中学数学观摩课《二项式定理》说课稿

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一、教材分析
1、        地位和作用：
    二项式定理是选修2－3的1.3节的第一课时，本节课是在学习了排列组合的基础上学习的，并为后面学习概率中的二项分布奠定了基础，所以它是承上启下的一节课。二项式定理不仅能解决某些整除性、近似计算问题的一种方法，并且还能解释集合的子集个数问题；再者，二项式定理不仅仅是初中多项式乘法的拓展，它又是数学分析中函数级数展开式的一个特例，在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用，因此这节课在高中数学中有着十分重要的作用。
2．重点难点
根据本节教材特点及学生的认知结构确定本节课的教学重点为：二项定理的推导及通项公式的运用
由于二项式定理的导出对学生来讲有一定的难度所以确定本节课的难点为：二项式定理的推导
二 目标分析
1、结合重点中学学生的实际情况，确定本节课的教学目标如下：
（1）掌握二项式定理及二项展开式的通项公式，并能熟练地进行二项式的展开及求解某些指定的项.
（2）通过探索二项式定理，培养学生观察问题发现问题,归纳推理问题的能力.
（3）激发学生学习兴趣、培养学生不断发现，探索新知的精神，渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过数学的对称美，培养学生的审美意识.
2、教法、学法：
（1）贯穿好“过程性”原则，要重视学生的参与过程，又要重视知识的重现过程.在教学过程中，充分揭示每一个阶段的思维活动过程，通过思维活动过程的暴露和创新活动过程的演变，使教学活动成为思维活动的教学，由此来启发、引导学生直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程.
（2）变传统的“接受性、训练性学习”为新颖的“探究式、发现式的学习”，变教师是传授者为组织者、合作者、指导者。
三、 教学过程分析：
（一）创设情境，激发兴趣
提出问题：“今天是星期六，我能很快知道再过810天的那一天是星期几，你能想出来吗？”
设计意图：根据教学内容特点和学生的认识规律，给学生提出一些能引起思考和争论性的题目，即一些内容丰富、背景值得进一步探究的诙谐有趣的题目、给学生创造一个“愤”和“悱”的情境，利用问题设下认知障碍，激发学生的求知欲望.
（二）问题初探
1、从具体问题入手，启发学生将这个问题转化成一个数学问题：“求810被7除的余数是多少？”因为8=7+1，82=（7+1）2=72+2*7+1，83=（7+1）3=73+3*72+3*7+1,那810=（7+1）10又如何展开呢？
这就要用到我们今天将要学习的二项式定理。（板书题目“二项式定理”）
2、 先让学生自己动手运用多项式乘多项式的法则写出（a+b）2、（a+b）3、（a+b）4的展开式，然后提出用这种方法写出（a+b）10的展开式容易吗？（a+b）100、（a+b）n呢？
设计意图：复习旧知识，提问设疑，逐步推进，引起学生对学习的注意，为学生学习新课内容作知识上、方法上、心理上的准备.
（三）理性探究
1．引导学生对写出的（a+b）2、（a+b）3、（a+b）4的展开式进行下列四个方面的探究：
①        项数；②各项次数；③字母a、b指数的变化规律；④各项系数
在此过程中教师提出问题学生思考学生小组讨论，自由发表见解.
2．学生虽然注意到各展开式的结构特征，也很快能得出：①项数；②各项次数；③字母a、b指数的变化规律，但还缺乏丰富的联想意识，并且对各项系数的探究出现困难.于是进一步启发学生从多项式乘以多项式的过程中去发现思路，即研究a4、a3b……这些项的形成过程中去寻找解决问题的方法，学生才领悟到a4是从（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）四个括号中，每个括号都取a然后相乘而得到，即每个括号都不取b，最后学生根据刚学过的组合数的算法得到共有 种情况，因此a4的系数是  .利用同样的即前面学过的分步计数原理办法学生探究得到含a3b、a2b2、ab3、b4这些项的系数，所以学生不难得到（a+b）4的展开式.
设计意图：学生通过对三个展开式的自主探讨，亲历了知识的发生、发展、形成的过程，从而发现问题，提出问题，并在老师的引导下解决问题，达到了“创造性地使用教材，培养学生的创新意识”教学目的.
3．归纳、猜想
学生通过对(a+b)2、（a+b）3、（a+b）4三个展开式探究，由学生归纳得出（a+b）n展开式有如下特性：
（1）共有n+1项；
（2）各项的次数都等于二项式的次数n；
（3）字母a的指数由n递减到0；同时字母b的指数由0递增到n；
（4）各项的系数依次为，并利用组合知识给出解释，得出二项式定理。
设计意图：学生在探究过程中通过观察、发现，类比从而是进行必要的归纳和合理的猜想得出结论，这是数学教学提创培养的，是一种创造性的思维活动，是掌握探求新知识的一种手段，也是进一步提高学生的归纳、推理、猜想能力的一种途径.

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（四）分析定理的结构特点 挖掘内涵
１、展开式的项数；
２、通项；
３、 二项式系数与项的系数.
（五）尝试应用
１、回到引例：810=（7+1）10用二项式定理展开，前10项的和是7的倍数，第11项是1.所以，当今天是星期六，再过810天后是星期天.然后把8改为6，15，13，2，3，或把10改为100，1000结果又如何呢？学生运用二项式定理很快得到答案.
设计意图：回归问题，体现了知识的实际应用价值，学生的学习热情自然达到高潮.
２、例题展示
例1：见教材例一（变式：把分式中的分子1改写为3）
设计意图：例1是二项式定理简单顺向应用，目的在于熟悉二项式定理.变式体现知识的多样性.
例2： 见教材例二
设计意图:理解二项式系数和系数的区别。
例3：求 的展开式的第x3项（变式：求常数项或有理项）；
设计意图：例3是用二项展开式的通项公式求给定项.变式是让学生从多方面多角度去应用二项式的通项公式，求展开式中的特定项，在教学中也可要求学生自己单独或小组合作的方式探究原题，然后增删原题中的条件或改写其结论，尽可能多演变出一些题目，并加以验证，从而培养学生的创造性思维和发散性思维能力.
（六）归纳与提高
１、小结二项式定理的推导，体现组合思想的应用；
２二项式定理的结构及其注意问题.
设计意图：小结不只是对课堂内容的简单回顾，还应对所用数学思想、方法加以总结.
（七）作业：（略）
       总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性.重视学生的参与过程，并采用尝试讨论、学习归纳、观察猜想的方法，展开教学活动，重在培养学生的观察问题,发现问题,归纳推理问题的能力,从而形成自主探究的学习习惯.
四、效果分析：
1、        有些学生可能只想记忆定理，而不去理会定理的推导过程，因此，在教学设计过程中，通过设疑、学生的合作探究来让所有学生参与进来，体验定理的形成过程。
2、        对通项公式的应用出错，在教学中让学生明白为什么将展开式的r+1作为通项，多加练习。
3、        系数和二项式系数的理解出错，对例2进行变式训练，多次巩固。
4、        这部分题目对运算能力的要求挺高，有些学生计算上容易出错，这就需要在练习中进行“有意”训练。