教材处理与教学启示

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数学方法是对数学知识及其探索过程理性反思的结果，是数学活动最为本质的内核，也是设计和编写数学教材的基本出发点和落脚点。大部分重要的数学思想方法，本身就与亦已获得公认的数学成果密切相关，如微积分、统计概率、函数与方程，等等。数学思想与数学方法是互为表里的一体两面，两者都是以相关知识为载体，又反过来促进知识的深化以及知识向能力的转化。方法，是体现相应思想的技术手段，思想则是对应方法的精神实质。一个知识系统所关注和遵循的方法及其内蕴的思想是个知识系统的生命和灵魂，是知识赖以转化为认识世界、改造世界能量的桥梁。

由于数学思想方法所包含的内容非常丰富，且理论界无完全一致的看法，因此作为数学教材就存在一个“去枝留干、有所侧重”的选择问题。换句话说，教材所应关注或希望学生能够有所领悟的数学思想方法究竟有哪些?大体说来，有如下三个维度的的考量：一是小学数学知识本身所蕴含的一些重要的思想方法，如与数与代数内容密切相关的“集合与对应思想”“符号化思想”“函数与方程思想”等；与空间与图形内容密切相关的“数形结合思想”“观察与实验思想”等；与统计与概率内容密切“数据据分析思想”“随机思想”等。二是对小学生后续学习能够产生积极影响的一些常用思想方法，如“比较与分类思想”“归纳与演绎思想”“变换与转化思想”“猜想与验证思想”等。三是对小学生获取知识、解决问题有着直接作用，且易为他们接受的一些具体方法技巧，如“直观化方法”“倒推方法”“枚举方法”“假设与替换方法”“逐步逼近方法”等      

需要说明的是，上述所谓的“三个维度的考量”并不是小学数学教材所蕴含的数学思想方法的整体，相关维度中所列举的内容也不是严格的主次、层级关系。事实上，不同维度中所列举的内容总是不可避免地存在交叉。但显然，这些内容构成了小学生应该有所感悟，并且能够有所感悟的数学思想方法的主体．也是展开教学内容时应当关注的重点和遵循的内在轨迹。

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二

苏教版教材十分重视数学思想方法的有机渗透、不断积累和逐步提升。在具体安排上，一是以最基础、最具适应性的基本数学思想统率知识的发生、发展过程，努力使学生在获得具体数学知识的同时受到相应数学思想的熏陶。

    以空间与图形领域中“图形与位置”内容的安排为例。这部分内容主要包括二年级(上册)用“第几排第几个”以及类似方式描述物体所在位置，五年级(下册)用“数对”表示方格图上点的位置，以及六年级(下册)用“方向和距离”确定平面图上点的位置。上述内容中所蕴含的数学思想方法主线是“依据小学生的年龄特点和认知水平，让他们逐步感知数与平面图形上点的关系，体会数形结合的基本方法和价值”。其中，用“第几排第几个”以及类似方式描述物体所在位置，主要着眼于学生已有的生活经验，而用“有序数对”表示相关点的位置，则是对生活经验的超越，也是对相关感性认识的适度

  提升。至于用“方向(本质是象限角)和距离”确定平面图上点的位置，其基本思想与用“数对”表示点的位置是一致的，它有利于学生从不同角度丰富对相关数学思想方法的认识。事实上，学生通过上述内容的学习，所获得的对数与形关系的深层感悟，对于今后进一步学习“用代数运算获取几何结论”，或者用“几何方法获取代数结论”是非常有益的。

二是通过应用所学知识分析问题、解决问题的过程，引导学生体会不同领域数学内容之间的联系与综合，不断丰富对数学思想方法的体验，积累对基本数学思想方法的认识。   

下面是六年级(上册)第6单元“分数四则混合运算”中安排的两道题(见下图)。




显然，学生通过第5题的解答，所获得的仅是一个个别的、特殊的结论，即；这个长方形的长和宽分别增加1/2后，它的面积是原来的9/4；而按照第6题的要求去做，则能获得若干个(通过交流)具有相同规律的结论。由此，便不难归纳出“所有长方形的长和宽分别增加1/2后，它们的面积都是原来的9/4。尽管这个结论是否一定正确还需要进一步的证明，但这种由特殊现象到一般规律的归纳过程却在学生头脑中留下了深刻的印记。久而久之，他们也就能够自觉运用这样的方法主动去探索知识、发现规律、解决问题，而这样的意识和经验最终便能真正成长为学生的数学素养。

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三是从第二学段开始逐册安排《解决问题的策略》单元。这部分内容以解决实际问题为载体，以一些重要的数学思想方法为线索，帮助学生通过对解决问题过程的回顾与反思，适当提升对相关数学思想方法的认识，进一步感受符号化、数形结合、转化、试验与调整、归纳与发现、猜想与验证等基本数学思想方法的价值，增强运用数学思想方法探索新知、解决问题的自觉性，促进数学学习能力的提高。

以六年级(上册)第7单元为例。本单元的例题中安排了一道类似中国古典算题“鸡兔同笼”的问题。在呈现问题之后，首先鼓励学生用画图或列表的方法大胆进行尝试，进而依据小学生的思维习惯和解题经验呈现了“假设10只船全是大船”的情形，让学生直观地看出：如果10只船全是大船，那么一共就能乘坐50人，而这与实际的乘船人数并不相符。由此，启发他们进行进一步的试验和调整：如果有9只大船和1只小船，就能乘坐48人；如果有8只大船和2只小船，就能乘坐46人……在这个过程中，不难发现：每减少1只大船同时增加1只小船，乘坐的总人数就会减少2人。于是，只要把4只大船替换成小船，乘坐的总人数就会减少8人，问题便得到了解决。

    为使学生进一步体会试验和调整在解决这个问题过程中的作用，教材还用表格的形式呈现“假设有5只大船和5只小船”的情形，启发他们依据总人数的多少，进行相应的试验和调整。此后，教材再通过引导学生反思上述解决问题的过程，尝试用其他方法求出答案等一系列活动，帮助他们进一步明确和加深对相关数学思想方法的体会，感受相关数学思想方法的意义和价值。

三

在中小学数学教材中努力体现和反映一些重要的数学思想方法，并使之贯穿于问题提出、知识展开和拓展应用等各个环节，已经成为一个普遍的共识。但教材本身毕竟是一个静态的结构系统，况且数学思想方法大都又内隐在该系统的表层之下。因此，如何使数学思想方法在日常的教学活动中发挥充分、恰当和有效的影响，是一个极富现实意义的重要课题。笔者在此仅作一些粗线条的勾勒，以为引玉之砖。

    1．多层次审视内容价值。当我们面对一个教学内容时，首要的任务当然是要分析这个内容在相关知识结构中的地位和作用：它对学生当前以及今后一段时间的数学学习将会产生怎样的影响?我们需要学生对这个内容理解或掌握到何种程度?学生在理解和掌握这一内容时会遇到怎样的困惑和障碍?等等。另一方面，我们还应当适当考察该内容对学生长远的数学学习将会产生怎样的影响。为此，有必要进一步了解相关知识的发展脉络，了解这些内容背后的背景资料，挖掘历史上产生这种数学知识的思想根源，复原数学先辈们当时所面临的困惑以及解决问题的心路历程，从而有针对性地加以引申和扩展。例如，教学圆周率时，通常我们会让学生先测量几个大小不同的圆片的周长和直  径，并计算出比值。在此基础上，揭示“这个比值是固定不变的数”，而这个数就叫做圆周率。问题是，像这样的测量误差总是很大的，祖冲之等数学先辈们显然不是采用这样的方法把圆周率的值精确到7位小数，那么，他们又是怎样做的呢?再说，人们现在已经能够应用计算机把圆周率的值计算到上亿位小数，这样的计算似乎也不可能沿袭割圆的方法，那么，求圆周率的方法从古至今又发生了怎样的变革?通过对这些问题的深了解，相信能使我们对圆周率的教学价值及其过程有更为透彻的理解。

    2．合理选择问题延伸方向。“问题是数学的心脏”，数学活动总是由问题驱动，并不断引向深入。好的问题不仅能有效激发学生的好奇心与求知欲，启发学生自觉投入积极的思维，而且应该寓数学意识、数学传统和数学思维方式于其内，对于学生感悟数学思想方法的精神实质有着独特的、不可替代的作用。就小学数学而言，在面向基本内容的简单问题得以解决之后，如何选择问题延伸的方向则显得尤为重要。例如，一一间隔排列的两种物体数量B常存在如下三种关系：甲比乙多1，甲比乙少1，甲与乙相等。当学生认识到上述现象的基本特点对相关数量关系有所感知之后，接下来的关键就是：在怎样的情形之下，甲比乙多1？在怎样的情形下，甲比乙少1？在怎样的情形之下，甲与乙相等？一种思路是引导学生关注物体排列的形式，是封闭的环形，还是一条直线?排成直线的物体两端是否相同?等等。另一种思路则是启发学生把间隔排列的物体一组一组地圈一圈(当然不需要全部圈完)，利用“一一对应”的思想确定数量间的关系。显然，后者更接近问题的本质，也更有利于学生体会相关数学思想方法的价值。

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3.适度提升数学活动经验。数学活动经验是指学习者在参与数学活动的过程中所形成的感性知识、情绪体验和应用意识。与显性的数学知识、规律相比，它是比较模糊的、不太严谨的、缺乏明晰结构的体系，但它对于提炼并形成数学思想方法却有着重要的作用。适度提升小学生在数学活动中所获得的一些基本经验，既能加深对相关数学知识和规律的理解，更有利于学生的思维产生实质性飞跃。例如，通过操作和比较，小学生一般不难发现：周长相等的长方形中，长与宽越接近，其面积就越大；当长与宽相等时，长方形就演变成为正方形，而正方形的面积是最大的。由此，我们可以进一步启发：周长相等的正方形与正五边形、正六边形、正八边形、正十二边形，哪个面积更大?想象一下，当正多边形的边数越来越多时，它的形状会越来越接近什么图形?边长相等的正多边形与圆，又是哪个面积大呢?上述追问，其实未必需要学生作出明确回答，甚至我们可在追问后直接告知答案。但如能结合直观手段，呈现由正方形、正五边形，一直到圆的演变过程，相信学生对蕴含其中的直与曲、有限与无限的辩证关系自然会有一些较原有经验更为深刻的心得。

    4．择机介绍数学史料。数学的历史蜿蜒曲折，蕴含着无穷的魅力。在教学过程牛择机介绍一些相关的数学史料，既有利于学生了解数学知识产生、演进的来龙去脉，开拓他们的视野，也有利于学生感悟内隐其中的观点、信念、态度和方法。例如，教学容量单位升和毫升之后，有老师利用多媒体图文并茂地向学生介绍了我国历史上有关“度、量、衡”的史料，告诉学生：“度”就是计量长度，“量”就是计量容积，“衡”就是计量轻重。最初人们并没有计量单位和计量工具，而是很有智慧地利用自己的身体进行计量活动，如用一步、一柞、一庹来测量长度，用一把或一捧来衡量谷物的多少，所谓“两手谓之掬，掬四谓之豆(斗)”等等。后来逐步发明了一些计量工具和计量单位，如尺、秤、升、斗等等，计量才变得越来越方便和规范。显然，这样的介绍，以及由此所产生的感悟自然比知识本身更宝贵、也更有价值。

真诚天下

落实新课改，活用老教材。