积极应对学科知识新挑战

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高处着眼　低处着手

　　■丁国忠　

　《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》第一次将平移、旋转、中位数、众数、可能性等内容纳入小学数学课程，对小学数学教师的数学素养提出了更高的要求。在教学实践中，小学数学教师本体性知识欠缺的问题逐渐暴露出来。“要给学生一杯水，教师就要有一桶水”的观念经过一次又一次的实践证明，再次成为数学教育界的共识。

　由于过去的师范教育中没有设置解析几何、概率论等课程，很多小学数学教师从来没有接受过“图形变换”与“统计和概率”等知识的系统培训。还有一些教师，过去虽然学习过相关课程，但由于没有机会再次接触，久而久之，逐渐淡忘。以下的这些教学片断就表明仍有相当一部分教师的数学专业知识结构不能完全满足新课程的要求。

  [片断1]

　教师给学生举出一些生活中常见的旋转实例时，举了房门开关的例子。（事实上，中小学数学中涉及到的图形变换都是在同一平面内讨论的，教师应该意识到两种“旋转”有着本质的区别。）

  [片断2]

　教师引导学生观察方格纸上一个轴对称图形的特点时，总结出“对称轴的两边共有五组对应点，每组对应点的连线和对称轴垂直且到对称轴的距离相等”的结论。（看似准确的结论却在不经意中传达给学生一个错误的信息：对称轴两边只有五组对应点。这仅仅是一个口误，还是教师缺乏应有的数学敏感？）

  [片断3]

　在“数据收集”一课中，教师让学生以小组为单位，调查听课的几十位教师分别喜欢什么小动物。小组成员分别找了一些教师进行调查，然后把调查结果在小组中汇总。（热热闹闹的小组合作学习方式难掩教师统计知识的薄弱，因为同一小组的若干名学生对几位坐在前排的听课教师进行了重复调查，汇总后的结果并不能准确地反映实际情况。对此，执教者竟浑然不觉。）

　从以上案例可以看出，如果教师缺乏深厚的数学功底，全面培养学生的数学能力就只能是一句空泛的口号而已。因此，需要通过多渠道的学习和培训让小学数学教师尽快补上这一课。首先解决“教得对不对”的问题，再解决“教得好不好”的问题。一方面，教师需要不断提高自己的数学修养，以更高的视角来看待小学数学的内容，即“高处着眼”。另一方面，由于我们的教育对象是小学生，教师又应以一种平易近人、通俗易懂的方式呈现数学知识，即“低处着手”。有了“高处着眼”，才能高屋建瓴，统揽全局。但若没有“低处着手”，就不能化繁为简，寓教于乐，培养学生的数学素养和数学精神更无从谈起。

　厚积方能薄发。小学数学课程的内容虽然相对简单，但同样蕴含了丰富的数学方法、数学思想和数学文化。要使学生获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，教师首先要具备丰厚的数学知识、扎实的数学技能和成熟的数学思想。只有这样，才能以一种宏观的、联系的、发展的观念去看待数学，而不拘泥于局部的、零散的、静态的认识，才能从更高更广的角度理解“数学是什么”、“小学生应该学习什么样的数学”等问题，才能在实施教学时信手拈来，游刃有余。

　首先，要及时补充与小学数学内容直接相关的数学知识。要求教师对数学的每个分支都进行深入研究并不现实，也无必要。但对基本内容和核心思想进行全面的了解，还是很有必要的。教师以何种高度看待小学数学内容直接决定了能否把课上出“数学味”来。其次，要关注数学学科的最新发展动向。数学是一个不断发展着的学科，了解数学的发展历史、当前的发展状况以及未来的发展方向，对于教师理解数学的思想和文化至关重要。教师只有了解这些前沿信息，才能以数学自身的旺盛生命力和内在魅力吸引学生不断探索未知世界。

  深入还需浅出。由于小学教育的特殊性，教师除了具备厚实的数学功底以外，还要拥有将这些抽象的数学知识转化为生动活泼的“儿童数学”的能力，在课堂上以最朴素、最简洁、最直观、最易于理解的方式来呈现数学知识，化平凡为神奇，寓大道于最简，让学生真正体会数学的有趣，从而自发地产生亲近数学的愿望。在素材选取、活动设计等方面，只有充分考虑学生的发展水平，才能为学生提供一种科学性、严谨性与通俗性、趣味性相统一的数学教育。

　“高处着眼，低处着手”，不仅是对小学数学教师的要求，更是全体数学教育工作者应努力达到的共同目标。所有数学教育工作者，包括理论工作者、课程设计者、教材编写者、教研人员、教师，都需要不断修炼内功，提高数学修养，以适应不断发展的数学教育的需要。同时，又应该以一种“低姿态”来提出教育理论、制订课程标准、编写教科书、设计教学。正如武侠小说中所描述的：“练拳不练功，到老一场空。练功不练拳，犹如无舵船。”如果各个层面的数学教育工作者都能既练好“功”，又练好“拳”，我们的数学教育就能少一分功利与浮躁，多一分平实与和谐。（作者为人民教育出版社小学数学室编辑）

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提升教师数学素养有策略有渠道

　■孔凡哲　

　中小学教育改革发展中的大量现实表明，教师的学科专业素养欠缺，已经成为制约中小学教师提升教育教学质量、实现专业成长的最大障碍之一。作为广大小学数学教师中的一员，如何在相对紧张的教学与管理工作之余，及时提升自己的数学学科专业素养，就成为加速小学数学教师专业成长的关键和难点所在。

　基本策略——根据数学知识的不同类别分层处理

　影响小学数学教师准确把握数学内涵的课程内容，大致分为三大类别。

　一类是在以往接受的教育中没学过而小学数学课程新增的内容。如统计与概率，小学数学教师在日常教学中经常出现“小概率事件不可能发生”等错误认识，就是由于知识缺陷所致。

　二是教师以往学习过而小学数学课程新增的内容。比如负数、方程、平移、旋转等。此类问题主要表现为，多数教师不能准确把握这些新增内容的数学本质内涵，不能准确把握这些内容在小学数学课程中的难易程度。

　三是小学数学课程内容中的传统内容，但目前的小学数学课程的要求发生较大变化。以自然数为例，自然数的含义有两种，即基数含义和序数含义。当用来表示事物的数量，即被数的物体有“多少个”时，这就是自然数的基数意义；当用来表示事物的次序，即最后被数的物体是“第几个”时，就是自然数的序数意义。

  提升小学数学教师数学素养的基本方法与渠道

　近年来，通过针对小学数学教学的大量专题研究和专项实践探索，我们发现，如下四种渠道方法，对于提高小学数学教师的数学专业素养效果显著。

　一是认真研读课程标准，厘清数学课程每个领域的核心目标及其相应的数学内涵，以及每个具体的数学内容的课程教学要求。同时，结合小学生实际，列举一定数量的事例，以便于更准确地把握这些数学内容的深广度及相应的数学学科价值和教育价值。这是提高教师学科素养的关键，更是必不可少的环节。

　就小学数学课程的整个体系而言，小学数学课程的核心目标在于，通过发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观和运算能力，通过培养数据分析观念、合情推理和演绎推理能力以及数学的思维方式，进而实现学生在数学上的全面发展。而相对于不同的课程领域，其侧重点有所差异。例如，数与代数领域的重点在于帮助学生建立数感、符号意识、运算、模型观念，而图形与几何领域的重点在于通过操作、观察等活动，建立几何直观，发展推理能力和几何活动经验，进而帮助学生建立空间观念、几何直观、推理能力。

　二是系统学习数学学科的基本思想、基本方法的论文、论著，把握数学的思维特征和数学抽象的核心特征，对于核心数学思想，如数学抽象、数学推理、数学建模，要真正理解并用小学数学的典型事例加以解读。

　为此，一方面，教学需要细心收集现代数学的基本思想在中小学教学中具体体现的范例。例如，对于现代数学中的统筹优化思想，可以借助恰当的现实事例加以理解和学习：3位顾客同时来到一个油条摊点购买刚出锅的热油条，顾客甲是“单身贵族”，买一个人吃的油条，全程需要2分钟；顾客乙是“二人世界”，买两个人吃的油条，全程需要4分钟；顾客丙是“三口之家”，买3人吃的油条，全程需要6分钟。3位谁先买、谁后买，才能让大家等的时间总和最少？

　这个事例体现了现代数学的分支领域“排队论”的核心结论——买得多的后买，买得少的先买，大家等的时间总和最少。如果仅仅将其理解为一次加法运算、一次游戏活动，计算一下、比较一下，就此结束，其数学含义很有可能被埋没。当然，对于小学生来说，只需要了解“任何事情经过精心安排、统筹考虑，常常能找到最优方案”就可以了。

　另一方面，如果需要开展相对系统的学习，就需要借助一定的书籍。系统地学习数学思想，对于切实提高我们的数学素养具有显著效果。

　三是要进行数学知识补偿教育，查缺补漏。对此，不仅需要重视以往尚未系统学习过的数学内容，更不宜忽略曾经系统学过、而当前变化较大的小学数学内容。

　大学阶段或教师教育阶段尚未系统学习过的内容。需要进行相对系统的专门补习，而后学习有关数学课程专家撰写的相关数学内涵的解读材料。对此，宜将重点放在针对统计概率、现代数学概览的系统学习上。实践显示，有针对性地邀请相关的数学专业人士，开展以校为本的“概率”、“统计”系列专题报告，是十分有效的方法。

　中学数学的下放内容。一方面，要认真研读这部分内容的数学本质内涵；另一方面，要切实理清对这部分内容的数学课程目标、教学要求，不宜过高要求。以负数为例。从数学科学的意义上说，负数的含义至少包括两个方面，一是+a与-a表示一对相反意义的量；二是引入负数——一种新的数，也就实现了数系的又一次扩张，这样就可以满足数学上的需要，如“2－3”可以进行运算，方程“x+1=0”有解，等等。引入了负数，也就实现了这个数系关于加减运算的自封闭，即两个有理数进行加、减运算，其结果仍是有理数。容易证明，全体分数组成的分数系是一个稠密的数系，它对于加、乘、除三种运算是封闭的。为了使得减法运算在这个数系内也畅通无阻，负数的出现也就是必然的了。

　小学数学课程内容中的传统内容。需要开展更加深入的研究，尤其要从数学科学的视角重新审视这些课程内容。以分数为例，在数学科学中，分数主要有两个作用：一个是作为在运算中产生的一种数，它表示两个整数的商，能和其他的数一样参与运算；另一个是以比例的形式出现的数。而后者也是用来表示多少的，它代表一个事物的一部分，其本质在于它的无量纲性。分数无量纲性的意义在于，能够把事物的许多不可比的状态变成可比的状态。这一点对于数学活动，特别是数学建模来说也是有意义的。比如，一个小国的老百姓的生活质量和富有程度，与一个大国的老百姓的生活质量和富有程度，在很多情况下并不是可比的。但是，一旦转换成人均GDP，得到GDP指数，或者得到恩格尔系数（即家庭用以购买食物的支出与这个家庭的总收入之比），就可以进行相互间的比较了。

　特别要指出的是，有针对性地开展小学数学教师的知识补偿教育，不仅仅是补偿以往尚未清楚的数学内容，更是为了养成“从数学科学的视角审视小学数学课程内容”的思维习惯，切实避免出现数学科学错误。例如，在小学五年级的考卷上出现过这样的判断题：偶数的个数比自然数的个数少。从某种意义上说，它似乎是一道“好”的题目——考查了有限集内的部分与整体之间的关系。但是，无论如何，它都不适合小学五年级学生回答。解决这个问题，毕竟要用到无穷集的知识。两个无穷集合的元素比多少，一般需要根据一一对应来比较。据此，建立y=2x的对应关系，使得每一个偶数y总有一个自然数x与它对应，所以，在自然数集内，偶数的个数与自然数的个数是一样多的。之所以出现这样的问题，其根本在于，命题人的数学素养不足，对于“实变函数论”中的若干内容掌握不好所致。

　四是针对中小学数学课程内容中的核心概念、核心思想、核心方法，开展专题研究。这样的专题研究，一方面可以系统发掘这些核心词所涉及的数学内涵、本质特征；另一方面可以结合小学数学、中学数学的大量案例，详细地分析中小学数学课程内容中的这些核心词所体现的课程目标及其教科书呈现的特点。不仅如此，近年来，在国内著名数学家、数学教育家的倡导下，逐渐出版了一系列围绕小学数学教师的数学学科功底的系统研究的著作。

　总之，立足小学数学教师的日常工作实际，通过相对系统的在职学习，完全可以有效提高小学数学教师的数学学科素养。这些系统的在职学习，既要立足小学数学的课程内容实际，更要从数学学科视角，审视、研读小学数学课程内容。只有这样，才能“下连”小学数学实际，“上通”数学科学，使自己成为名副其实的数学教师。（作者为国家基础教育实验中心副主任，东北师范大学教授，义务教育数学课程标准研制组核心成员）

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学科知识要有量更应重质

　■张丹　

　课程改革以来，随着课程内容的变化及学生主体地位的大大增强，越来越多的教师意识到自己缺乏相应的学科知识。

　例如，图形的对称性是新课程大大加强的内容，然而在教学中，不少学生认为一般的平行四边形（不包括菱形）是轴对称的，因为它看上去十分“对称”。有的学生还进一步执著地阐述道：“虽然对折起来两边图形不重合，但一转就重合了”。面对学生的这种想法，很多教师只能回避它或者简单地通过轴对称的定义来否定学生想法的合理性。究其原因，与教师们对对称的内涵及价值认识不清楚有极为密切的关系。

　与此同时，虽然教师、学校领导逐渐认识到学科知识的重要性，但大家却普遍反映，不知从哪些方面提高以及提高的基本途径。为此，笔者愿意提出一些建议，供大家参考。

  教师应具有什么样的学科知识

　一般认为，教师所具有的特定的学科知识，包括具体的概念、规则和原理及其相互之间的联系。需要明确的是，教师的学科知识不仅仅等同于单纯的量的多少，更重要的是质的问题。这也是许多教师参加了不少知识补偿性学习却感觉收获不大的原因之一，即这些学习大多集中于知识量的积累，而忽略了质的提升。

　那么，学科知识“质”的内涵是什么呢？对于小学数学教师，需要的是真正建立起对所教的学科知识的整体把握。具体来说，学科知识主要包括：知识的内涵及多重表示、知识的发生和发展过程、知识之间的联系、知识所蕴含的数学思想和思维方式。

　如果能在以上4个方面获得对于知识的深层理解、结构化组织、灵活转换与应用，教师就具备了比较完善的学科知识结构。如上面提到的例子，教师不仅仅需要理解轴对称的定义，并且还要认识到一般平行四边形图形也是对称图形，是中心对称图形。进一步，小学学习图形变换的重要价值之一是体会运用运动变化的观点来画图形。如果有了这些认识，相信教师就不会采取回避或者简单否定的教学行为，而是会肯定学生想法的合理性，并且告诉他们一般平行四边形是另外一种对称图形，同时分析轴对称和中心对称运动方式的不同。

　这里需要说明3点。第一，以上4个方面从某种意义上说，不仅仅包括了学科知识，而且部分具有了教学内容的知识。第二，从广义上说，数学知识还可以包括教师的数学观，即对什么是数学的认识。第三，也许教师会觉得以上4方面的要求较高，自己达不到。笔者认为，一方面，教师需要对自己应具有的学科知识有比较全面的认识，不能把知识简单等同于量的累加；另一方面，教师学科知识的提高是一个循序渐进的过程，不必急于求成。

　提高教师学科知识的建议

　建构自我学科知识发展计划。系统地整理自己的学科知识，在此基础上构建学科知识发展的计划，是教师提高学科知识的首要任务。教师可以按照小学数学的课程内容，特别是新课程增加的内容，从以上提到的学科知识的4个方面逐项进行分析，寻找其中的盲点和薄弱点，然后设计弥补盲点和薄弱点的计划，包括需提高的内容、提高方式、时间安排等。做到了解自我、有的放矢，不仅可以大大提高效率，并且有助于及时见到成效，从而树立自信心。

　在备课——上课——反思中增长学科知识。如果能在平常的工作中自然地增长学科知识，不仅会减轻教师的压力，同时会使教师感到亲切。但是，笔者在参加一些学校的集体备课与课后反思活动中发现，教师们较少涉及所教内容的学科知识。其实，对教学内容所涉及的学科知识进行必要思考和交流研讨也是重要的。教师可以依据自己的教学工作不断增长自己的学科知识，也包括对已有知识的不断改进或必要重组。

　比如，教师们在备课中应该关注对有关学科知识的分析，并且提出具体的目标。这里特别强调的是基于教学内容的数学核心思想分析，就是希望教师不仅考虑所教的知识，更要考虑知识背后蕴含的数学中“大”的想法。基于数学核心思想的教学内容分析，目的是促进教师不断追问所教内容的核心概念及蕴含的数学思想，使教师能不断提升自己的数学素养，并且能在比较大的视野下看待小学数学教学，为促进小学生获得对数学的更好理解提供生长点。

　针对具体内容进行专题学习。除了在日常教学中不断增长学科知识，学校和教师还可以有针对性地、比较系统地进行专题学习。

　这对教师培养和教师培训提出了巨大挑战，要求在培养教师和培训教师的学科知识上，克服片面性认识与简单化的做法，即培训内容单一，只重视学科知识量的积累，忽视了对学科知识各个方面的必要整合；培训方式单一，只采用讲授的方式，忽视了学科知识学习与教师自身教学经历的有效连接等。

　同伴互助均衡知识结构。学校要充分发挥每位教师的所长，注重教师个体之间、个体与群体之间以及群体与群体之间的互动，通过形式多样的教研方式，鼓励教师进行学科专业的讨论，实现优势互补，均衡学校数学团队整体的学科知识结构。

　最后，需要指出的是，单纯地强调学科知识并不能保证成功的教学，教师们还应认真作好“作为科学的数学知识”向“作为教学内容的数学知识”的转化，并将学科知识和教学知识有机结合起来，将数学知识的深刻理解与教学的合理设计很好地结合起来。（作者为北京教育学院数学系副教授）

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主动研修孕育专业发展可能

　■汪学军　

　课程改革后，小学数学新增了空间与图形、统计与概率等许多内容。教师在教授这些内容时，普遍感觉到经验不足，不得不采用研究的途径来解答困惑，这一过程孕育着教师形成研究意识的可能。

　高效阅读，及时更新知识结构。首先，教师需要根据自身特点进行阅读，要清楚自己要补充什么知识，从而选择相应的书籍、资料。其次，教师阅读还要讲方法。再其次，阅读不仅是一个学习的过程，更应该是一个研究的过程，在发现问题的过程中驱动有目的阅读的进一步深入。

　批判地借鉴，站在别人的肩膀上发展自己。如果对他人的经验不假思索地完全照搬，一种风险是没有领悟他人思想的精髓，只是简单地模仿；另一种风险是经验往往具有时效性。对于他人的经验，只有批判性地接受，才能站在他人的肩膀上发展，同时教师也会随之养成批判性思考的习惯。借鉴的目的是发展自己，理解他人经验中的核心为己所用。批判他人的经验要有追问的意识，以澄清经验中的教育本质，在理解他人经验的基础上想得更深。

　研究学情，有的放矢。了解学情能够让我们的预设更加完善。了解学情，可以通过前测、分析学生过去的作品、访谈、同事的经验等途径获得。

　随时捕捉问题，及时反思总结。教师捕捉问题的意识直接关系到研究的机遇。曾经有一位教师提出学习“可能性”做摸球实验准备教具的时间太长了，因此不一定要每个学生都摸球，有代表摸球就可以了。马上就有另一位教师反对，认为这样做不能让所有学生都参与数学活动。两种意见争执不下，于是两个人就决定用同课异构的方法来分析。甲教师的学生摸球摸得兴高采烈，课堂上很热闹。乙教师只让3个学生摸球，其他学生记录摸球结果，因为前3次学生在有白球和黑球的盒子里摸出来的都是黑球，老师让学生猜一猜每一个盒子里面有什么球，然后继续摸。到了第6次，终于摸出了一个白球，这时教师又让学生猜一猜。10次摸完了以后，教师再让学生一起回顾整个过程。事实证明，只有部分学生摸球的教学效果并不差，这是为什么呢？通过这样的比较，大家一致认为：参与不是从动作来看，思维的参与更重要。摸球实验的重心不是“摸”，而是通过“摸”这一途径，让学生将“摸”的结果和盒子里有什么球建立起联系。（作者为湖北省黄冈市实验小学教师）