新课程背景下计算教学的思考

桃小

一直以来．我国小学数学十分重视计算教学。上世纪八、九十年代先后颁布的历部数学教学大纲，都把培养计算能力作为小学数学教学的一项重要任务，要求学生的计算达到正确、迅速的程度，做到计算方法法合理、灵活。经过长期努力，小学计算教学逐渐形成了基础扎实、技能熟练、要求严谨等特点，高水平的运算能力是小学数学教学具有先进水平的主要表现。世纪之交颁布的《数学课程标准》（实验稿）把运算作为必须具有的数学应用技能之一，指出重视口算，加强估算，改善计算教学方式，使学生掌握运算技能，还给出了基本运算应该达到的速度指标，把能否应用计算知识解决实际问题、能否应用合理的计算策略正确计算、能否估计或验算计算的结果、能否用计算器探求规律作为评价计算学习的着眼点。

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一、小学数学为什么重视计算教学

    首先，小学数学课程内容是以认数和计算为主线而设计的，在计算里有许多基础知识，包括运算的意义、运算法则以及运算的规律和性质，这些知识的教学一方面加强了对数的进一步认识，另一方面又为其他数学内容的教学打下了扎实的基础。可以说，离开了数的运算，数学内容就难以组织，数学教学就难以有序展开。

    第二，计算是重要的数学应用技能，解决日常生活和生产劳动中的实际问题，经常需要进行计算。能不能正确计算影响着解决实际问题的结果，能不能合理计算关系到解决实际问题的效率。

    第三、计算学习是发展思维的有效载体。计算学习分大致分成习得知识和应用知识两大部分，小学数学形成运算概念和运算规则，一般从若干具体对象里提取本质的数学内容，这就开展了感知、抽象、概括等思维活动；应用运算知识解决实际问题，一般要把实际问题转化成数学问题，从而选用相应的运算与方法，这就经历了判断、推理的过程。学生的数学思维在系统的计算教学中能够得到充分的发展。

    第四、计算学习有利于形成稳定的心理和良好的习惯。无论数学学习还是解决实际问题，计算结果都应该正确．这就要求学生具有认真、负责的态度。做到计算正确是不容易的，一道稍复杂的计算，所包含的单项口算少则几道、多则几十道，还经常进位或退位，只要其中某一次单项口算错了，最后计算的结果就错了，这就要求学生准确感知运算符号与数字信息，高度集中注意并且合理分配、适时转移，保持思考畅通、连贯、灵活，维持稳定的速度。有时还要通过检验或联系数感，评估计算结果是不是合理。另外，数学计算总是比较枯燥的，还要求学生对计算有兴趣、有耐心、有信心。事实充分表明，计算与心理状态、行为习惯有着密切联系，计算学习能够培养积极的情感态度。

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   二、计算教学的主要变化

    1．改进口算、笔算的教学，引导学生建构算法。

计算教学通常有两类方式，一类是教师给出计算的规则，要求学生按照规定进行计算；另一类是引导学生经历形成算法的过程，在直接经验的基础上，抽象概括具有一般意义的算法。显然，前一类方式是学生被动接受算法，后一类方式是学生主动建构算法。新课程主张后一类教学方式。

建构算法的资源是学生已有的计算知识与经验。在现实的问题情境中，这些资源被激活、提取，经过加工整理，既解决实际问题，又产生了新的计算方法。如，二年级(下册)笔算两位数乘一位数的第一道例题14×2(见下图)，受图画呈现的问题情境启示，学生想到“2个10是20，2个4是8，合起来是28”，获得计算14×2的直接经验。整理这样的计算，并分步骤写出计算过程，学生不仅知道了竖式应该怎样算，而且理解了每一步计算的意义。这道例题的计算也揭示了两位数乘一位数笔算的一般算法，能够推广到其他两位数乘一位数的笔算中去。




学生建构新算法，各人的学习资源经常不同。这与现实情境对个体的认知结构与经验系统的作用有关，因而学生群体内往往出现不同的算法。基于这样的理念和事实，课程标准提倡“算法多样化”，鼓励学生交流各自的算法。可以说，“算法多样化”是学生主动建构算法的具体表现。

反思前几年的计算教学实践，有三点启示：一是既要尊重学生的各种算法，又不宜片面追求所谓的“多样化”。一方面，学生人人动手动脑，独立解决新的计算问题，这种学习的主动性必须得到保护，否则，被动的学习方式不会从根本上改变。另一方面，学生的各种算法仍处于新算法的感知阶段，离最终得出计算规则还要走很长的路，还要进行许多学习活动。如果与新算法密切相关的知识经验被唤醒了，学生进入了新知识的最近发展区，教学仍然留连于形式上的“多样化”就没有意义了。二是要在学生的各种算法中寻找新知识的生长点，培育计算规则。学生解决实际问题的各种算法和新知识的相关程度是不相同的，有的算法与新知识接近，有的距离远一些，有的甚至没有明显联系。教学要善于区别对待、合理利用各种算法，通过算法交流，突出新知识的生长点，使全体学生都关注并理解与新算法密切相关的那种(些)算法。如，三年级(下册)教学笔算两位数乘两位数的第一道例题28×12，教材里呈现的几种算法，都是学生联系已有经验可能想到的。




“番茄”的算法与新知识密切相关，经过整理加工就是竖式的算理与步骤。“蘑菇”的算法是新知识的最近发展区，已经写出的竖式，既是两位数乘一位数这一旧知，也是新知两位数乘两位数的第一步计算。两位数乘两位数的笔算法则，应该从“番茄”“蘑菇”的算法中得出。至于“萝卜”“辣椒”的算法，得数与“番茄”相同，除了互相印证都算对了，在建构新的竖式计算方法上并没有更多的作用。因此，让学生探索28×12的计算，一定要引出“番茄”“蘑菇”的方法，并不一定追求“萝卜”“辣椒”的方法。三是要对学生的直接经验进一步“数学化”，超越算法在现实情境里的具体含义，抽象出本质的数学内容，概括出具有普遍意义的计算规则。仍以28×12为例，“番茄”的思考依赖于具体的数量关系，先要抽象成三步计算：28×2＝56、28×10＝280、564-280＝336；再把三步计算有序地组织成竖式，并联系280是28个十，理解竖式的一般写法；最后要指着竖式说说28×12的算法。这样，就较好地处理了直接经验和间接经验的关系，把计算法则融于个体的认知结构之中，教材不需要另外写出法则，学生也不需要专门记忆法则了。

2．加强估算，让各种形式的计算有机融合。

新课程加强估算，主要原因有三个：第一，估算是解决实际问题常用且有效的策略与方法。有人统计日常生活中进行估算的次数，远比精确计算的次数多。因为许多实际问题并不要求十分精确的结果，只需对结果的范围作出大致的判断，估算能便捷地解决问题。第二，估算是数感的表现，能促进数感的发展。尽管对较大数的计算可以用计算  器方便地完成，也可以不厌其烦地用竖式计算，但是，能不能估算、爱不爱估算对思维发展有很大的影响。估算较差的人倾向于精确计算，而精确计算的方法单一，结果唯一，思维比较呆板，数感较弱。估算较强的人，在估算时会灵活应用不同的方法，思维比较开放，数感较强。第三，估算与口算、笔算、计算器计算是不同形式与方法的计算，能相互影。向、相互促进，共同组成运算能力。

先说估算和口算的关系。估算把比较复杂的计算看作相接近的整十数、整百数的计算，通过口算得到原来计算的结果大致是多少，从这一点上说，估算依靠口算。有时，估算也能促进口算。一年级(下册)教学口算两位数加、减一位数的时候，教材编排了“先说出48+3、6+52……37－9、78－5……的得数是几十多，再计算”这样的练习，估计得  数是几十多，能引导学生注意加法的进位与不进位，减法的退位与不退位，从而减少加、减法口算的错误。有些时候，估算还能推动口算的算法优化，这是口算教学的一个重要环节。如，三年级(上册)口算两位数加两位数44-925，学生中会出现三种算  睁呈先算44+20＝64，再算64+5＝69；第二种是先算44+5＝49，再算49+20＝69；第三种是40+20＝60和4+5＝9，再算60+9＝69。受笔算的影响，许多学生喜欢后两种算法，不习惯第一种算法的思路。教学经验告诉我们，第三种算法用于加法很方便，迁移到退位的两位数减两位数就不方便了。有人曾经调查过前两种算法，发现第二种算法的错误率高于第一种算法，在进位加法时更为明显。这就涉及了算法优化的问题。“优化”是个体知识经验的自我调整，要放弃已有的习惯，更新曾经的思路与方法，不是简单的过程。“优化”只能“引”，不能“逼”，如果强制规定学生只准这样算、不准那样算，学生不情愿地使用规定的算法，效果不会好。怎样使学生自觉采用第一种算法呢?教材提示学生应用估算，进行“先估计35+32、35+38……的得数是几十多，再计算”的练习，通过先算35+30=65，再看个位数相加是否满10，是否需要进位的估算思路，形成先算35+30＝65，再算65加几的口算方法。

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估算对笔算的作用。在某些笔算遇到困难的时候，估算能突破思维障碍，支持对笔算方法的探索，促进算法的形成。在进行较大数的计算时，估算能监控笔算的得数，及时发现大的差错。三年级（下册)在三位数除以一位数，商是三位数的除法之后，教学三位数除以一位数，商是两位数的除法，为什么从先除被除数百位上的数变成先除被除数前两位上的数是教学的难点，例题312÷4就利用估算“商比100小”，推理出被除数百位上的数比除数小，不够商1个百，要先除前两位上的数，商几个十。对第一学段学生而言，两位数乘两位数的积比较大，难免发生计算错误，如果养成先估算后笔算，或者竖式计算以后再估一估的习惯，明显的计算错误就能及时纠正。

3、注意心理品质的养成，尽力减少计算错误。

是困扰计算的一大难题，以前的教学大纲强调两条：一是加强练习，尤其以“四表”为内容的口算练习几乎是天天练、课课练，希望通过正确、熟练的基本口算减少笔算错误；二是加强验算，重视盐酸方法的指导，重视验算习惯的培养，希望通过盐酸发现计算错误。这两条措施在一定程度上提搞了计算的正确率，但没有从根本上解决学生不细心、不专心等不良现象，而且计算练习的负担比较重。因为加强训练和强调验算，只是外部对学生学习的控制，学生内因的积极作用并没有形成，熟练的基本口算没有完全转化成稍复杂计算的能力，学生对验算没有好感，看成附加于笔算的负担。我们常把算错归因为学生粗心，其实粗心是一些心理因素造成的。首先是学生对计算不感兴趣，没有信心，在不积极的状态下被动执行计算任务，必定会错误频发。其次是计算题由数字符号和运算符号组成，比较枯燥，10个数字与几个符号组成了不计其数的计算题，容易引起知觉错误。再次，笔算是心智活动与肢体活动的结合，要边看边写，边回忆法则边计  算，儿童的年龄心理制约了注意力的集中、分配与转移，往往顾此失彼。最后，口算能力不能满足笔算的要求，短时记忆能力差，也会造成算错。

新课程希望从学生积极参与数学学习活动、获得成功体验、建立自信心、锻炼克服困难的意志、培养质疑和独立思考习惯等方面，改善学生计算时的心理状态，解决一部分学生错得多、错了无所谓的现象。为此，教材注意了以下几点：(1)改变计算学习枯燥乏味的面貌，联系学生感兴趣的事件或生活里的现实问题教学计算知识，让学生在解决实际问题的过程中感受计算的应用价值，体会正确计算的重要，产生愿意学习计算，认真进行计算的内在动力。(2)改进计算教学方法，在新授计算规则时，可引导学生观察、操作、讨论、交流、回顾，通过独立探索、合作交流，以及教师必要的讲解示范，理解算理，总结法则。在练习中利用类似503—302、503—392、503—409，672÷6、670÷6、602÷6这些题组，凸显计算规则的基本成分，培养应对变化和处理特殊情况的灵活能力，完善认知结构，充实计算经验。(3)适时编排像33+30与33+3、506+397与506—397、13X5与15X3这些题组，培养学生细致感知、看清数字、认准符号的习惯。(4)依据对基本运算的速度要求和正确率指标，经常安排计算测查，让学生了解自己的计算状况，看到进步、增强信心，找到问题、分析原因，有针对性地提高计算水平。

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三、加强计算练习，提高练习的质量

形成计算能力需要练习，“熟能生巧”曾经是我们的经验。实施新课程这几年，一些学校、班级的计算练习不够充分，表现为新授课拘泥于形式上的“算法多样化”，抓不住新算法的生长点，教师应有的主导作用不到位，用于构建新算法的时间过长，挤占了练习时间；计算练习课在某些习题的枝节上纠缠过多，本末倒置，节奏过松，一堂课算不了几道题；教学其他数学知识的时候，很少顾及计算练习，缺乏经常性的练习计划和常规，学生计算水平不能稳固，更不能提升。所以，今后一段时间里，要注意增加练习的量，确保计算技能的形成。   

计算练习要遵循技能形成的规律，讲究实效。计算法则是程序性知识，形成技能要把客观的程序性知识内化成主体的行为经验，实现由详尽的思维活动向跳跃的思维活动的变化，从依附法则的计算变为潜意识法则的自动化运算状态。计算练习的实效体现在促成内化、促成跳跃、促成自动化。

口算练习要促进思维跳跃。如46+7的计算，详尽的过程是：46分成40和6，先算6+7＝13，再算40+13＝53。其中46的分解、6+7的计算是视算(能够看着题目进行)，40+13是心算(题目在头脑里，没有视觉帮助)，学生口算46+?的错误集中在40+13这一步计算上。因此，口算练习的重点不在前半程的视算上，而在后半程的心算上。促进思维跳跃即看到46+7想40+13，使口算过程中关键且易错的一步浮出水面，把注意力集中到这一步上来，就能算得又对又快。这样的跳跃引导了注意力的转移和分配，实现了思维化繁为简，一定程度上也实现了算法优化。类似地，计算72—8要想60+4，计算15×6要想60+30。

    笔算练习要促进步骤联结。完成一道笔算题，总是分几个步骤，进行多次口算。把各计算步骤、各次口算联结起来，连贯而平稳地进行，是笔算练习的任务，也是有效减少错误之所在。在初学计算法则的时候，可以让学生在计算前说说打算怎样算，或者在计算后说说过程和应注意什么。这样，计算法则里的程序就逐渐变成自动化行为。进位

和退位是计算错误的“高发区”，也是在联结上出了问题，像6×8+5这样的一位数乘一位数再加一位数的专项口算练习，能保障笔算乘、除法时的联结。另外，规范写竖式、认真写数字也很重要。书写能调节心情、调节计算速度。书写能稳定心态、集中注意。事实证明，书写习惯好的学生计算正确率高，书写马虎的学生粗心严重。因此，书写也是计算学习的重要常规。