“不含括号的三步混合运算”教学漫谈

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教学混合运算旨在让学生理解并掌握运算顺序规则，能够自觉地按规则进行运算。混合运算规则是人们的一种约定和共识，是不容随意改变的。这种约定虽然不是通过严密的逻辑证明得出的数学定律，但却饱含着一种理性精神。以乘法和加法混合运算顺序的规则为例，乘法是相同加数连加的简便运算，在加法和乘法混合运算时，理应把这种简便的算法先行处理。并且，在解决诸如计算购物总价、工作总量、行驶的路程等实际问题时，作出先乘后加的规定，为解决问题带来了方便。当然，生活中也有先算加、减法后算乘、除法的问题，如求几个数的平均数，就是先用加法求和，再用除法求平均数，如果列综合算式就要用括号来改变先除后加的运算顺序。用括号比不用括号要麻烦些。如果规定先算加、减法后算乘、除法，那么列综合算式解决现实生活中的问题时，使用括号的麻烦事比现在要多得多。从这里可以看出，人们制定混合运算的规则的确是出于一种理性的思考。现行数学教材教学混合运算从解决实际问题入手，可以使学生初步感受运算顺序规定的合理性，从而加深对规则的理解。教学中学生对于运算顺序的思考或许和人类开始作出混合运算顺序规定时的思考是如出一辙的。

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许多事情往往有利有弊。教学混合运算从解决现实问题引入虽然可以使学生感受运算顺序规定的合理性，但列三步运算的综合算式解决实际问题是有一定难度的。为了降低学习的难度，教材做了比较周密的安排。四年级（上册）在“解决问题的策略”单元安排了求两积之和（差）的实际问题的例题和习题，引导学生掌握了解决这类问题的策略及列分步算式解答的方法。四年级（下册）在“乘法”单元里又安排了一些解决求两积之和（差）的实际问题的习题。这些安排都为三步混合运算的第一道例题的教学打下了基础。而且，例题中创设的购买两种物品的付款情景是学生比较熟悉的，有生活经验的支持。应该说，对于学习水平一般的学生来讲，列分步算式解答这道例题是不会感到困难的，唯一的难点是根据题意列综合算式，所以教材在引导学生思考解题思路之后，提出了“你能列出综合算式吗”的要求，这既切中了这节课教学的数学问题的要害，又使数学问题具有挑战性。这样看来，教学的着力点应该放在引导学生探讨如何列综合算式上。按照新的教学理念，应该尽量为学生提供自主探索的机会，可以让学生尝试列综合算式，然后组织学生交流各自的想法。通过交流，使学生初步学会根据分步算式列综合算式的方法，进而能够根据对题目中数量关系的整体把握列综合算式。例题中的数量关系是：3副中国象棋的总价 + 4副围棋的总价 = 一共要付的钱，3副中国象棋的总价用12 × 3表示，4副围棋的总价用15 × 4表示，于是就很容易地列出了求一共要付多少钱的综合算式。这种列综合算式的思考方法既提高了学生分析数量关系的水平，又为接下来探究算式的运算顺序以及第一步脱式时为什么两个乘法可以同时计算提供了感性材料，从而理解了先乘后加的合理性。

三步混合运算中出现的运算符号的不同组合比两步混合运算多得多。三步混合运算的每个运算符号都有加、减、乘、除4种选择，三个运算符号的不同排列就有4 × 4 × 4 = 64种不同的情况。考虑到“混合”一词的含义，排除都是同一种运算的4种情况，也还有60种，其中12种是同级混合运算，48种是不同级混合运算。由于同级混合运算可以直接利用两步混合运算中已学过的运算顺序迁移、类推，教材没有安排例题和习题，而着重研究不同级的混合运算。例题研究的是求两积之和，学生会比较容易地类推出求两商或一积一商之和、差的运算顺序。至于只求一积或一商而后进行加、减混合运算，难度不大，学生可以在做习题时自己解决。剩下的就是两步乘、除和一步加、减的混合运算，教材在“试一试”中安排了先除、乘连续计算再求和的题目，以在一道横线上填空的形式，提示学生除法和乘法可以连续计算，这样既暗示了运算顺序，又示范了书写格式。教材还结合例题和“试一试”呈现了两级混合运算顺序的规定。在教学这一规定时，我想教师们都会让学生经历结论的总结过程，以培养学生的概括能力。教学经验丰富的教师还会引导学生梳理不含括号的三步混合运算式题的解题思路，即先观察算式中有哪几种运算，然后确定运算顺序。如果只含有加、减运算或只含有乘、除运算，就按照从左到右的顺序依次运算；如果既有加、减法，又有乘、除法，就先算乘、除法，再算加、减法。为了使计算顺序清楚而又书写简洁，脱式时可第一步把乘、除法都算完，第二步把加、减法都算完。

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教无定法，但有良法。盐城市第一小学王建荣老师、南京师范大学附属小学余颖老师关于这节课的教学设计都做了深入的思考，都注意调动学生的学习积极性，都力求改善学生的学习方式。他们对一些教学环节还做了有效的、独到的安排。例如王老师在教学与例题类似的内容之后，呈现出求两商之和、差以及求一商一积之和的四道算式，让学生结合提供的信息解释算式的意义，还安排了判断一些三步计算的最后一步是求和还是求差、求积、求商的练习，蒋康华先生对这些设计作了精辟的评析，值得一读。余颖老师在练习安排中十分关注含有同级运算和含有两级运算的运算顺序的比较，帮助学生对所研究的问题获得更全面的认识。但是，这两份教学设计我觉得还有些值得商榷之处。例如创设开放性的问题引入教学，虽然对于培养学生的发散思维有好处，但教学的起点距离这节课学生学习的最近发展还似乎远了些。一些学生往往十分关注自己提出的买棋的方案是否正确，那些没有列出三步混合运算算式的学生很可能对此种买棋方案关注不够，最起码是缺少列此综合算式的亲身感受，而对列此综合算式的感受和理解正是这节课学习混合运算顺序的关键所在。再如，以“算24点”作为这节课教学的素材，暂且不说用三个数“算24点”会占用很多教学时间，用四个数“算24点”列出三步的含有两级混合运算的综合算式对多数学生来说困难很大，就算是以上教学比较顺利，学生也难以体会先算乘、除法后算加、减法的合理性。因为如果说对于某四个数来讲先算乘、除后算加、减能算得24，而对于另外四个数或者就是那四个数先算加、减后算乘、除也能算得24，那么运算顺序该如何规定呢？列综合算式“算24点”作为学过四则混合运算顺序规定后的练习内容倒是不错的，作为探讨四则混合运算规则的内容就有些本末倒置了。

以上想法只是本人的一孔之见，仅供参考。