数学解题中的思考分类讨论思想的应用

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数学解题中的思考分类讨论思想的应用
【摘要】解数学问题往往可以有众多的思想方法，如转化化归，数形结合，分类讨论，数学建模等等，而在这些思想方法中分类讨论是一种重要的数学思想，学习数学的过程经常会遇到分类问题，如数的分类，图形的分类，代数式的分类等等，在研究数学问题中常常需要通过分类讨论解决问题，本文从渗透在教材中的分类思想出发，结合例题阐述了分类讨论的思想，分类的原则，分类讨论的应用，从而体现分类讨论思想在初中数学解题中的作用和地位。
【关键词】分类讨论的思想  分类的原则  分类讨论的应用
数学课程标准明确提出数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分，数学教学中如何挖掘课本中所蕴含的数学思想方法，如何有效的进行数学思想方法教学，如何培养和发展学生的数学思想已经成为数学教育工作者普遍关注和潜心探索的一项重要课题。在新课程中，分类思想在教材中的体现是丰富多彩的，在整个初中阶段很多问题都用了分类的思想，将不同的事物分为不同的种类，寻找它们各自的共同点及内在的规律性。
一．        分类讨论的思想   
所谓分类讨论就是分别归类再进行讨论的意思，数学中的分类过程就是对事物共性的抽象过程，解题时要使学生体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类的标准，在分类的过程如何认识事物的属性，如何区分不同事物的不同属性，通过多次反复的思考和长时间的积累，使学生逐步感悟分类是一种重要的思想，它体现了化整为零，化零为整与归类整理的思想，它:揭示着数学事物之间的内在规律，学会分类有助于学生总结归纳所学的知识，使所学的知识条理化，提高思维的概括性，从而提高分析问题和解决问题的能力。
我们在运用分类讨论的思想解决问题时，首先要审清题意，认真分析可能产生的不同因素，进行讨论时要确定分类的标准，每一次分类只能按照一个标准来分，不能重复也不能遗漏，另外还要逐一认真解答。我们平时在解决问题时还经常碰到这样的情况，当问题解答到某一步骤后，需要按一定的标准来分为若干个子问题进行讨论，这样常常可以使问题化繁为简，更清楚地暴露事物的属性。
案例1：某服装厂生产一种西装和领带。西装每套定价200元，领带每条定价40元，厂方在开展促销活动期间向顾客提供两种优惠方案。方案一：买一套西装送一条领带，方案二：西装领带均按定价打9折（两种优惠方案不可同时采用）某店老板要去厂里购买20套西装和若干条领带（超过20条）请帮店老板选择一种较省钱的购买方案？
分析：因为已知条件中未明确购买领带的数量，因而较省钱的购买方案也是不确定的，而是由不同的领带购买数量决定的
解：设店老板需购买领带x条
方案一购买需要付款200×20＋（x－20）×40＝40x＋3200 （元）
方案二购买需要付款（200×20＋40x）×0.9＝36x＋3600 （元）
假设 y＝(40x＋3200) －(36x＋3600) ＝ 4x－400 （元）
（1）        当y＜0时,即20＜x＜100,方案一比方案二省钱
（2）        当y＝0时,即x＝100,  方案一和方案二同样省钱
（3）        当y＞0时,即x＞100,  方案二比方案一省钱
答：当购买领带超过20条而不到100条时，方案一省钱，当购买领带等于100条时，两种方案一样省钱，当购买领带超过100条时，方案二省钱

二．        分类的原则   
分类讨论必须遵循一定的原则进行，在初中阶段我们经常用到以下几个原则
1.        同一性原则
  分类应该按照同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类依据，否则会出现重复的现象，例如有些同学认为三角形可以分为等腰三角形，等边三角形，锐角三角形，钝角三角形，直角三角形，这样的分类是错误的，不但以边来分类而且以角来分类，等腰三角形可以是锐角三角形，钝角三角形或直角三角形，这样的分类犯了标准不同的错误
2.        互斥性原则
分类后的每一个子类应该具备互不相容的原则，即不能出现有一项既属于这一类又属于那一类。例如学校举行运动会，规定每个学生只能参加一项比赛，初一六班的6名同学报名参加100和200米的赛跑，其中有4人参加100米比赛，3人参加200米比赛，那么就有1人既参加100米又参加200米比赛，这道题目分类的互斥性原则
3. 完整性原则
分类后的每一个子类合并起来应该等于总类，否则会出现遗漏的现象。例如某人把实数分为正实数和负实数，这样的分类是不完整的，因为零也是实数，但是零既不是正实数也不是负实数。
4.多层性原则
分类后的子类还可以继续再进一步分类，直到不能再分为止。例如实数可以分为有理数和无理数，有理数可以分为整数和分数，整数可以分为正整数，零和负整数

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三．        分类讨论的应用
我们用分类讨论的思想解决问题的一般步骤是：
（1）        先明确需讨论的事物及讨论事物的取值范围
（2）        正确选择分类的标准，进行合理的分类
（3）        逐类讨论解决
（4）        归纳并作出结论
下面浅谈一下分类讨论在初中阶段的一些简单的应用：
1.        分类讨论在应用题中的应用
案例2：学校建花坛余下24米漂亮的小围栏，经总务部门同意，初一五班的同学准备在自己教室后的空地上建一个一面靠墙，三面利用这些围栏的花圃，请你设计一下，使花圃的长比宽多3米，求出花圃的面积是多少？
分析：因为已知条件中并没有明确长和宽的位置,所以需要对长和宽的位置进行讨论
解：(1)假设平行于墙的一边为长x米，则宽为(x－3)米，依题意可列方程
x＋2(x－3)=24
解方程得x＝10
   经检验，符合题意
  长为10米，宽为7米，面积为70平方米
   （2）假设垂直于墙的一边为长x米，则宽为(x－3)米，依题意可列方程
2x＋ (x－3)=24
解方程得x＝9
   经检验，符合题意
  长为9米，宽为6米，面积为54平方米
答：当平行于墙的一边为花圃的长时花圃的面积是70平方米，当垂直于墙的一边为花圃的长时花圃的面积是54平方米。
学生在解此类题的错误往往是因为不认真审题，没有弄清已知条件中的各种可能情况而急于解题所造成，只有审清了题意，全面系统地考虑问题，才可以确定出各种可能情况，解答此类问题就不会造成漏解
2.        分类讨论在绝对值方程中的应用
关于绝对值的问题，往往要将绝对值符号内的代数式看成一个整体，将这个整体分为正数，负数，零三种，再分别进行讨论。
案例3：求方程 ︳x﹢2︳﹢︳3﹣x︳＝ 5的解
分析：本题应该对于代数式 ︳x﹢2︳应分为x＝﹣2,x﹥﹣2,x﹤﹣2，对于︳3﹣x︳应分为x＝3,x﹥3,x﹤3，把上述范围画在数轴上可见对这一问题应划分以下三种情况分别讨论
解：①当x≦﹣2时，原方程变为﹣﹙x﹣2﹚﹢3﹣x＝5，解得x＝0与x≦﹣2产生矛盾，故在x﹤﹣2时原方程无解
    ②当﹣2﹤x≦3时，原方程为x﹢2﹢3﹣x＝5恒成立，故满足2﹤x≦3的一切实数x都是此方程的解
    ③当x﹥3时，原方程为x﹢2﹣﹙3﹣x﹚＝5，解得x＝3这与x﹥3产生了矛盾，故在x﹥3时原方程无解
  综上所述，原方程的解是满足2﹤x≦3的一切实数。

3．分类讨论在解含有参数问题中的应用
所有含有参数的问题都要进行分类讨论，而且要对参数的不同取值范围分类讨论，不能有重复和遗漏。
案例4：若关于x的分式方程 无解，求a的值
解：方程两边同乘以x﹙x﹣1﹚，得﹙x﹣a﹚x﹣3﹙x﹣1﹚＝x﹙x﹣1﹚
      整理得﹙a﹢2﹚x＝3
①当a﹢2＝0即 a＝﹣2时，方程无解，则原方程也无解
②当x＝1时方程无解，此时a﹢2＝3，得a＝1
③当x＝0时方程无解，此时﹙a﹢2﹚×0＝3无解
综上所述，a的值为1或﹣2
4．分类讨论在解几何题中的应用
分类讨论思想在几何题中有广泛的应用，在有关点与线的位置关系，直线与直线的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，等腰三角形等的题目中都需要进行分类讨论。
案例5：等腰三角形中，有一个角是另一个角的4倍，求等腰三角形的一个底角的度数？
分析：本题应该分为底角是顶角的4倍和顶角是底角的4倍两种情况进行讨论
解：（1）当一个底角的度数为x度，顶角是4x度时
依题意列方程x﹢x﹢4x＝180解得x＝30，底角等于30度
（2）当一个底角的度数为4x度，顶角是x度时
依题意列方程4x﹢4x﹢x＝180解得x＝20，底角等于80度
综上所述，等腰三角形的底角为30度或者80度。

5．分类讨论在解概率题中的应用
在求简单事件的概率时，我们通常会用“列表”或者是“画树状图”的方法来列举所有机会均等的结果，然后找出该事件所包含的结果，从而求出该事件发生的概率。事实上“列表”或者是“画树状图”的方法就是分类讨论的思想方法最直接的体现。
案例6：同时抛掷3枚普通的硬币一次，问得到“两正一反”的概率是多少
分析：每一个硬币都有正面和反面，我们可以用画树状图的方法分析先抛第一枚，再抛第二枚，最后抛第三枚，可知共有8种机会均等的结果它们是（正正正）（正正反）（正反正）（反正正）（反反正）（反正反）（正反反）（反反反），其中两正一反的结果有3种，可以求得概率是八分之三。

6．分类讨论在解函数题中的应用
分类讨论的思想方法贯穿于初中阶段学过的所有的函数中，一次函数y＝kx﹢b﹙k≠0﹚要对k，b取值范围进行分类讨论，反比例y= ﹙k≠0﹚函数要对k的取值范围进行分类讨论，二次函数y＝ax ﹢bx﹢c﹙a≠0﹚要对a的取值范围进行分类讨论
案例7：求二次函数y＝ax ﹢﹙3﹣a﹚x﹢1﹙a≠0﹚与x轴只有一个交点，求a的值与交点坐标
解：①当a＝0时，此函数为一次函数y＝3x﹢1与x轴只有一个交点，
交点坐标是（－ ，0）
②当a≠0时，此函数是二次函数，因二次函数与x轴只能有一个交点则判别式为零
            ﹙3﹣a） ﹣4a ＝ 0
              解得a＝1或a＝9
当a＝1时,与x轴的交点坐标是（﹣1，0）
当a＝9时,与x轴的交点坐标是（ ，0）


【结语】分类讨论思想的应用非常广泛，涉及到初中的全部知识点，这里不能一一列举出来，分类讨论思想的关键是分清引起分类的原因，明确分类讨论的事物和标准，按可能出现的所有情况做出准确分类，再分门别类加以求解，最后将各类结论综合归纳，得出正确答案。数学中的分类思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类思想的训练，有利于提高学生对学习数学兴趣，培养学生思维的条理性，缜密性，科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。

参考文献：
（1）2011年版义务教育数学课程标准
（2） 任百花：初中数学思想方法教学研究
（3）江国安：初中数学综合题的教学探索
（4）赵峰：浅谈分类讨论思想在解题中的应用
（5）王奎文：增强中学生的数学应用意识