试论信息技术与数学课程的整合策略

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江苏泰州师范高等专科学校　潘小明




众所周知，以计算机技术为主的现代信息技术已经渗人现代数学的发展，不仅影响着数学的形式、内容与方法，而且影响着数学课程的建设与实施、究其因，或许是因为“计算机是数学的创造物，又是数学的创造者”、“计算机是新的数学模式”、“计算机是具体化了的数学”。信息时代，数学课程的建设与实施应当充分发挥信息技术的优势。本文拟对信息技术与数学课程整合的策略作初步的探索。

1　整合教学模式──根据学习任务的具体性质确定学生取向的数学教学模式

信息技术介人数学课程领域，可以通过新旧数学教学模式的整合促进新数学教学模式的生成，充分体现以学生为本的数学教学价值取向。整合后的数学教学模式应当保证学生有足够的自主数学活动空间和主动能动的数学活动时间，保证有必要的师生互动活动、生生互动活动以及学生与数学媒体的交互活动，通过数学课程中内在活动性的张扬而促进学生真正的数学理解，推进数学学习任务的进展。无疑，所谓的数学教学模式整合应当是一种辩证的否定过程，是一种扬弃过程。整合的过程一方面是对既有许多教学模式（如知识强化模式、自我测评模式、练习反馈模式、复习阅览模式、合作交流模式、问题解决模式、自主探究模式等）的反思和运用过程，另一方面又是对传统（特别是有意义讲授模式、启发发现模式）与现代两类教学模式的互补与辩证施用过程。但无论哪方面的整合都不应当脱离具体的学习任务，笔者认为，数学教学模式的整合应当针对具体学段的具体课程任务而进行，例如我们可以整合出如下类型的数学教学模式：基于了解数学基本事实的教学模式，基于理解数学基本理论的教学模式，基于掌握数学基本方法的教学模式，基于数学建模应用的模式，等等。在上述模式下，可以发挥传统数学教学模式下教师透彻分析、讲解的优势与信息技术条件下利用技术突破数学教学难点的优势，让学生在有限的时空内高效率地掌握有关数学事实。例如，就等腰三角形“三线合一”这个基本事实的教学而言，传统教学因较难展现其发现过程，从而造成学生对其不好理解，利用计算机，可以在屏幕上作出任意三角形ABC及其内角A的平分线,BC边的垂直平分线和中线，之后用鼠标在屏幕上随意拖动点A，利用软件功能，此时三角形ABC和“三线”在保持依存关系的前提下随之发生变化。在移动的过程中，学生会直观地发现存在这样的点D，使得角平分线、垂直平分线和中线三线重合。再如，对于圆周率概念的教学，利用教学软件，可以将圆周展开，同时跟踪测量圆周长和圆直径，引导学生发现圆周长与圆直径的比是一个定值。由于实验中圆可以随意变化，学生很容易接受的存在。还必须注意到，整合后的数学教学模式应当突出学生自我控制的积极的数学学习，便于学生根据自己原有的数学经验独立地、主动能动地建构数学的知识和思想方法，并因此不断提高自己的数学能力。例如，几何画板提供了一个十分理想的让学生积极探索问题的“做数学”的环境，学生完全可以利用它来做“数学实验”，这样就能使学生在问题解决过程中获得真正的数学经验，而不仅仅是一些抽象的数学结论。再如，在课后学生可以利用一些辅导软件来复习和巩固某些已经学会的知识和技能，自己决定进度，针对自身情况逐步深人地复习己经学过的知识内容，提高完成任务的速度和准确性。特别值得指出的是，随着Internet技术的飞速发展，学生数学交流的模式也有了变化，通过主页浏览、E-mail双向异步交流、聊天室双向同步通话、BBS双向同步讨论、同步多媒体环境的虚拟数学教室等数学活动方式，可以让远方的专家、数学教师替代计算机有针对性地帮助数学活动主体，让他们通过交互讨论、合作解决有关复杂的数学问题并在交流活动中使各自的数学能力获得可持续性发展。

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2　整合认知工具──从促进学生主体的潜能和优化认知过程出发

数学课程中的信息化认知工具主要可分为两类：数学型认知工具和教学型认知工具。前者如Mathematica，Maple，Mathcad，Graphic Calculus等，这些专业型数学软件增加了数学内容多重联系表示法的潜力，特有的形象化能力又增强了数学学习过程中的信息传递通道，使“做数学”更具有了现实基础。特别重要的是，借助直观形象充分表现了数学的动态性，使得图像化的信息方式不但使数学中的图形表示法成为可能，而且使得这种表示法在许多推理和学习活动中明显地优于文字的、符号的表示法。通过图形的方式，数学型认知工具还提供了一些数学结构，这是大多数教学型数学认知工具所无法做到的，同时，大多数数学型认知工具还允许对有关数学对象直接施加作用，并可观察这些用图形表示的关系随后所发生的变化，这必然会反过来帮助学生意识到这些数学关系的存在，理解它们的本质。从课程效果来分析，这类数学型认知工具尽管有许多独特的优势，但仍有与其他认知工具进一步整合的必要。因为，假如一个学生利用Maple类型的计算机代数系统来学习导数或者积分，虽然他们很可能获得了利用这种工具发现和运用导数和积分的能力，并且这些能力往往已经超越了使用这种工具的特定微积分课程本身，但是，应当注意到，一旦脱离了这类工具环境，不少使用这类认知工具的学生的数学概念转移能力又常常显得那么异常地微弱。事实上，根据认知心理学的有关规律，上述认知过程颠倒过来也许更加有效，也就是说，应让学生们去探究什么样的作用会导致这些关系的特定变化，不仅仅注意到视觉上的直观，而且为进一步理解数学的关系或结构埋下伏笔。教学型的认知工具包含电子数学课本、数学题库系统、数学课件、数学教学包、数学积件、互联网技术等学习工具或环境，目前的主流是基于网络环境的多媒体辅助数学教学系统。与数学型的认知工具是不同的，它在设计的时候必须考虑到学习者认知水平的增长，它通常提供准备好的数学活动资料，通过交互式的画面表达更深层次的数学信息，在实际教学中可以充当小助教的角色。教学型的认知工具在学生的数学活动中的作用主要表现在如下几个方面：（1）在学习过程的所有阶段，无论是学习动机、学习目的，以及环境条件、运算方法等，都可以通过教学型的认知工具激发起学生的高度兴趣，强化主观能动性；（2）教学型的认知工具不仅是学生学习过程中训练数学技能的理想工具，而且还是促进学生个别化学习的教育平台；（3)由于教学型的认知工具常常有及时的反馈控制，能增强了学生解决问题的主动性、独立性，减轻了教师的日常负担，可以用更多精力观察全面情况，或对学生作更多的对症下药的指导。作为教学型数学认知工具的运用，数学教学工作者已经设计了大量的多媒体数学课件，如笔者就曾带领课题成员综合运用了几何画板、Powerpoint, Authorware等工具设计了一系列典型的数学课件：三线八角，三角形的主要线段，勾股定理，平行四边形、矩形、菱形、正方形，四边形各边中点的连线，直线和圆的位置关系，切线长定理和弦切角定理，圆与圆的位置关系，正方体的截面，正三角形的直观图，空中两直线的位置关系，棱柱的概念，棱柱的侧面展开图，斜棱柱，棱锥的概念，棱台的概念，圆柱、圆锥、圆台，三棱锥体积公式的推导，直线斜率和直线方程，圆、椭圆与双曲线，离心率与圆锥曲线的形状，二次函数图象的变换，正弦与余弦函数的曲线，指数函数与对数函数的图象等等，从总体效果来看，关于数学化的交互性水平较低。教学型认知工具在数学教学的运用中也发现了其它一些有待整合的因素，如：在课件中不恰当地追求“多媒体”，引人一些与主题无关的声音、动画等，忽视其对数学教学活动的干扰，忽视数学本身的本质因素；过分追求课件的“外在美”，忽视数学思维过程的“内在美”；重视计算机媒体的运用，忽视多种媒体的优化组合；重视形象思维、动态思维，忽视抽象思维、静态思维；重视计算机技术，忽视教育技术；重视演示型数学课件的研制，忽视问题解决型、发现探索型、模拟游戏型课件的研制，等等。

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随着新一轮基础教育课程改革的不断推进以及新数学课程标准的颁布、实施，人们越来越认同这样的数学学习观：学习数学不是一种旁观者的活动，需要学习者积极的参与，这种参与极好地体现在学生对数学对象和关系所做的处理上，这种参与有待于不同类型数学认知工具的进一步整合，通过整合，可以更好地实现功能优势互补。我国新出版的《义务教育初中数学教学大纲（试用修订版）和高中数学教学大纲（试验修订版）》以及《义务教育数学课程标准（实验稿）》中，提倡广泛使用投影、录像、计算器、计算机、网络等现代教育技术手段，这实际上也突出要求数学认知工具本身的整合。通过整合，将传统数学内容进行必要的现代处理，使信息技术与数学课程发生更本质的作用关系并构建出信息技术支持下的多媒体、多介质的立体化数学活动资料。这种构建应当综合、辩证施用不同类型的认知工具，并优化各种相关 的数学教学模式，如，教师演示问题发生、发展过 程的模式，学生课内自主数学探究的模式和学生 课外研究性学习的模式，等等。

3　整合课程内容──从时代性、技术性、教育性出发适时适度地推陈纳新，并有意识地防止无用信息及技术在数学课程中的泛化和异化

课程内容是学习对象，来源于社会文化。随着社会文化的发展，课程内容必然通过选择而不断更新。事实上，随着上一个世纪的结束，数学已经摆脱了人们习惯上仅仅用纸和笔所进行的符号操作活动以及从属于它的数字计算以及几何命题证明。在60年代对数表和计算尺曾是非常重要的教学内容，随着计算机技术的发展都变得没有保存的意义了。数学的内容不应是那种冷酷的、严格的训练和长期安置在最终状态下不允许有评价及创造余地的固定不变的知识。为了适应社会发展和现代信息技术发展的需要，数学课程内容要不断更新和调整，增加现代科学技术需要的内容并正确反映现代的数学观念，例如，不少国家在其有关文件中提出要减少算术计算的份量，把数学课程中计算活动的侧重点转移到重视运算的意义，恰当的应用、对运算结果合理性的判断以及合理步骤的选择上去。全美数学教师协会（NCTM)则早在1980年就建议：在所有年级中，都应充分发挥计算机的作用，并注重将计算机与数学课程结合为一体，在其2000年的《学校数学的原则和标准》中更是新增了一条技术原则，强调计算器和计算机的应用。那么，在信息技术的作用下，学生究竟应当学习什么样的数学？这应当是一个值得广泛讨论的问题。就我国的数学教育现实而言，一方面我们应努力以现代数学观点去指导学生开展初等数学的探索，另一方面，我们又必须清醒地看到，中小学数学教育毕竟是一种基础性的数学教育，在考虑技术因素和社会因素的同时，我们还必须考虑学生因素，即必须充分考虑学生认知发展的限度和潜力，相关数学课程的建砷既不可能增加大量的新知识，又不可能弃置原有的知识另起炉灶。随着计算机代数的日臻成熟，随着图形计算器和许多软件包数学运算功能的增强（mathpert还能在每一步给出提示，引导学生给出解答），数学课程改革更应当重视数学作为交流语言的价值。为此，应当从时代性、技术性出发适时适度地积极地推陈纳新，改革现有数学课程，并在综合、系统通盘考虑的基础上有意识地防止无用信息及相关技术在数学课程中的泛化和异化。例如，当我们削弱和改革偏、难、繁、旧的代数运算和几何论证的同时，我们并不能完全取消学生的代数练习和几何论证，而是要突出基本数学技能训练，掌握基本数学知识、基本数学思维、基本数学方法，不注意这一点，所谓数学课程内容的改革就被异化了──至少可以问一句是：所从事的活动还是不是数学活动？信息技术在数学课程中的泛化表现为滥用信息技术，造成数学课程内容无端庞大，造成学生数学能力实质性下降等不良后果。事实上，在国外的数学课程改革中这样的经验教训还是比较深刻，如美国曾在微积分教学中过度地使用信息技术表现图像直观，结果在后继内容的学习中学生的抽象思维能力严重跟不上，只好回过头来补有关抽象思维能力培训课。防止泛化和异化的方法之一就是数学课程内容的改革不能就内容谈内容，还应结合课程结构考虑课程内容的改革，例如，就几何课程内容改革而言，可借助于信息技术作如下必要调整：尽早地引人解析几何的思想，减少平面几何中有关的教学内容，并突出函数图象和关系、坐标与变换、分形几何等方面的内容等。

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新的数学课程标准已经作了信息技术与课程内容整合的有益尝试，但同时我们还必须自觉地认识到信息技术与数学课程内容整合本身的艰巨性和繁杂性，例如，除了防止所谓的泛化和异化外，还应当有意识地防止罗列一堆割裂的命题并把它们作为数学的构成成分，相反，应当尽可能把数学的各种结构和内在联系反映其中。笔者认为，在信息技术与数学课程内容整合的过程中应动态地平衡技术、数学、社会、学生之间的关系，平衡数学基本技能、数学概念理解与数学问题解决之间的关系，平衡应用性与系统性之间的关系，平衡图像直观与形式逻辑之间的关系、平衡认知工具与学生情感之间的关系