条边长度不变)与平行四边形面积计算公式推导过程中的变(形状变化)和不变(面积不变)对学生的学习心理产生冲突(认知负迁移作用)。显然，这样的设计割裂了两种变化关系，造成学生对“变”与“不变”的片面理解。本设计中，笔者试图跳出常规，努力从知识整体的高度来全面准确地把握两种变化关系，从“用小棒围平行四边形”来引入并暴露学生真实的思维活动，将前者的变化(面积变化，四边不变)作为后者变化(形状变化，面积不变)的前奏，逐步明确问题，使学生对平行四边形和长方形之间两种变化关系的理解实现有序统一。

    2．“观察长方形框架逐渐变形”：对“极限”的无限遐想

  面对“变”和“不变”的争议，这里及时地演示“长方形框架逐渐变形”的实验，可以促使学生直观地感受“变”的真实，产生“一直拉下去面积越来越小直至为零”的“极限遐想”，就好像在演奏激情乐曲的最高潮，突然“全场寂静”，给学生的思维转向留下一个“空白”，推动着学生换一个思维角度来重新看待平行四边形面积问题，为后面的理性探究活动指明方向。当然，如果在教学中认为面积相等和认为面积不相等的学生出现了互不服输的场面，教师完全可以让两方的学生辩一辩，这样能为精彩的生成提供空间。   

3．“从特殊入手动手剪剪拼拼”：对“转化”的自觉追求

    “转化”是平行四边形面积公式推导的核心思想。但是让学生独立地想到“转化”，应该说是很困难的。因此我恰当地为学生提供了一个问题情境：选取其中1号和4号两个特殊图形引导学生思考“觉得怎样剪剪拼拼就能比出大小来”，努力凸现出“转化”的动因。我认为，这里怎样“转化”的细节并不重要，重要的是学生体验到用“转化”的思想来解决问题。显然，“问题解决”应当是我们“动手操作”的价值所在，因此在教学的这一环节，我选择了“该出手时就出手”。如果学生的基础较好，将比较的对象聚焦到1号和4号图形后，只要问“怎样比较它们的面积大小”即可，这样，学生可能会提出多种方案，最后再聚焦到剪拼法的时候，学生对转化的本质会有更深的体验。

    4．“类推其他平行四边形的割补过程”：对“特殊化归为一般”的深刻体会

    思维的发展不总是以外显的动作来体现的，更多的是需要静静地思考以实现内在思维的转换。因此，在解决了特例问题后，我设计了“类推其他平行四边形的割补过程”，让学生学会默默想象，并通过“规范”的电脑动作来准确引导动作思维的走向，促使学生在“特殊化归为一般”的深刻体会中逐步内化自己的思维方式，将对数学思想方法的认识上升为数学思维策略，从而实现学生数学思维的提升。