好教师应善于举例

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    抽象性常常被说成数学最为基本的一个特性。帮助学生较好地理解与掌握抽象的数学概念与数学理论，这是数学教学的一项基本任务。实现这个目标的一个基本手段就是恰当地举例——会举例，善于举例。这应当被看成数学教师的一个基本功。

应当指明，就高度抽象的数学概念而言，举例并非一件易事。以下就是笔者在南京大学执教时的一个亲身体验：

由于函数是数学中最为重要的基本概念之一，因此，作为  大学微积分学课程的开端，笔者首先对学生关于函数概念的掌握情况进行了解。结果发现：尽管当时的教学对象是文科学生，但大部分人都能正确地表述出函数概念的“三个要素”，即自变量、因变量和对应关系。进而，笔者又要求学生联系实际生活举出函数的若干实例，这一任务对学生来说应当不会有任何困难，因为在中学的全部学习过程  中，他们已经接触到了各种各样的函数，教材中也已给出了这个函数的若干实例。另外，在物理和化学等课程的教学过程中学生也常常会遇到各种各样的函数，如弹簧的长度与拉力的关系、炮弹的射程与发射角的关系，等等。

然而，出乎意料的是，学生却普遍表现出了一定的困难。当时有一个学生举出了这样的例子：“一个人的年龄与他所消耗的食品以及与他所消耗的衣物之间的关系。”

“这能否被看成函数的实例?”笔者组织学生对此进行了简短讨论。以下的“修正”很快为全班一致接受了：我们在此应当首先实行必要的量化，因为，在目前的水平上，函数所涉及的只是数量之间的关系。然而，当教师提出以下问题后，大部分同学却陷入了思想混乱：“但是，一个人所消耗的食品或衣物与他的年龄之间并不存在必然的联系。这就是说，当他20岁时，他所消耗的食品可能是X吨，也完全可能是(X＋1)吨或(X－1)

吨。这种‘不确定性’是否与函数定义中所说的‘确定的对应关系’相矛盾?”

由于笔者没有立即提供相应的解答，而是让学生自己去思考，因此，在这一堂课后就有不少同学反映：“对于函数概念我们原来是懂的，现在反而不懂了!”

当然，这些学生所说的“原来是懂的”，其实并不是真懂；另外，就我们目前的论题而言，这也就十分清楚地表明：举例特别是举出适当的例子实非一件易事。

对于上述的例子，相信一些教师会认为：您这是就较为高深的数学概念而言的，如果是初等数学就不存在这样的问题。例如，通过1个苹果、两只桔子等实例我们就可顺利地帮助学生掌握1、2、3等概念及其运算；再例如，只需借助木制的三角尺与黑板上所画出的各种三角形等，我们就可帮助学生顺利地建立起三角形的概念……

    上面的看法应当说有一定道理，但是，作为问题的另一方面，我们又应强调指出：尽管数学教学中时时都在用到各种各样的例子，但例子又有“好”与“坏”，或者说“恰当”与“不恰当”的区分。作出这种区分的一个重 要标志是：这些例子是否真正有利于学生很好地去掌握相应的抽象概念。“会举例、善于举例”的一个具体内涵，就是应当有利于学生较好地实现由具体实例向抽象数学概念的重要过渡。

显然，从这样的角度去分析，我们也就可以立即看出以下论述的不足之处：“数学，对学生来说，就是利用自己的生活经验对数学现象的一种‘解读’。”因为，如果采用皮亚杰的术语，数学学习并非仅仅是一种“同化”(用建构主义的话来说，就是意义赋予”)，而且也是一个顺应”的过程，即如何能够超出生活经验并学会数学地思维，特别是数学抽象。

下面这个四年级的教学实例能给予我们直接的启示。

任课教师要求学生求解这样一个问题：“52型拖拉机，一天耕地150公亩，问12天耕地多少公亩?”一位学生是这样解题的：52×50×2=(略)。接下来就出现了这样的师生对话：

“告诉我，你为什么这么列式?”

    “老师，我错了。”

    “好的，告诉我，你认为正确的该怎么列式?”

    “除。”

    “怎么除?”

    “大的除以小的。”

    “为什么是除呢?”

    “老师，我又错了。”

    “你说，对的该是怎样呢?”

    “应该把它们加起来。”

    显然，这位学生是在瞎猜。

    “我们换一个题目，比如你每天吃两个大饼，5天吃几个大饼?”

    “老师，我早上不吃大饼的。”

    “那你吃什么?”

    “我经常吃粽子。”

    “好，那你每天吃两个粽子，5天吃几个粽子?”

    “老师，我一天根本吃不了两个粽子。”

    “那你能吃几个粽子?”

    “吃半个就可以了。”

    “好，那你每天吃半个(小数乘法没学)粽子，5天吃几个粽子?”

    “两个半。”

    “怎么算出来的?”

    “两天一个，5天两个半。”

对话进行到这里就很有点“搞笑”了!但是，如果要对这个学生的问题进行诊断，我想大家都会得出这样的结论：他所缺乏的并不是生活经验，而是数学抽象的能力。尽管这个学生已经上到了四年级，但在由“日常数学”上升到“学校数学”这一方向上并未获得真正的进展。

在此我们应清楚地认识到：数学抽象事实上是一个模式化的过程。作为数学抽象的产物，数学概念(与命题)所反映的不只是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同性质——这就是所谓的“模式”，它与通常所说的“模型”是不同的，模型从属于某个特定的事物或现象，也就不具有模式那样的普遍意义。模式

化的一个重要特征，就是“去情境化、去时间化和去个性化”，这意味着与现实原型在一定程度上的分离。由此可见数学教学中对于例子的恰当应用的重要性。

    最后，从更为广泛的角度看，恰当举例不仅适用于数学教学，也适用于数学教材的编写；不仅适用于数学学习，而且也适用于任何一种抽象理论甚至是“研究传统”的学习或继承：例如，著名科学哲学家库恩清楚地指明了“范式”对于科学活动的特殊重要性：常规情况下的科学研究就可被看成范式指导下的解疑活动：进而，就范式的学习而言，库恩又突出地强调了这样一点：只有借助于范例我们才能真正掌握相应的范式。“最基本的是，范式是指某些具体的科学成就事例，是指某些实际的问题解答，科学家认真学习这些解答，并仿照它们进行自己的工作。”显然，这事实上也就更为清楚地表明了在具体与抽象之间所存在的重要的辩证关系。

    另外，现代数学学习心理学的研究也为以上的论述提供了重要的论据。研究表明，就数学概念的学习而言，我们应对“概念定义”与“概念意象”作出明确的区分，因为，在大多数情况下，数学概念的心理对应物(心理表征)并非相应的形式定义，而是一个由多种成分组成的复合体，其中例子占据了十分重要的地位，它为主体获得适当的心理图像(视觉形象，对此不应简单地等同于直观形象)提供了直接的基础。

    由此可见，我们不能停留于各个具体的例子，特别是不能停留于学生已有的知识和经验，而应努力帮助学生由具体实例上升到抽象的数学概念。但是，我们如何才能帮助学生很好地实现所说的“抽象”呢?

    先来看一个真实的故事。

    20世纪60年代，一个数学家的女儿由幼儿园放学回到了家中，父亲问她今天学到了什么?女儿高兴地回答道：“我们今天学了‘集合’。”数学家觉得要学习这样一个高度抽象的数学概念，女儿的年龄实在太小了，因此就关切地问道：“你懂吗?”女儿肯定地回答道：“懂!一点也不难。”“这样抽象的概念会这样容易懂吗?”听了女儿的回答，作为数学家的父亲仍然放不下心，因此就追问道：“你们的老师是怎么教你们的?”女儿回答道：“女教师首先让班上所有的男孩子站起来，然后告诉大家这就是男孩子的集合；然后，她又让所有的女孩子站起来，并说这是女孩子的集合；接下来，又是白人孩子的集合，黑人孩子的集合……最后，教师问全班：‘大家是否都懂了?’她得到了肯定的答复。”

显然，这个教师所采用的教学方法并没有什么问题，甚至可以说相当不错。因此，父亲就决定用以下的问题作为最后的检验：“那么，我们是否可以将世界上所有的匙子或土豆组成一个集合?”迟疑了一会儿，女儿最终作出了这样的回答：  “不行!除非它们都能站起来!”

由此可见，学生的认知发展水平正是实现上述目标的一个必要条件。

    从教学的角度看，比较应被看成实现数学抽象最为重要的一个手段。从这样的角度去分析，现行数学教学中经常可以看到的以下做法并非十分恰当，因为．这完全忽视了数学思维的特殊性，从而对于学生学会数学抽象就不是很有利：

    “分类”的教学常常是这样组织的：教师首先拿出事先准备好的一些模块——其中不仅呈现出了各种不同的形状，如三角形、四边形、圆形等，也被涂成了各种不同的颜色，它们是用一些不同的材料制成的，包括木制的、硬纸片的、塑料的等——教师要求学生对这些模块进行分类，在一般情况下学生往往会给出多种不同的分类方法，教师对

此往往也会普遍地加以肯定，甚至还会积极地鼓励学生去提出新的、更多的分类方法……

与此相对照，以下教学方法不仅有利于学生顺利地求解所面对的“水池问题”，而且也包含了由“表层结构”向“深层结构”的重要过渡，达到了更高的抽象层次：

“学生在解决有关往水池里注水的问题时，会认为水池一边开进水管，一边开出水管，不论经过多长时间，都不会注满水池。在教学时，教师可以不急于讲解，而是引导学生寻找生活中类似的实例。(1)追及问题。客车每小时行40千米，小汽车每小时行50千米。现在客车在小汽车前25千米的地方，同时沿笔直的公路行驶，多长时间小汽车能追上客车?(2)储蓄问题。爸爸每月工资420元，妈妈每月工资300元，每月平均支出450元，余下的钱存在银行，几个月后能购买一台价格1350元的电视机?通过小汽车追上客车、家庭每月收支情况的实例，学生就容易弄明白，只要进水量大于出水量，经过一段时间水池就一定能注满水。”

另外，为了帮助学生很好地掌握数学概念的本质，我们在教学中不仅应当十分重视以所谓的“非标准变式”作为“标准变式”的必要补充，而且也应通过“概念变式”与“非概念变式”的必要对照，帮助学生切实避免或纠正各种可能的错误。

具体地说，在通过某些具体实例引出数学概念的同时，为了防止学生将相关实例的某些特殊性质误认为相应概念的本质属性，我们在教学中就不应局限于平时所经常用到的一些实例(这就是所谓的“标准变式”)，也应当有意识地去引人一些“非标准变式”。

    例如，以下就是在教学中经常可以看到的一些错误观念，而学生之所以会形成这些错误观念，往往就与我们在教学中所使用的只是“标准变式”有着直接的关系：

角必定有一条水平射线；

直角必定是指向右边的角；

    三角形和四边形的底边都应处于水平位置；

    三角形的高必须处于垂直的位置，并必定与三角形的底边相交；

    对角线不可能处于垂直或水平的位置。

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显然，从这样的角度去分析，我们也就可以理解引入以下一些“非标准图形”对于改进教学的积极意义(图1)：

再者，由以下图形(图2)我们可以很好地理解“非概念变式”的作用：就概念的理解而言这事实上起到了“反例”的作用，从而对于防止或纠正学生的错误观念也就具有特别的重要性。