初中数学观摩课利用公式法（完全平方公式）因式分解课堂实录

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教师是学习活动的引导者和组织者，学生是课堂的主人。教师在教学中要充分体现教师的导向作用，尊重学生的个体差异，选择适合自己的学习方式，鼓励学生自主探索与合作交流，让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生的直觉并且运用基本方法进行相关的验证，指导学生注重数学知识之间的联系，不断提高解决问题的能力。

　　教学过程：

　　师生问好，组织上课。

　　师：我们在初一第二学期就已经学习了乘法完全平方公式,请一位同学用文字语言来描述一下这个公式的内容？

　　生1：（答略）

　　师：你能用符号语言来表示这个公式吗？

　　生1：（a＋b）2=a2＋2ab＋b2　 （a－b）2=a2－2ab＋b2

　　师：不错，请坐。由此我们可以看出完全平方公式其实包含几个公式？

　　生齐答：两个。

　　师：接下来有两道填空题，我们该怎么进行填空？

　　a2＋　　＋1=(a＋1)2　　　　4a2－4ab＋　　=(2a－b)2

　　生2：（答略）

　　师：你能否告诉大家，你是根据什么来进行填空的吗？

　　生2：根据完全平方公式，将等号右边的展开。

　　师：很好。（将四个式子分别标上○1○2○3○4）

　　问题：○1、○2两个式子由左往右是什么变形？

　　○3、○4两个式子由左往右是什么变形？

　　生3：（答略）

　　师：刚才的○1和○2是我们以前学过的完全平方公式，那么将这两个公式反过来就有：

　　 a2＋2ab＋b2=（a＋b）2　　　　　a2－2ab＋b2=（a－b）2　（板书）

　　问题：这两个式子由左到右的变形又是什么呢？

　　生齐答：因式分解。

　　师：可以看出，我们已将左边多项式写成完全平方的形式，即将左边的多项式分解因式了。

　　这两个公式我们也将它们称之为完全平方公式，也是我们今天来共同学习的知识（板书课题）

　　师：既然这两个是公式，那么我们以后遇到形如这种类型的多项式可以直接运用这个公式进行分解。这个公式到底有哪些特征呢？请同学们仔细观察思考一下，同座的或前后的同学可以讨论一下。

　　（经过讨论之后）

　　生4：左边是三项，右边是完全平方的形式。

　　生5：左边有两项能够写成平方和的形式。

　　师：说得很好，其他同学有没有补充的？

　　生6：还有一项是两个数的乘积的2倍。

　　师：这“两个数的乘积”中“两个数”是不是任意的？

　　生6：不是，而是刚才两项的底数。

　　师：刚才三位同学都回答得不错，每人都找出了一些特征。再请一位同学来综合一下。

　　生7：左边的多项式要有三项，有两项是平方和的形式，还有一项是这两个数的积的2倍。右边是两个数的和或差的平方。

　　教师在学生回答的基础上总结：

　　1)多项式是三项式

　　2)有两项都为正且能够写成平方的形式

　　3)另一项是刚才写成平方项两底数乘积的2倍，但这一项可以是正，也可以是负

　　4)等号右边为两平方项底数和或差的平方。

　　师：我们如何将符号语言转化为文字语言呢？

　　生8：a、b两个数的平方和加上a、b乘积的2倍，等于a与b的和的平方；

　　a、b两个数的平方和减去a、b乘积的2倍，等于a与b的差的平方。

　　师：如果不用字母a、b，又怎么表达？能否将两句合并成一句呢？

　　生9：两个数的平方和加上或减去这两个数的乘积的2倍，等于这两个数的和或差的平方。

　　师：非常好！我们以后只要遇到这种类型的多项式可以直接利用完全平方公式方便地进行因式分解了。

　　通过刚才的学习，我们已经初步掌握了利用完全平方公式分解因式的有关知识，下面有几道练习题向我们同学提出了挑战，看你掌握知识的情况：

　　判断下列各式是不是完全平方式，并说出理由。

　　（1）a2－4a＋4　　　　(2 )x2＋4x＋4y2　　　 (3 )4a2＋2ab＋ b2

　　(4 )a2－ab＋b2　　　　 (5 )x2－6x－9　　　　　(6 )a2＋a＋0.25

　　生10：第一题是完全平方式。有三项，其中有两项正且能写成平方的形式，另一项是减去这两个数的积的2倍。

　　…… ……

　　生11：第四题不是完全平方式，因为中间一项不是两个数的乘积的2倍。

　　生12：第五题是完全平方式。三项，有两项能写成平方的形式，另一项也是两个数的积的2倍。

　　师：其它同学同意他的意见吗？有没有补充的？

　　生13：这一题不是完全平方式，虽然有两部分能写成平方的形式，但这两项不是平方和。

　　师：同意他的意见吗？

　　生齐答：同意。

　　师：因此我们在观察一个多项式是否符合完全平方式的特点时，不仅要找有没有两项能够写成平方的形式，同时还要看这两项的符号是否同为正，更要看另一项是不是这两数的积的2倍。像刚才的第2题和第4题都只满足特征中的一部分。

　　引例讲解：将下列各式分解因式。

　　　1、x2＋6x＋9　　　　　　　　　2、4x2－20x＋25

　　问题：这两题首先怎么分析？

　　生14：将9改写成32，6x正好是x与3的乘积的2倍。（学生回答，教师板书）

　　生15：将4x2写成（2x）2，25写成52，20x写成2×2x×5

　　　　　x2＋6x＋9=x2＋2×x×3＋32=(x＋3)2　

　　　　　　　　4x2－20x＋25=(2x)2－2×2x×5＋52=(2x－5)2

　　（联系字母表达式用箭头对应表示，加深学生印象。）

　　师：由刚才的例子，我们同学能否发现将因式分解为两数的和或差的平方，如何确定是两数的和还是两数的差的平方呢？

　　生16：由符号来决定。

　　师：能不能具体点。

　　生16：由中间一项的符号决定，就是两个数乘积2倍这项的符号决定，是正，就是两个数的和；是负，就是两个数的差。

　　师：总之，在分解完全平方式时，要根据第二项的符号来选择运用哪一个完全平方公式。

　　例题1：把25x4＋10x2＋1分解因式。

　　师：这道题目能否运用以前所学的方法分解？就题目本身有什么特点？可以怎么分解？

　　生17：题目符合完全平方式的特点，可以将25x4改写成（5x2）2，1就是12，10x2改写成2×5x2×1。（此学生板演，过程略）

　　例题2：把－x2－4y2＋4xy分解因式。

　　师：按照常规我们首先怎么办？

　　生齐答：提取负号。〔教师板书：－（x2＋4y2－4xy） 〕以下过程学生板演。

　　师：如果是这道题：4xy－x2－4y2 怎么分解呢？（教师改变刚才题型）

　　提示：从项的特征进行考虑，怎样转化比较合理？四人小组讨论。

　　生18：同样还是将负号提取改变成完全平方式的形式。

　　师：从这里我们可以发现，只要三项式中能改写成平方的两项是同号，且另一项为两底数积的2倍，我们都能利用这个公式分解，若这两项同为正则可直接分解，若同为负则先提取负号再分解。

　　练习题：课本p21 练习：第1题，学生板演，教师讲解，学生板演的同时，教师提示注意点、多项式的特征；第2题，学生口答。

　　例题3：把3ax2＋6axy＋3ay2分解因式。

　　师：先观察，再选择适当的方法。（学生板演，教师点评）

　　练习：课本p22 第3题分两组学生板演，教师评讲、适当提示注意点。

　　师：这一堂课我们一起研究了完全平方式的有关知识，同学们先自查一下自己的收获，然后请同学发表自己的见解。（学生小声讨论）

　　生甲：我学到了如何将完全平方式分解因式，遇到三项式中有两项符号相同且能化成平方的形式，另一项为这两个数的积的2倍的形式，如果能化成平方项是负的，首先将负号提取再分解。第二项是正的就是两数的和的平方，第二项是负的就是两数差的平方。

　　生乙：有公因式可提取的先提取公因式，然后再分解，同时根据第二项的符号来选用合适的公式。

　　教师布置课堂作业：课本p23 习题8.2　A组　 4～5 偶数题

　　　课外作业：课本p23 习题8.2　A组　 4～5 奇数题