作业五参考答案：说说什么是函数思想及函数思想在教学中的渗透原则，结合教学实例说说你是如何渗透函数思想的。

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问题：作业五：通过学习“小学函数思想和模型思想的教学策略”课程，说说什么是函数思想及函数思想在教学中的渗透原则，结合教学实例说说你是如何渗透函数思想的。
参考答案：答题内容：  函数思想函数思想是一种考虑对应、考虑运动变化、相依关系，以一种状态确定地刻画另一种状态，由研究状态过渡到研究变化过程的思想方法，函数思想的本质在于建立和研究变量之间的对应关系。函数思想在小学阶段强调的是“渗透”，让学生感受到“于变化之中寻求不变，并把握规律的重要性”。小学阶段并不要求学习“形式化”的函数定义。
函数思想的本质在于建立和研究变量之间的对应的关系。函数思想在小学阶段强调的是渗透，让学生感觉到“于变化之中寻求不变，”并把握规律的重要性。
在小学数学教学中渗透函数思想，要把握以下两条原则：
创设“变化”的过程，才能感受到函数思想。
一年级下册：“百数表”中除了可以探索数的排列规律（横看、竖看、斜看）外，还可以进一步探索每一行中相邻的两个数的规律，每一列中相邻两个数的规律，甚至每两行与每两列相邻四个数之间的规律，这些规律中蕴含着多种变化的模式。
激发学生“探究”的本性，于“变”中把握不变，满足人的好奇本性。
在小学，学生接触更多的是“两个确定或多个确定一个，”即二元函数和多元函数。如：“体积问题”，一块长30厘米，宽25厘米的长方形铁皮，从四个角各切掉一个边长是5厘米的正方形，然后做成盒子。这个盒子用了多少铁皮，它的容积是多少？这个问题只是一道简单的计算题。但是如果将原题中的规定“切掉边长是5厘米的正方形”改为猜想并验证“切掉边长是多少厘米的正方形时，铁盒的容积最大”问题就由静止变的动态起来。借助这个运动、变化过程，对学生进行函数思想的初步渗透。
在教学中，教师要既重视数学知识、技能的教学，又注重数学思想、方法的渗透和运用，这样不仅有助于学生数学素养的全面提升，而且有助于学生的终身学习和发展。
在小学数学教学中如何渗透函数思想?
  
1．在“空间与图形”领域的教学中渗透函数思想
在学习了长方形与正方形周长和面积后我们可以设计“周长和面积”的练习课。课上设计这样的环节：用16根1厘米长的小棒围长大方形或正方形，你能围出多少个？其中面积最大的是多少？并填写如下表格。
学生经过研究可以得到：长7cm，宽1cm；长6cm，宽2cm；长5cm，宽3cm；长4cm，宽4cm（正方形）这四种长方形，其中正方形的面积最大。在研究过程中学生会渐渐地熟悉到：要想得到最大的面积，就要把所有的长方形逐一例举出来往比较；而要想得到不同的长方形，必须在保持周长不变的情况下改变长方形的长和宽，由于长逐渐地减小，在周长不变的情况下，宽必须跟随着不断地增大。这样就把“静态”的学习变成了“动态”的研究，而这种由“静”到“动”本身就是函数的本质。因此说，是函数思想使学生学习的过程“动”了起来，使学生的学习“主动”起来，这样也更有利于渗透函数域的概念和极值的概念。
2．利用数目关系在解决实际题目中渗透函数思想
　学生在小学阶段学习和把握了很多的数目关系，如：单价、数目和总价之间的关系；路程、时间和速度的关系；工作量、工作效率和工作时间的关系……实在当这些数目关系中的某一种量固定后，另外两种量在变化时就构成了函数。
以简单的解决题目来说，我们可以把封闭的题目改编成开放的题，如让学生根据所给的两个条件补一个题目，或给一个条件和题目，让学生补上另一个条件。例如，学校有120名学生排队做操， ，可以站几排？这看起来是很简单的一点儿变化，当把学生的各种补充条件汇集到一起时，学生就会熟悉到：可以站几排是随着每排人数的变化而变化着的；而每排的人数也会有一定限制，至少不会少于1人，至多不会超过120人。这个范围所蕴含的思想就是函数中的定义域和值域。我们看到这种开放不是简单形式上的开放，而是建立在函数思想上的有目的的开放。
3．在“统计与概率”的教学中渗透函数思想
　　“统计与概率”的内容往往通过表格、图像来描述数据，但大多数教师以为其中不存在函数关系，只重视到了其对培养学生统计观念的作用而忽视了对函数思想的渗透。
4.在与其他的数学思想方法的结合、相互勾连中渗透函数思想
　（1）结合数形结合的思想方法。解析几作甚几何学的研究提供了新的方法，使很多几何题目变得简单易解，它使几何从定性研究阶段发展到定量分析阶段，使人们对形的熟悉由静态发展到动态，这才是“数形结合”思想的本质所在[7]。数形结合的思想方法是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，它可以使代数题目几何化、几何题目代数化。而函数思想侧重于研究代数题目，有时将函数思想与数形结合的思想结合，可以使抽象的函数关系更具体、直观，便于学生理解。
　　函数是研究变量和变量之间关系的重要的数学模型，是中学阶段数学学习的一条主线。使小学生经历一些函数的雏形，丰富他们对函数的感受，有助于小学生数学学习的深刻性，有助于中小学数学教学的衔接。本次研究基于对当前小学数学教师对函数熟悉的现状的调查所暴露出的一些题目，试图通过澄清函数的概念、什么是函数思想后点明在小学数学教学中应如何渗透函数思想，帮助教师更好地服务于教学.

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答题内容：  
本次培训让我认识了“函数思想”这一名词。函数思想是一种考虑对应、考虑运动变化、相依关系，以一种状态确定地刻画另一种状态，由研究状态过渡到研究变化过程的思想方法，函数思想的本质在于建立和研究变量之间的对应关系。具体地说，函数思想体现于:
认识到这个世界是普遍联系的，各个量之间总是有互相依存的关系，即“普遍联系”的观点；
于“变化”中寻求“规律(关系式)”，即“模式化”思想；
于“规律”中追求“有序”“结构化”“对称”等思想；
感悟“变化”有快有慢，有时变化的速度是固定的，有时是变动的；
根据“规律”判断发展趋势，预测未来，并把握未来，即“预测”的思想。
于“变化”中把握“规律”，并根据规律做出预测，不仅仅是重要的数学思想，更是人类生存的基本原则。函数的核心就是“把握并刻画变化中的不变，其中变化的是‘过程’，不变的是‘规律’(关系)”。学生愿意去发现规律，并能将规律表述出来的意识和能力，就是函数思想在教学中的渗透。
函数思想在小学阶段强调的是“渗透”，让学生感受到“于变化之中寻求不变，并把握规律的重要性”。小学阶段并不要求学习“形式化”的函数定义。
函数就像一座桥梁，建立起两个集合之间的“关系”。

①“一一对应”在小学数学教材中是贯穿始终的。如在认数1—10时，我们可以呈现。物体的个数与点子图进行一一对应的图像，在具体实物与抽象的数之间建立起桥梁的作用。

②在小学，学生接触更多的是“两个确定或多个确定一个”，即二元函数和多元函数。例如:“体积的问题”源于教材中的一个练习，一块长30cm、宽25cm的长方形铁皮，从四个角各切掉一个边长是5cm的正方形，然后做成盒子。这个盒子用了多少铁皮，它的容积是多少?”这个问题就只是一道简单的计算题，当然问题解决过程中也发展了学生的空间观念。但是如果将原题中的规定“切掉边长是5cm的正方形”改为猜想并验证“切掉边长是多少厘米的正方形时，铁盒的容积最大”问题就由静止变得动态起来。借助这样运动、变化的过程，对学生进行函数思想的初步渗透。

小学教材中以各种素材、各种形式提供给学生大量关于集合之间“关系”直观经验，对“关系”的体验使学生对变量之间的相依关系有了初步的认识，而这种变量间的相依关系恰恰就是函数概念的本质。

3.字母表示数、图像、表格等——对多种数学语言的感受和初步使用。

由于函数反映的是变量之间的关系，所以必须借助数字以外的符号来表示。常用的有：语言描述、表格、图像和解析式四种方法。例如：教学加法和乘法运算定律时，出现用字母表示各种运算定律，使学生初步感受字母可以表示一般意义上的数。又如五年级长方体体积公式的推导，教材中就是通过用体积单位拼摆长方体后填表格，进而归纳出长方体体积的计算公式的。

4.为学生多提供利用函数思想解决问题的机会。

对于函数的学习，应该与体会、感受和运用函数解决问题有机的结合起来。应该引导学生去思考函数的应用问题，特别是思考函数在日常生活和其他学科的应用。例如：可以给学生提供心电图，能使学生了解到时间和心跳频率的函数关系。

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答题内容：  
本次培训让我认识了“函数思想”这一名词。函数思想是一种考虑对应、考虑运动变化、相依关系，以一种状态确定地刻画另一种状态，由研究状态过渡到研究变化过程的思想方法，函数思想的本质在于建立和研究变量之间的对应关系。具体地说，函数思想体现于:
认识到这个世界是普遍联系的，各个量之间总是有互相依存的关系，即“普遍联系”的观点；
于“变化”中寻求“规律(关系式)”，即“模式化”思想；
于“规律”中追求“有序”“结构化”“对称”等思想；
感悟“变化”有快有慢，有时变化的速度是固定的，有时是变动的；
根据“规律”判断发展趋势，预测未来，并把握未来，即“预测”的思想。
于“变化”中把握“规律”，并根据规律做出预测，不仅仅是重要的数学思想，更是人类生存的基本原则。函数的核心就是“把握并刻画变化中的不变，其中变化的是‘过程’，不变的是‘规律’(关系)”。学生愿意去发现规律，并能将规律表述出来的意识和能力，就是函数思想在教学中的渗透。
函数思想在小学阶段强调的是“渗透”，让学生感受到“于变化之中寻求不变，并把握规律的重要性”。小学阶段并不要求学习“形式化”的函数定义。
函数就像一座桥梁，建立起两个集合之间的“关系”。

①“一一对应”在小学数学教材中是贯穿始终的。如在认数1—10时，我们可以呈现。物体的个数与点子图进行一一对应的图像，在具体实物与抽象的数之间建立起桥梁的作用。

②在小学，学生接触更多的是“两个确定或多个确定一个”，即二元函数和多元函数。例如:“体积的问题”源于教材中的一个练习，一块长30cm、宽25cm的长方形铁皮，从四个角各切掉一个边长是5cm的正方形，然后做成盒子。这个盒子用了多少铁皮，它的容积是多少?”这个问题就只是一道简单的计算题，当然问题解决过程中也发展了学生的空间观念。但是如果将原题中的规定“切掉边长是5cm的正方形”改为猜想并验证“切掉边长是多少厘米的正方形时，铁盒的容积最大”问题就由静止变得动态起来。借助这样运动、变化的过程，对学生进行函数思想的初步渗透。

小学教材中以各种素材、各种形式提供给学生大量关于集合之间“关系”直观经验，对“关系”的体验使学生对变量之间的相依关系有了初步的认识，而这种变量间的相依关系恰恰就是函数概念的本质。

3.字母表示数、图像、表格等——对多种数学语言的感受和初步使用。

由于函数反映的是变量之间的关系，所以必须借助数字以外的符号来表示。常用的有：语言描述、表格、图像和解析式四种方法。例如：教学加法和乘法运算定律时，出现用字母表示各种运算定律，使学生初步感受字母可以表示一般意义上的数。又如五年级长方体体积公式的推导，教材中就是通过用体积单位拼摆长方体后填表格，进而归纳出长方体体积的计算公式的。

4.为学生多提供利用函数思想解决问题的机会。

对于函数的学习，应该与体会、感受和运用函数解决问题有机的结合起来。应该引导学生去思考函数的应用问题，特别是思考函数在日常生活和其他学科的应用。例如：可以给学生提供心电图，能使学生了解到时间和心跳频率的函数关系。

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答题内容：  


一、什么是函数思想？
所谓函数思想是一种考虑对应、考虑运动变化、相依关系，以一种状态确定地刻画另一种状态，由研究状态过渡到研究变化过程的思想方法，函数思想的本质在于建立和研究变量之间的对应关系。
二、渗透函数思想要遵循的基本原则。
函数思想在小学阶段强调的是“渗透”，让学生感受到“于变化之中寻求不变，并把握规律的重要性”.在小学数学教学中，渗透函数思想要遵循以下基本原则。
1.意识性原则
意识性原则，是指在教学中要能够自觉地觉察到蕴含于数学知识体系中的函数及函数思想，意识到它的存在，意识到它在数学知识体系中的地位和作用以及学习它的重要性。
2.渗透性原则
渗透性原则，是指在教学中不直接点明，而是有意识地将某些抽象的函数思想逐渐“融进”具体的、实在的数学知识中，使学生对函数有一些初步的感知或直觉，但还没有从理性上开始认识它。不仅是教给学生学习的方法，也是在渗透函数的思想。对于函数思想，在小学教学中没有必要直接点明，教师只需要将其有意识地逐步渗透在数学知识的教学中，使学生在潜移默化中感受“变化”、“变化规律”、“关系”、“不同表示方法”等函数概念的本质即可。
3.循序渐进原则
根据学生的年龄特点、认知规律，重要的数学概念与思想方法的学习应遵循逐级递进、螺旋上升的原则。“函数及函数思想”，在第一学段定位在通过求解一些简单而现实的问题，感受到现实中存在着许多变化着的事物和现象，其中是有规律可循的；第二学段则通过解决某些现实问题，学习寻找规律的一些基本方法，并掌握这些规律；第三学段则是在前两个学段的基础上，让学生学习有关函数的基本概念、知识，了解研究函数的一些基本过程和方法。函数思想的形成是一期过程，因此应在教学中长期积累、反复渗透。
三、小学数学教学中如何渗透函数思想
1．在“空间与图形”领域的教学中渗透函数思想
    在学习了长方形与正方形周长和面积后我们可以设计“周长和面积”的练习课。课上设计这样的环节：用16根1厘米长的小棒围成长方形或正方形，你能围出多少个？其中面积最大的是多少？并填写如下表格。
    长（cm）
    宽（cm）
    周长（cm）
    面积（cm2）
    学生经过研究可以得到：长7cm，宽1cm；长6cm，宽2cm；长5cm，宽3cm；长4cm，宽4cm（正方形）这四种长方形，其中正方形的面积最大。在研究过程中学生会渐渐地认识到：要想得到最大的面积，就要把所有的长方形一一例举出来去比较；而要想得到不同的长方形，必须在保持周长不变的情况下改变长方形的长和宽，由于长逐渐地减小，在周长不变的情况下，宽必须跟随着不断地增大。这样就把“静态”的学习变成了“动态”的研究，而这种由“静”到“动”本身就是函数的本质。因此说，是函数思想使学生学习的过程“动”了起来，使学生的学习“主动”起来，这样也更有利于渗透函数域的概念和极值的概念。
    另外，我们应该认识到在小学的“空间与图形“领域的教学中，许多公式都是一种函数关系，也可以渗透函数思想。
    2．利用数量关系在解决实际问题中渗透函数思想
    学生在小学阶段学习和掌握了许多的数量关系，如：单价、数量和总价之间的关系；路程、时间和速度的关系；工作量、工作效率和工作时间的关系……其实当这些数量关系中的某一种量固定后，另外两种量在变化时就构成了函数。
    以简单的解决问题来说，我们可以把封闭的题目改编成开放的题，如让学生根据所给的两个条件补一个问题，或给一个条件和问题，让学生补上另一个条件。例如，学校有120名学生排队做操，                ，可以站几排？这看起来是很简单的一点儿变化，当把学生的各种补充条件汇集到一起时，学生就会认识到：可以站几排是随着每排人数的变化而变化着的；而每排的人数也会有一定限制，至少不会少于1人，至多不会超过120人。这个范围所蕴含的思想就是函数中的定义域和值域。我们看到这种开放不是简单形式上的开放，而是建立在函数思想上的有目的的开放。
    3．在“统计与概率”的教学中渗透函数思想
    “统计与概率”的内容往往通过表格、图像来描述数据，但大多数教师认为其中不存在函数关系，只重视到了其对培养学生统计观念的作用而忽视了对函数思想的渗透。如：“测量一个水龙头不同时间内滴水量”的活动。
    环节一：边测量边填表。
    环节二：根据实验数据再制成折线统计图。
    环节三：结果分析：（1）说一说从图中你发现了什么；（2）描述一下滴水量与时间之间的关系；（3）估计3小时将浪费多少毫升水。
    ……
    这个活动中, 学生不仅经历了统计的全过程，而且亲历了滴水量的变化随着时间的变化而变化的过程，初步体验了函数的味道。与此同时，还对学生进行了节水的德育教育，可见其功能是多方面的。
    以上是从《课标》规定的四个教学领域谈及的可渗透函数思想的教学点。然而众多的数学思想方法也是有联系的，函数思想与其他一些思想方法紧密相连。

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一、什么是函数思想？
所谓函数思想是一种考虑对应、考虑运动变化、相依关系，以一种状态确定地刻画另一种状态，由研究状态过渡到研究变化过程的思想方法，函数思想的本质在于建立和研究变量之间的对应关系。
二、渗透函数思想要遵循的基本原则。
函数思想在小学阶段强调的是“渗透”，让学生感受到“于变化之中寻求不变，并把握规律的重要性”.在小学数学教学中，渗透函数思想要遵循以下基本原则。
1.意识性原则
意识性原则，是指在教学中要能够自觉地觉察到蕴含于数学知识体系中的函数及函数思想，意识到它的存在，意识到它在数学知识体系中的地位和作用以及学习它的重要性。
2.渗透性原则
渗透性原则，是指在教学中不直接点明，而是有意识地将某些抽象的函数思想逐渐“融进”具体的、实在的数学知识中，使学生对函数有一些初步的感知或直觉，但还没有从理性上开始认识它。不仅是教给学生学习的方法，也是在渗透函数的思想。对于函数思想，在小学教学中没有必要直接点明，教师只需要将其有意识地逐步渗透在数学知识的教学中，使学生在潜移默化中感受“变化”、“变化规律”、“关系”、“不同表示方法”等函数概念的本质即可。
3.循序渐进原则
根据学生的年龄特点、认知规律，重要的数学概念与思想方法的学习应遵循逐级递进、螺旋上升的原则。“函数及函数思想”，在第一学段定位在通过求解一些简单而现实的问题，感受到现实中存在着许多变化着的事物和现象，其中是有规律可循的；第二学段则通过解决某些现实问题，学习寻找规律的一些基本方法，并掌握这些规律；第三学段则是在前两个学段的基础上，让学生学习有关函数的基本概念、知识，了解研究函数的一些基本过程和方法。函数思想的形成是一期过程，因此应在教学中长期积累、反复渗透。
三、小学数学教学中如何渗透函数思想
1．在“空间与图形”领域的教学中渗透函数思想
    在学习了长方形与正方形周长和面积后我们可以设计“周长和面积”的练习课。课上设计这样的环节：用16根1厘米长的小棒围成长方形或正方形，你能围出多少个？其中面积最大的是多少？并填写如下表格。
    长（cm）
    宽（cm）
    周长（cm）
    面积（cm2）
    学生经过研究可以得到：长7cm，宽1cm；长6cm，宽2cm；长5cm，宽3cm；长4cm，宽4cm（正方形）这四种长方形，其中正方形的面积最大。在研究过程中学生会渐渐地认识到：要想得到最大的面积，就要把所有的长方形一一例举出来去比较；而要想得到不同的长方形，必须在保持周长不变的情况下改变长方形的长和宽，由于长逐渐地减小，在周长不变的情况下，宽必须跟随着不断地增大。这样就把“静态”的学习变成了“动态”的研究，而这种由“静”到“动”本身就是函数的本质。因此说，是函数思想使学生学习的过程“动”了起来，使学生的学习“主动”起来，这样也更有利于渗透函数域的概念和极值的概念。
    另外，我们应该认识到在小学的“空间与图形“领域的教学中，许多公式都是一种函数关系，也可以渗透函数思想。
    2．利用数量关系在解决实际问题中渗透函数思想
    学生在小学阶段学习和掌握了许多的数量关系，如：单价、数量和总价之间的关系；路程、时间和速度的关系；工作量、工作效率和工作时间的关系……其实当这些数量关系中的某一种量固定后，另外两种量在变化时就构成了函数。
    以简单的解决问题来说，我们可以把封闭的题目改编成开放的题，如让学生根据所给的两个条件补一个问题，或给一个条件和问题，让学生补上另一个条件。例如，学校有120名学生排队做操，                ，可以站几排？这看起来是很简单的一点儿变化，当把学生的各种补充条件汇集到一起时，学生就会认识到：可以站几排是随着每排人数的变化而变化着的；而每排的人数也会有一定限制，至少不会少于1人，至多不会超过120人。这个范围所蕴含的思想就是函数中的定义域和值域。我们看到这种开放不是简单形式上的开放，而是建立在函数思想上的有目的的开放。
    3．在“统计与概率”的教学中渗透函数思想
    “统计与概率”的内容往往通过表格、图像来描述数据，但大多数教师认为其中不存在函数关系，只重视到了其对培养学生统计观念的作用而忽视了对函数思想的渗透。如：“测量一个水龙头不同时间内滴水量”的活动。
    环节一：边测量边填表。
    环节二：根据实验数据再制成折线统计图。
    环节三：结果分析：（1）说一说从图中你发现了什么；（2）描述一下滴水量与时间之间的关系；（3）估计3小时将浪费多少毫升水。
    ……
    这个活动中, 学生不仅经历了统计的全过程，而且亲历了滴水量的变化随着时间的变化而变化的过程，初步体验了函数的味道。与此同时，还对学生进行了节水的德育教育，可见其功能是多方面的。
    以上是从《课标》规定的四个教学领域谈及的可渗透函数思想的教学点。然而众多的数学思想方法也是有联系的，函数思想与其他一些思想方法紧密相连。

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答题内容：  
一、什么是函数思想

    函数思想是一种考虑对应、考虑运动变化、相依关系，以一种状态确定地刻画另一种状态，由研究状态过渡到研究变化过程的思想方法，函数思想的本质在于建立和研究变量之间的对应关系。具体地说，函数思想体现于:

认识到这个世界是普遍联系的，各个量之间总是有互相依存的关系，即“普遍联系”的观点；

于“变化”中寻求“规律(关系式)”，即“模式化”思想；

于“规律”中追求“有序”“结构化”“对称”等思想；

感悟“变化”有快有慢，有时变化的速度是固定的，有时是变动的；

根据“规律”判断发展趋势，预测未来，并把握未来，即“预测”的思想。

于“变化”中把握“规律”，并根据规律做出预测，不仅仅是重要的数学思想，更是人类生存的基本原则。函数的核心就是“把握并刻画变化中的不变，其中变化的是‘过程’，不变的是‘规律’(关系)”。学生愿意去发现规律，并能将规律表述出来的意识和能力，就是函数思想在教学中的渗透。

二、函数思想在教学中的渗透原则

        函数思想在小学阶段强调的是“渗透”，让学生感受到“于变化之中寻求不变，并把握规律的重要性”.在小学数学教学中，渗透函数思想要遵循以下基本原则。

1.意识性原则

    意识性原则，是指在教学中要能够自觉地觉察到蕴含于数学知识体系中的函数及函数思想，意识到它的存在，意识到它在数学知识体系中的地位和作用以及学习它的重要性。

2.渗透性原则

    渗透性原则，是指在教学中不直接点明，而是有意识地将某些抽象的函数思想逐渐“融进”具体的、实在的数学知识中，使学生对函数有一些初步的感知或直觉，但还没有从理性上开始认识它。不仅是教给学生学习的方法，也是在渗透函数的思想。对于函数思想，在小学教学中没有必要直接点明，教师只需要将其有意识地逐步渗透在数学知识的教学中，使学生在潜移默化中感受“变化”、“变化规律”、“关系”、“不同表示方法”等函数概念的本质即可。

3.循序渐进原则

    根据学生的年龄特点、认知规律，重要的数学概念与思想方法的学习应遵循逐级递进、螺旋上升的原则。“函数及函数思想”，在第一学段定位在通过求解一些简单而现实的问题，感受到现实中存在着许多变化着的事物和现象，其中是有规律可循的；第二学段则通过解决某些现实问题，学习寻找规律的一些基本方法，并掌握这些规律；第三学段则是在前两个学段的基础上，让学生学习有关函数的基本概念、知识，了解研究函数的一些基本过程和方法。函数思想的形成是一个长期过程，因此应在教学中长期积累、反复渗透。

三、在小学数学教学中如何渗透函数思想

    函数的思想方法就是运用运动和变化的观点、集合和对应的思想去分析问题的数量关系,通过类比、联想、转化合理地构造函数,运用函数的图像和性质,使问题获得解决。函数的思想方法是最重要、最基本的数学思想方法之一。

        第一，渗透函数思想的重要内容是“探索规律”，而“探索规律”实际上就是培养学生的“模式化”的思想，发现规律就是发现一个“模式”。我们需要两方面知识的探索：对数或者图形排列规律的探索和对运算规律的探索。

    第二、在“空间与图形”领域的教学中渗透函数思想

    在学习了长方形与正方形周长和面积后我们可以设计“周长和面积”的练习课。课上设计这样的环节：用16根1厘米长的小棒围长大方形或正方形，你能围出多少个？其中面积最大的是多少？并填写如下表格。

    学生经过研究可以得到：长7cm，宽1cm；长6cm，宽2cm；长5cm，宽3cm；长4cm，宽4cm（正方形）这四种长方形，其中正方形的面积最大。在研究过程中学生会渐渐地熟悉到：要想得到最大的面积，就要把所有的长方形逐一例举出来往比较；而要想得到不同的长方形，必须在保持周长不变的情况下改变长方形的长和宽，由于长逐渐地减小，在周长不变的情况下，宽必须跟随着不断地增大。这样就把“静态”的学习变成了“动态”的研究，而这种由“静”到“动”本身就是函数的本质。因此说，是函数思想使学生学习的过程“动”了起来，使学生的学习“主动”起来，这样也更有利于渗透函数域的概念和极值的概念。

第三：对运算规律的探索。

    对于“乘法中的运算规律”的探索：乘法口诀的学习是“一串一串”的，使得在学生编口诀、背口诀的过程中就发现了：“一个因数不变，积随着另一个因数的变化而变化”的规律。乘法口诀表中，更是集中体现了这个规律，基本数量关系、图形位置与变换——对“关系”的体验，在认数1—10时，呈现将物体的个数与点子图进行一一对应的图像，在具体实物与抽象的数之间建立起桥梁的作用。在教学比大小时又都呈现将两部分物体分别排列起来，一一相对，渗透一一对应的思想.。通过折线统计图渗透函数思想。从图像中可以自然的向学生渗透变化的量等函数思想。任何一个有序数对与坐标系上的点“一一对应”等等。将对应关系以图解的形式渗透。“多对一”的这种“关系”在小学不是很常见，但是学生也有一些体验。学生认识的加、减、乘、除四种运算就是算式左端的两个数与右端的一个数之间的“关系”。时，它就可以作为函数思想的渗透点。

     第四、利用数量关系在解决实际问题中渗透函数思想

        学生在小学阶段学习和掌握了许多的数量关系，如：单价、数量和总价之间的关系；路程、时间和速度的关系；工作量、工作效率和工作时间的关系……其实当这些数量关系中的某一种量固定后，另外两种量在变化时就构成了函数。

以简单的解决问题来说，我们可以把封闭的题目改编成开放的题，如让学生根据所给的两个条件补一个问题，或给一个条件和问题，让学生补上另一个条件。例如，学校有120名学生排队做操，                ，可以站几排？这看起来是很简单的一点儿变化，当把学生的各种补充条件汇集到一起时，学生就会认识到：可以站几排是随着每排人数的变化而变化着的；而每排的人数也会有一定限制，至少不会少于1人，至多不会超过120人。这个范围所蕴含的思想就是函数中的定义域和值域。我们看到这种开放不是简单形式上的开放，而是建立在函数思想上的有目的的开放。

      函数是研究变量和变量之间关系的重要的数学模型，是中学阶段数学学习的一条主线。使小学生经历一些函数的雏形，丰富他们对函数的感受，有助于小学生数学学习的深刻性，有助于中小学数学教学的衔接。本次研究基于对当前小学数学教师对函数认识的现状的调查所暴露出的一些问题，试图通过澄清函数的概念、什么是函数思想后点明在小学数学教学中应如何渗透函数思想，帮助教师更好地服务于教学。

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答题内容：  
一．重视教学内容的思想价值。

在“式与方程”、“正比例、反比例”的内容中，充满着已知与未知、特殊与一般、具体与抽象的对立与统一，充满着运动、变化的思想。在传统的教学中，往往是就内容教内容，忽视这些内容所包含的重要的数学思想和教育价值，今天强调把数学思想及其教育价值渗透在教学过程中，促进学生对所学知识的理解与掌握，提高认识能力，形成良好的数学素养。如，在用字母表示数的教学中，可以有意识地渗透符号化、对应、换元等思想方法。在认识比例的教学中，把图形的扩大、缩小与比例知识的学习联系起来，渗透数形结合的思想。



二．强调对模型与关系的体会、理解。

方程是刻画现实世界数量关系的数学模型。今天强调从“数学建模”的角度开展方程的教学。解方程的教学，让学生依据等式的性质对数学模型进行变换，探求方程的解。函数是刻画现实世界数量变化规律的数学模型。正比例、反比例中隐含的数学函数思想，对学生后续学习数学、物理、化学等学科有重要的促进作用。学习正比例、反比例，数学思维方式发生重要转折，即思维从静止走向运动，从离散走向联系，从运算走向关系。在实际教学过程中，通过绘图、估计值、找实例交流等不同于以往的教学活动，帮助学生体会两个变量之间相互依存的关系，丰富关于变量的经历，为以后学习函数概念打下基础。



三．注重在具体情境中去体验理解有关知识。

数学学习“不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律”。小学生的数学思维从以具体形象思维为主要形式向以抽象逻辑思维为主要形式过渡，其抽象逻辑思维在很大程度上仍与感性经验直接相联系。“式与方程”、“正比例、反比例”在表达形式上比较抽象，强调通过创设与学生生活环境、知识背景密切相关的，又是学生感兴趣的学习情境，让学生在直观感受中理解字母表达式所反映的等量关系，并会用代数的方式解决一些实际问题，掌握正比例、反比例知识。

        四.加强与中学数学教学的衔接。

    小学里解方程的教学，与中学数学教学的衔接，不仅仅表现为解方程方法的一致，更有价值的是：思考问题的方法趋向一致。在解方程的教学中，学生将逐步接受并运用代数的方法思考、解决问题，使思维水平得到提高。