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平面图形中所含的线段长度、角的大小及图形的面积在许多情形下会呈现不等的关系.由于这些不等关系出现在几何问题中,故称之为几何不等式.
在解决这类问题时,我们经常要用到一些教科书中已学过的基本定理,本讲的主要目的是希望大家正确运用这些基本定理,通过几何、三角、代数等解题方法去解决几何不等式问题.这些问题难度较大,在解题中除了运用不等式的性质和已经证明过的不等式外,还需考虑几何图形的特点和性质.
几何不等式就其形式来说不外乎分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类,在解题中不仅要用到一些有关的几何不等式的基本定理,还需用到一些图形的面积公式.下面先给出几个基本定理.
定理1 在三角形中,任两边之和大于第三边,任两边之差小于第三边.
定理2 同一个三角形中,大边对大角,小边对小角,反之亦然.
定理3 在两边对应相等的两个三角形中,第三边大的,所对的角也大,反之亦然.
定理4 三角形内任一点到两顶点距离之和,小于另一顶点到这两顶点距离之和.
定理5 自直线l外一点P引直线l的斜线,射影较长的斜线也较长,反之,斜线长的射影也较长.
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