努力让数学课堂渗透文化的因子

admin

文化是促进学生理解的载体

  ■张维忠  

  数学新课程改革的一个重要的标志就是数学文化走进了数学课程标准和中小学数学教科书。

  数学本身就是一种文化

  究竟什么是数学文化，目前还没有统一的定义。文化的含义很复杂，如今关于文化的定义有几百种，难怪有人说，“文化是个框，什么都能装”。

  在肯定数学对象客观性的基础上，我们还要明白，数学对象终究不是物质世界中的真实存在，而是抽象思维的产物，它是一种人为约定的规则系统。数学的含义也具有历史性和不确定性。在数学发展的不同时期，人们给数学赋予了不同的定义。因此，从文化的本质和数学的本质来看，数学本身就是一种文化。

  而数学文化则是“以数学科学体系为核心，以数学的思想、精神、知识、方法、技术、理论等所辐射的相关文化领域为有机组成部分的一个具有强大精神与物质功能的动态系统”。

  从文化的视角看，小学数学就不仅是静态的知识结果，更重要的，数学是人类不断探索与创造的一种文化。

  狭义上，在小学数学教学中，数学文化是指数学的思想、精神、方法、观点、语言以及它们的形成和发展。广义上，除这些之外，还包含数学史、数学美、数学与人文的交叉、数学与各种文化的关系以及它们所包含的各个因素之间的交互作用，从而构成一个庞大的数学文化系统。

  目前小学数学教材中是以显性与隐性两种形式来体现数学文化的：显性形式有“你知道吗”、“数学万花筒”、“数学游戏”、“数学阅读”等栏目，隐性形式有“历史上的一些素材作为问题情境”、“数学在自然科学和人文中多方面的应用”等。

  学会教学中的文化策略

  数学文化的内涵既表现在知识与方法本身，还寓于它的历史。中国有着五千年的古老文明，孕育了灿烂的数学文化。历史上，出现过刘徽、祖冲之等伟大的数学家，有《九章算术》等经典的数学传世之作。在教学过程中，教师可充分利用这些独有的宝贵资源，通过一些数学史实，如圆周率、勾股定理等史料的介绍，让学生了解数学知识的历史渊源，了解古人的聪明智慧，增强民族自豪感。

  在综合实践活动中，可以组织学生玩24点和七巧板等游戏，向学生介绍九连环、华容道等中国传统智力玩具，引导学生探究九连环的规律和不同阵式华容道的解法。还可以利用历史上经典的名题，将知识点的训练与文化的传承很好地结合起来。通过这些活动，使学生进一步感受数学的文化价值。

  数学史的确是数学文化的重要载体，但不能把数学史等同于数学文化。小学数学教学中，往往容易把数学文化狭义地理解为介绍历史上的数学家和数学事件。华东师范大学的张奠宙教授就主张文化应当结合课程内容来展开。以文学为例，对称和对联，就有共同之处。清风对明月，上联变下联，正如对称图形，变过去相互重合一样，都是变换后的不变性质。

  徐利治先生把“孤帆远影碧空尽”当作“极限”的意境；陈子昂的诗“前不见古人，后不见来者，念天地之悠悠，独怆然而涕下”就是一维时间和三维空间的结合；用“满园春色关不住，一枝红杏出墙来”形容数学上的“无界”概念等，这些都是绝好的案例。难怪数学家莱布尼兹感叹：“音乐是一种隐藏的算术练习，透过潜意识的心灵跟数目在打交道”。

  文化是开放、灵动的。数学作为人类的一种文化，也不例外。教师应走出数学金字塔，以开放的姿态展示其与自然、与社会与各门学科的联系，从而全方位、多角度地影响学生的心灵。

  例如，有一位教师在教“圆的认识”时，从语文课文中选材，使学生在享受语言美的同时，也激活了学生对圆的已有认知。又列举平常却又奇妙的现象，撩拨起学生的求知欲，使学生孜孜不倦地不断探索。把原本单一的数字课堂变成数学与文学、自然、社会和历史互动的综合舞台。绽放数学所蕴含的文化特性，从冷峻的背后折射出温情的人性光芒。

  教师可指导学生阅读有关的数学发展史，拓展学生的文化视野。

  以专题阅读的形式，围绕某一主题选编各类材料，让学生独立阅读，组织学生交流、讨论。例如，在学习《圆的周长与面积》时，可开展一次以圆为主题的阅读活动，如《圆的历史》、《圆周率“π”的由来》、《祖冲之对圆周率“π”的贡献》、《圆周率小数点后一百位趣味记忆法》、《扔出个π来》……引导学生从多方面来感知圆的文化属性，感受圆特有的美。

  利用计算机网络技术给数学课堂增添更多的文化气息。计算机课件显示的数学知识具有动态效果，图、文、声并茂，形象、生动，给人以美感。通过网络能实现资源共享，有利于学生广泛摄取信息，提高数学文化素养。

  文化不能只是课堂花絮

  数学文化不能只是学生课堂上的花絮，也不能仅仅是介绍中国古代数学成就的爱国主义教育。而是要使数学文化成为促进学生理解数学的载体，成为促进学生数学创造的一种途径。

  通过揭示数学知识的现实来源和应用，引导学生体会真正的数学思维过程，创造一种探索与研究的数学学习气氛，激发学生对数学的兴趣，培养探索精神。

  但目前，数学文化教学中，尚存在诸多困惑与误区。

  具体表现为：谈起数学的价值，常常是名言与史料的简单陈述；涉及生活与数学的关联，往往是把一些生活中的例子赋予肤浅的数学解释；体现数学文化，更是将某些数学例子生硬地冠以一个文化的标签等。

  对此，要加强对小学数学教师的数学文化培训和数学文化课程资源的建设。

  （作者为浙江师范大学教师教育学院教授，浙江省高校中青年学科带头人。）

  数学知识背后的文化因子可不可以被准确解读？

使隐性文化显于课堂

  ■张齐华

  随着数学课程标准的颁布与实施，“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分”这一观念已经得到越来越多人的认同。数学文化对于重塑数学在学校教育及学生心目中的形象、重新评估数学的教育价值都有着非同寻常的意义。

  领略数学文化的价值与精髓

  文化有广义与狭义之分。从广义上讲，文化与自然相对，文化即人化，泛指人类社会历史中所创造的一切物质与精神财富，其着眼于人类与一般动物以及自然界的本质区别。狭义的文化则专注于人类精神创造活动及其结果，包括特定团体相应的生活方式、行为规范、思维方式、价值观念等。

  而目前普遍被认可的关于数学文化的定义，恰恰源自于对文化的狭义理解，即所谓数学文化是指“以数学家为主导的数学共同体，在从事数学研究活动中所形成的一般的思想方法、思维方式、价值观念、精神品格等”。当然，精神层面的数学文化不可能脱离具体的数学知识、理论而单独存在，它们总是以某种特殊的形成凝聚、投射到具体的数学知识、数学理论之中，成为凝结在静态数学背后的精神因素。

  事实上，上面所论述的只是文化的静态层面。从动态的角度来看，文化在辞源上还有“文以教化”、“文以化之”的含义，相对于“武以伐之”而言。化者，影响、改变也。也就是说，文化一方面是由人类在实践过程中创造出来，而与此同时，文化一旦固定下来，它往往又会对人的思维方式、行为观念等反过来产生相应的作用。

  文化如此，数学文化亦然。因而，在实践层面上，我们更需要从动态层面来理解数学文化，并应在具体的课堂教学活动中，通过释放凝结在具体数学知识、结论背后的数学精神因子，从而使数学学习成为学生发展理性思维、精神，形成数学观念、人格的过程。数学的文化价值也正在于此。

  厘清了相关概念后，随之而来的问题是，在具体的实践层面上，作为文化的数学究竟该如何释放出其应有的文化影响力，进而彰显其固有的文化价值与魅力。我们的数学课堂，尤其更具家常意义的数学课堂上，又该如何体现数学的文化属性，进而凭借具体的数学学习活动，真正使每一个学生经由数学知识的习得、数学能力的形成、数学方法的掌握等，真切地领略数学文化的价值与精髓，提升个体自我数学文化的涵养。

  还原数学文化的平民特质

  提出这一问题无疑有其具体而迫切的现实背景。事实上，有关数学文化的探索与实践，早在数学课程标准颁布与实施之初，便渐次散见于一些教师的教学研究课或观摩课中，甚至还一度成为数学课程改革的一大亮点，“言数学必谈文化”，大有星火燎原之势。

  但令人遗憾并不乏担忧的是，实践层面有关数学文化的探索与研究总是囿于一个相对狭窄的空间与夹缝中，尤其是，数学文化似乎成了数学史的代名词。数学课上，数学史料的介绍与呈现，成了渗透数学文化的唯一渠道与途径。

  事实上，从某种意义上讲，数学史料的渗透无疑是数学文化走进数学课堂的重要组成部分。数学史料的有效推介与开掘，对于帮助学生重新认识数学的本来面目，进而还原数学知识的来龙去脉，最终理解数学史料背后的更具一般意义的数学方法、数学精神都有着重要意义。

  但问题是，数学文化无疑比数学史具有更加丰富的内涵与更加开阔的外延。将数学文化简单地与数学史划上等号，既是对数学文化内涵的一种窄化，不利于我们全方位地理解、认识进而把握数学的文化价值，同时，于实践层面，又使我们陷入一种尴尬的境地，因为并非每一堂日常的数学课都能寻得合适的数学史料。

  既如此，那么，数学文化岂不成为了某些数学课堂的精神贵族，而失去了其应有的平民特质？难怪有人判断：在实践层面，数学文化并不具有一般意义与普适性，要想让每一堂日常的数学课都呈现出数学文化的意味几无可能。

  要解决这一现实问题，就必须进一步澄清数学文化的概念。而更重要的一点是，我们须沿着对数学文化已经形成的普遍认识，在实践层面开辟出一条更具一般性与普适意义的数学文化的拓荒之路，并以务实求真的教学实践，让更多的一线教师真切感受到数学文化的平民特质，以此还原数学文化的本来面目。

  在教学中外显文化的因子

  视角一旦得以转换，问题便不再如想象中那样复杂与困难。在此，仅结合具体数学教学中的相关内容作一粗略分析。

  数学概念是数学知识的本质属性在人脑中的反映。作为表征数学对象本质属性的数学概念，在其形成过程中已经剥离了数学对象的众多非本质属性，而仅留下其最为核心也最能反映对象的本质特征的要素。教学数学概念时，重要的不是对于概念内涵、外延的正确呈现与讲解，而是应通过呈现适量符合概念特征的正反例证。教师要组织学生进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括，逐步在学生头脑中摆脱相关数学对象的非本质属性，进而建立相应的数学概念，获得对概念本质属性的把握与理解。

  这一过程，是学生数学思维得以锤炼、发展的过程，对于学生形成由表及里纵深思维具有潜移默化的影响。往小处说，这里关系到学生对数学知识本身的精确把握与深刻理解；往大里说，这更涉及学生数学思维方式的形成与确立。而这，无疑是数学文化的重要价值之一。

  计算教学是数学教育的重要组成部分，即便是新一轮数学课程改革对计算教学从难度与宽度上均作了相应调整，但其在数学课程中仍占有相当的份额。牢记运算规则，反复进行形式化的演练，以熟练至生巧，对于提高学生相应的计算技能，无疑有着十分显见的功效。但是，这只顾及到了问题的一个方面。作为数学教育重要的组成部分之一，计算教学同样可以成为彰显数学文化价值的重要平台。

  比如说，如果我们把运算法则作为公理的话，那么，具体的计算活动正是一次次由公理而展开的演绎过程，其背后充斥着丰富的三段论式的思维：因为……又因为……所以……从这样的角度重新打量计算，我们便不难从模仿、操练、形式化演算的过程之外，寻得更多有利于学生形成精确思维、有序思维、有理有据思维的要素。可以说，从事计算活动的过程，正是学生进行数学推理，发展数学思维的过程。而这，又怎能说与数学的文化性格无关？

  类型化应用题教学之所以在新一轮课程改革被取消，是因为我们越来越认识到，问题解决本身并非数学教育的唯一与终级的目标。学生能否在一次次解决实际问题的过程中，不断积累起“把握实际问题——抽象出数学问题——解决数学问题——解释并解决实际问题”的纵向数学化的经验，并在这一过程中不断发展数学建模的意识与能力，进而获得蕴含其中的独特的数学思维方法与数学意识，这些才是教学更为重要的目标与价值追求。唯有如此，问题解决的过程才有可能摆脱原有应用题教学的窠臼，彰显其文化品格。

  我们日常的数学课堂不仅仅要关注学生知识的习得与能力的培养，更应该结合具体的知识与技能教学，将凝聚在数学知识背后的文化因子予以外显，成为学生可以触摸、感受、体验、品味的东西。数学学习的过程，应该是学生体会数学思维抽象性、逻辑性的过程，应该是学生学会数学思维的过程，应该是学生学会从数学角度思考问题，进而建立数学模型并作出解释与应用的过程，同时也应该是学生获得理性态度与精神品质的过程。

  数学教师要学会准确解读出内隐于数学知识背后的这些因素，并以合适的教学行为予以呈现，并最终沉淀为学生的思维观念与个性品质。一旦做到了，数学文化自然也就得以渗透，学生的数学素养也就得以有效的提升。

  （作者为江苏省南京市北京东路小学特级教师。）

  文化品性不应只是公开课所特有——

admin

随堂课也可文化与认知无缝对接

  ■蔡宏圣  

  数学教育的每次变革都和数学观的发展变化紧密联系着。自“数学是一种文化”的理念盛行以来，许多课堂都在努力地显示着数学文化。但审视起来，就会发现，变化也只是在优秀教师的公开课、展示课中。由此，我们不由得思辨以下两个问题。

  随堂课与数学文化两不搭界

  数学文化虽然没有公认的定义，但不管怎样界定，它都是指向思维方式、价值判断、思想观念等精神层面上的东西。很多教师觉得随堂课和数学文化是不搭界的两码事。这就很自然地产生了一个话题：数学文化能走进随堂课吗？或者说数学文化能否与知识、技能共存？

  很多人听过张齐华老师执教的“圆的认识”一课。在课中，他首先让学生感受圆的美。在与直线图形的比较中，感受圆的圆润美；在与不规则的曲线图形的比较中，感受圆的饱满美；在与椭圆的比较中，感受圆的匀称美。然后再进一步画圆的过程中，花大气力让学生体会到，圆的所有美都源自圆的特征——半径同长。

  这一过程，细细品味的话，有关圆的所有知识与技能的教学都在其中：怎样画圆？什么是半径、直径？半径、直径的数量有多少？它们之间是什么关系？不同的半径、直径间又是什么关系？

  课的“沟通联结”部分，打通了“直”和“曲”的界限，阐释了无数的同长半径成就了圆的美。同长不是圆特有的特点，但正多边形之所以没有成为圆，是因为它的同长有限；而圆之所以能被称为正无数边形，是因为它的同长无限。

  “审美延展”部分，三角形不具有旋转不变性，是因为其同长有限，而圆具有这个性质，还是因为其同长无限。只要抓住了同长，任何的旋转都可以产生圆。他引导学生理解无限的半径同长成就了圆的美。可孩子们如果没有以画圆、直径、半径等知识为基础，能理解圆的美是因为其同长的缘故吗？答案显然是不言自明的。

  回顾张齐华老师的课，我们可以真切地感悟到：数学的文化性是建立在对知识、技能的理解上。思维方式、价值判断、思想观念这些与数学文化相关的东西，与数学的知识与技能，是毛和皮的关系。说“圆的认识”是堂好课，就是因为课堂中无形的数学文化和有形的教学结合得比较完美。数学文化不可避免地浸润在数学的定义、定理、技能中。至此，我们可以这样说，文化性是数学的学科特质，数学文化与数学同在。

  更深入地看，学生领悟数学文化需要依托数学的知识与技能，反过来，感悟到了其中文化底蕴的学生，肯定会加深对所学知识与技能的理解。当学生的理解达到了更高的程度，则又可在更高的层面上感悟其中的数学文化。如此螺旋上升，直至认识的高层次。鉴于此，我们一线教师的随堂课中也不应该拒绝数学文化。你在关注孩子们数学知识与技能学习的同时，也就有了实践“数学是文化”理念的很好契机。

  更高层次的文化从哪来

  数学文化是个大课题，有大师提出“数学是人类文明的火车头”的观点，这些对于小学数学教师来说，很难具体地运用于教学实践。我们思考数学文化，一定要聚焦于数学的内部，聚焦于课堂。而且也不应该仅仅是加一点数学的史料，讲某个数学家的故事等肤浅形式。尽管这些形式是可行的，但不能一直停留在这个层次。

  那更高层次的数学文化从哪里来？

  如前文所言，数学文化和数学同在。有数学，就一定有数学文化。因此，对数学文化性的认识取决于你对数学的认识、理解程度。我们要结合数学学科的特点，挖掘数学文化不同于其他文化的特征。数学有一个特点是公理化，即从不证自明的几个前提（公理）出发，用逻辑的方法，演绎出其他数学体系，这种体系立论清晰、严密理性，得出的结论令人信服。

  因此，数学可以有这样的文化：从纷繁的事实中找出基本的出发点，然后用讲道理的方式将其他的事实演绎地组织起来。又如，数学具有抽象性、形式化的特点，使得数学具有不同于文学、绘画、音乐等形式的文化品味。这也告诉我们，数学的文化性不是能用眼睛看到的、耳朵听到的，或者是其他感官感受到的。

  数学的抽象性、形式化特点源自数学的思维活动，感受数学文化就必须通过思维。没有数学思维活动，就不可能感受数学文化。理清楚这点很重要，它给了我们一个方向：随堂课中的数学文化，需凝聚在数学知识、技能的形成过程中。

  随堂课中，充分地展示知识与技能的形成过程，引导学生积极开展思维活动，也就有机会领悟到数学的方法和思想，了解到数学与生活的密切关系，体会到原来数学并不是来自权威和课本，而是自己也能创造数学，等等。

  现在，大家在课堂中都热衷于运用数学史料，很多教师甚至是在机械地贴标签。典型的表现是，往往在全部的教学内容完成后，再介绍有关的数学史知识。难道就不能实现有关的数学史料、数学家的论述和孩子们认知过程的无缝对接？虽然我们不能具体地剖析某个知识的形成过程中蕴藏着怎样的文化，但只要学生开展积极的思维活动，随着理解的不断加深必然会跨越纯粹的认知层面，而直抵数学的文化层面。

  数学文化性的揭示完全可以也应该和孩子们知识、技能的学习过程紧密地结合在一起，数学的文化性是孩子们对知识技能的理解达到一定程度时的自然显现。因此，教师们不应该脱离数学知识与技能的形成过程，去琢磨给课堂加什么文化的东西，而应该积极引导孩子们融入到知识与技能的形成过程中，积极思考，这样，在某个节点上，文化品味的体悟是水到渠成的事情。

  （作者为江苏省启东市教育局教研室副主任，特级教师。）