初中数学教材培训

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数学文化与素质教育



南开大学 顾 沛



　　一、“数学文化”一词的使用



“数学文化”一词，最近五、六年才用得多起来。而这个词的使用频率近年大大增加，说明它是有生命力的，说明许多人为着某种需要更愿意从文化这一角度来关注数学，更愿意强调数学的文化价值。



中华人民共和国教育部制定的《高中数学课程标准》中多次使用“数学文化”一词，是该词第一次进入官方正式文件。



在“数学文化”一词被日益广泛地使用时，“物理文化”、“化学文化”这样类似的词汇，并没有得到广泛地使用。这是耐人寻味的。



二、“数学文化”的内涵



狭义：数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展；



广义：除上述内涵以外，还包含数学史，数学家、数学美，数学教育，数学与人文的交叉，数学与各种文化的关系。



一个人的学历教育中，从小学一年级到大学一年级，一般要学十三年的数学课程；但许多人并未因为学的时间长就掌握了数学的精髓。在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，不到一两年，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，深深铭刻在头脑中的数学的思想精神、数学的思维方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使人们终生受益。这就是人们通常说的“数学素养”，也称“数学素质”。



数学素养不是与生俱来的，是在学习和实践中培养的。教师在数学教学中，不但要向学生传授数学知识，更要让学生体会数学知识中蕴涵的数学文化，了解“数学方式的理性思维”，提高学生的数学素养。



三、数学文化中的素质教育举例



例一、有限与无限的问题



例二、海岸线的长度问题



例三、《周髀算经》与勾股定理



例四、变换的方法



例五、类比的方法



例六、抽象的观点



例七、“变中有不变”的观点



例八、数学审美的思想



新课程的教学，注重“知识与技能”、“过程与方法”、“情感●态度●价值观”三维目标的实现；教师如果在教学中自然而然地渗透数学文化，“润物细无声”，就非常有利于三维目标的实现，非常有利于学生的全面发展和长远发展。也可以说，这就是数学课堂教学中的素质教育。

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中学数学课程改革——问题与思考



人民教育出版社中数室 章建跃



　　一、几个基本观点



1．坚持我国数学教育的优良传统



§课程教材体系结构严谨，逻辑性强，语言叙述条理清晰，文字简洁、流畅，有利于教师组织教学，注重对学生进行基础训练等；



§教学强调概念理解和基本技能训练，强调为学生铺设合理的认知台阶，强调变式训练等；



§学生学习刻苦，基础扎实，运算能力和逻辑推理能力强等。



2.针对问题进行改革



§数学教学“不自然”，强加于人；



§缺乏问题意识；



§重结果轻过程，“掐头去尾烧中段”；



§重解题技能、技巧轻普适性思考方法的概括，方法论层次的内容渗透不够，机械模仿多独立思考少，数学思维层次不高；



§讲逻辑而不讲思想。



3．处理好数学课改中的各种矛盾关系



§学生主体与教师主导           



§接受学习与发现学习



§基础与创新



§数学知识、能力与情感态度



§数学化与情境化（直观与逻辑、具体与抽象等）



§独立思考与合作交流



§过程与结果



§面向全体与因材施教



§书本知识与数学应用

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二、改革中应重点关注的问题



1．亲和力问题



§呈现方式：自然亲切，生动活泼，激发兴趣和美感，引发学习激情。



§数学的内在吸引力：在体现知识归纳概括过程中的数学思想、解决各种问题中数学的力量、数学探究和论证方法的优美和精彩之处、数学的科学和文化价值等方面，引发学生的积极体验。



2．加强“问题性”——问题引导学习



通过恰当的、对学生的思维有适度启发的问题，引导学生思考和探索，经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等理性思维基本过程，切实改进学生的学习方式，培养问题意识，孕育创新精神。



好问题的标准



“跳一跳能够摘到的果子”：反映当前教学内容的本质；学生经过适度努力能够解决。



案例一：梯形面积公式的推导



§如图，教师在将梯形进行切割后问学生：（1）这个平行四边形的底与梯形的上、下底有什么关系？（2）平行四边形的高与梯形的高有什么关系？（3）梯形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？（4）梯形的面积应怎样算？



§建立在学生思维最近发展区上的提问



§我们知道，长方形面积是“长×宽”。你能回忆一下，我们是如何利用长方形面积得到三角形面积和平行四边形面积的吗？



§如何利用已有的面积公式求出梯形的面积公式？



§核心思想：利用割补法，将梯形面积化归为矩形、平行四边形、三角形的面积



3．提高思想性



加强过程与联系，以数学概念的发展过程、逻辑关系组织教学内容，保持思想方法的前后一致性；以核心概念和基本思想（数及其运算、函数、空间观念、数形结合、向量、导数、统计、随机观念、算法等）为贯穿教学过程的“灵魂”。



案例二：定性平面几何的结构



主题：



1. 全等形——平面对任意直线的反射对称性；



2. 平行性——三角形内角和等于一个平角所表达的“平直性”。



定性平面几何的结构



§由SAS公理和三角形内角和为一个平角这两个基本性质为起点，先讨论等腰三角形、平行四边形的各种性质，并概括出它们的特征性质，然后再逐步运用这两个基本工具，解答、论证其他平面几何的定理和问题。



4．加强结构性



结构良好的教学内容的特点



§核心知识（基本概念及由内容所反映的数学思想方法）为联结点，精中求简，易学、好懂、能懂、会用，能切实减轻学生负担；



§形成概念的网络系统，联系通畅，便于记忆与检索；



§具有自我生长的活力，容易在新情境中引发新思想和新方法。



　　“结构性”的几个具体要求



（1）教学目标明确，削支强干，重点突出，集中精力于核心内容。



（2）教学内容安排注重层次结构，张弛有序，循序渐进。由浅入深，由易到难，先简后繁，先单一后综合。



（3）每堂课都围绕一个中心论题展开和深化，精心组织相关的数学成分，使相应的核心概念或重要思想成为一个有机整体，相关的数学术语、定义、符号、概念、技能等因素都得到仔细的展开；课与课之间建立精当的序列关系，保持知识的连贯性，思想方法的一致性。易错、易混淆的问题有计划地复现和纠正，使知识得到螺旋式的巩固和提高。



（4）强调科学思考方法的应用

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案例三 数系扩张中的结构思想



§度量的实际需要——具有实际意义；



§数学概念发展的内在需要：



  引进新的数，定义相应的运算，使得算术运算中原来的运算律保持不变



关于概念教学的一些要求



（1）采取“归纳式”进行概念教学，让学生经历概念的概括过程；



（2）正确、充分地提供概念的变式；



（3）适当应用反例；



（4）在概念的系统中学习概念，建立概念的“多元联系表示”；



（5）精心设计练习。



三、搞好课堂教学设计，提高教学质量和效益



§明确教学目标，使学生保持高水平的数学思维。



§以问题引导学习，尽量采用“归纳式”，让学生经历概念的概括过程，思想方法的形成过程，这是基本而重要的。



§既讲逻辑又讲思想，引导学生通过类比、推广、特殊化等思维活动，促使他们找到研究的问题，形成研究的方法。



§使学生在建立知识的内在联系过程中领悟本质。  



1. 关于教学目标的思考



（1）教学目标是教学目的的系统化、具体化，是教学活动每一阶段要实现的教学结果，是衡量教学质量的标准。



（2）教学目标的设计必须建立在对学生情况全面了解、对教学内容精确分析的基础上。



（3）教学目标必须是可观察的。



　　§陈述教学目标的要求



§反映数学的学科特点，反映当前学习内容的本质。



§可观测：清楚陈述学习后有什么变化。



例 掌握一元二次方程根的判别式。



    ——对“掌握”的内涵作具体界定。重要概念要考虑作适当分解：



  （1）在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，掌握判别式的结构和作用；



  （2）能用判别式判断一个一元二次方程是否有解；



  （3）能用判别式讨论一个含字母系数的一元二次方程的解；



  （4）能灵活应用判别式解决其他情境中的问题。



要防止教学目标“高大全”，有的甚至是“假大空”，目标“远大”、空洞，形同虚设。例如，一堂课的目标中含有：



§培养学生的数学思维能力和科学的思维方式；



§培养学生勇于探索、创新的个性品质；



§体验数学的魅力，激发爱国主义热情；

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2.搞好课堂教学设计的“321”



三个基本点



§理解数学——对数学的思想、方法及其精神的理解；



§理解学生——对学生数学学习规律的理解，核心是理解学生的数学思维规律；



§理解教学——对数学教学规律、特点的理解。



两个关键



§提好的问题——在学生思维最近发展区内，有意义；



§设计自然的过程——数学知识发生发展的原过程（再创造），学生对数学知识的认识过程。



案例四  “不等式基本性质”中的提问



§不等式基本性质的研究可以通过类比等式的基本性质而得到启发。



§你能回忆一下等式的基本性质吗？



§等式的基本性质的实质是什么？（运算中的不变性）



§类似的，不等式有哪些基本性质呢？



过程——抽象与具体、特殊与一般的关系



§抽象是数学的一个公认的、最显著的特点



§数学的抽象是从具体中得来的，具体中蕴含了本质



§从具体中可以进行多次抽象



§可以从不同的角度进行抽象



§特殊化能使一般的性质得到最明显的表征



一个核心



§概括——引导学生自己概括出数学的本质，使学生在数学学习过程中保持高水平的数学思维活动。



案例五  平行线分线段成比例定理的概括



§先行组织者：研究平行线的性质，就是探究在一组直线平行的条件下可以得出哪些结论。



§特例1 一组等距平行线截另一组平行直线，结果如何？



§特例2 一组等距平行线截另一组任意直线，结果如何？——平行线等分线段定理、三角形和梯形的中位线定理。



§特例3 已知距离的不等距平行线截另一组直线，结果如何？



§平行线分线段成比例定理。



3．努力改进教学方式



§在教学方式的改进中，最重要的是要让学生有自己积极地、独立地进行数学思考的空间。不管是传授式还是活动式（相应的，学生学习方式是接受式或发现式），只要学生有思维的自主，就是学生的自主地位得到体现。



§根据数学知识的认知需要，为学生设置恰当的教学情景，通过恰时恰点的问题引导学生的学习活动，充分使用“先行组织者”，在思想方法上多做引导，在具体细节上让学生自己多动手做、多阅读、多思考、多交流，让学生多发表意见，教师自己参与到学生的活动中去，多听少讲，在关键点上让学生有机会提出自己的见解。



课堂教学的“六字经”



问题引导学习，教学重心前移；



典型丰富例证，提供概括时机；



保证思考力度，加强思想联系；



使用变式训练，强调反思迁移。

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教材修订情况介绍

人民教育出版社中学数学室 李海东

一、修订原则 ?参考课程标准的修订； ?解决教材实验中集中反映的问题； ?保持实验本的基础结构和主要内容。 二、数与代数 1．增加“整式的加减”一章 ?用字母表示数，列式表示数量，以列式问题为素材引出有关概念： ?结合列式问题中的化简，引出同类项的概念，类比数的运算律引出合并同类项的法则，通过合并同类项进行式子化简. ?结合列式问题中的化简，引出去括号的问题，类比数的运算律得到去括号的法则；通过去括号，进行式子化简. ?归纳出整式加减法的运算法则. 2．“一次函数”内容的处理 位置适当靠后 关于分段函数的问题 突出函数思想 3．关于一些概念的处理 最简分式、最简根式、同类根式、分母有理化、判别式、根与系数的关系、待定系数法等。 4．教学中集中反映的一些问题 问题的实际背景（如一元一次方程） 个别难度较大的题目题（哪种灯省钱、体育比赛、规划问题、刹车问题等） 练习、习题中增加基本题目 三、图形与几何 ?保持现有基本结构 ?保持对推理证明的处理 循序渐进 起点早 一以贯之 ?一些内容的处理 镶嵌 重心 投影与视图降低要求 四、统计与概率 ?适当整合统计内容 数据的收集与描述（七下）统计调查 用直方图描述数据 数据的分析（八下） ?调整概率内容的写法 题目适当降低难度；古典概率提前，概率的频率定义在其后。 五、一些整体问题 习题量与难度 关于联系实际 关于栏目设置 反映农村背景 六、教科书体系 七年级上册（61） 第1章 有理数（19） 第2章 整式的加减（8） 第3章 一元一次方程（18） 第4章 图形认识初步（16） 七年级下册（62） 第5章 相交线与平行线（14） 第6章 平面直角坐标系（7） 第7章 三角形（8） 第8章 二元一次方程组（12） 第9章 不等式与不等式组（12） 第10章 数据库的收集整理与描述（9） 八年级上册（62） 第11章 全等三角形（11） 第12章 轴对称（13） 第13章 实数（8） 第14章 一次函数（17） 第15章整式的乘除与因式分解（13） 八年级下册（61） 第16章 分式（14） 第17章 反比例函数（8） 第18章 勾股定理（8） 第19章 四边形 （16） 第20章 数据的分析（15） 九年级上册（62） 第21章 二次根式（9） 第22章 一元二次方程（13） 第23章 旋转（8） 第24章 圆（17） 第25章 概率初步（15） 九年级下册（48） 第26章 二次函数（12） 第27章 相似（13） 第28章 锐角三角函数（12） 第29章 投影与视图（11）

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初中数学培训手册之一

人教版《义务教育课程标准实验教科书数学（七～九年级）》简介





　　为了全面贯彻党的教育方针，贯彻落实《中共中央国务院关于深化教育改革全面推进素质教育的决定》，培养适应21世纪现代化建设需要的社会主义新人，适应时代发展的需要，为学生的终身发展奠定基础，课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心聘请中国科学院院士、著名数学家林群先生为主编，与数学教育理论工作者、中学数学教研员和数学教师、数学教材专业研究和编写工作者共同成立了课题组，依据教育部《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》，编写义务教育初中数学新课标实验教材。几年来，课题组坚持科研领先，进行了大量的理论学习、课程标准研读、数学教学调研等，积累了许多一手的资料，对我国数学教学的历史与现状，国际数学教育的改革与发展情况等进行了深入的研究和讨论。在坚持我国数学教育优良传统的前提下，认真处理好继承、发展、创新的关系，编写的人教版义务教育课程标准数学实验教材已经通过了教育部中小学教材审定委员会审查。现将我们编写这套教材的一些体会以及编写教科书中的几个问题与大家作一个介绍，以便交流、探讨。


一、编写的指导思想



义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐的发展，而教材为学生的学习活动提供了基本线索，是实施课程目标、实施教学的重要资源。因此，如何使教材能适应社会发展的需要，使教材能遵循学生学习数学的心理规律，为学生搭建良好的发展平台，为教师进行创造性的教学创造条件，是我们重点研究的问题。在编写教材时，我们遵循了如下的指导思想：



1．以“三个代表”重要思想为指导，遵照邓小平同志关于教育的“三个面向”的指示，根据《中共中央国务院关于深化教育改革全面推进素质教育的决定》《国务院关于基础教育改革与发展的决定》的精神，全面贯彻党的教育方针，大力推进素质教育。



2．贯彻教育部《基础教育课程改革纲要（试行）》，积极体现《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的基本理念，依据“标准”规定的教学目标，参照“标准”中的编写建议，在科学研究的基础上，从教学改革的实际出发编写教材。



3．正确处理数学、社会、学生三者的关系，适应科技发展的形势，关注社会进步的需求，更新对数学基础知识和基本技能的认识，着眼于学生的长远发展，注重培养理性精神和创新意识, 提高学生发现、提出、分析和解决问题的能力。



4．遵循认知规律，努力为学生创造自主探究、合作交流的空间，为教师营造教学创新的氛围，为师生互动式教学提供丰富的资源。促进现代信息技术与数学课程的整合，改进教材的呈现方式，提高学生学习数学的兴趣。



二、教科书特色



这套教科书充分注意体现普及性、基础性和发展性，不仅考虑数学本身的特点，更注意遵循学生学习数学的规律，让学生在掌握数学基础知识的同时，学会数学地思考，学会应用数学知识解决一些实际问题，培养创新精神和实践能力、形成良好的情感态度与价值观，为终身发展奠定良好的基础。在编写时，我们力求突出以下特点：



（一）使教科书成为反映科学进步、介绍先进文化的镜子



1．重视科学，关注文化



　　重视数学的科学价值，同时关注其文化内涵。通过教科书这面镜子的反射，结合教学内容生动活泼地介绍古今数学的发展，深入浅出地反映数学的作用（工具作用和人文教育作用），使学生逐步地认识数学的科学价值和人文价值，提高科学文化素养。



2．重视基础，返璞归真



　　重视中学数学在数学科学和其他科学中的基础作用，强调基础知识和基本方法在实现从算术到代数、从实验几何到论证几何、从常量数学到变量数学、从确定性数学到随机性数学等重大转折中的作用。引导学生认识初等数学的本质，返璞归真，为进一步学习数学和应用数学打好基础。



3．重视思想，立足发展



　　重视渗透和揭示基本的数学思想方法，更好地反映数学内部的联系以及它与相关学科的联系，注意教科书内容的开放性和多元性，使学生经历实验、探索的过程，体验如何运用数学思想方法分析和解决问题，培养学习数学和应用数学的能力，播撒“尊重科学、热爱科学、善于思考、勇于创新”的种子，搭建可持续发展的平台。



（二）突出学生的主体地位，体现学习方式的转变



1．贴近生活，注重过程



内容素材的选取，要力求贴近学生的生活实际和社会现实；教科书的组织安排，要注重知识的发生发展过程、学生的认知过程和情感体验过程，为构建丰富的学习环境提供重要资源。



2．发展思维，引导探索



内容的呈现要努力体现数学思维规律，引导学生积极探索，使他们经历“观察、实验、比较、归纳、猜想、推理、反思”等理性思维活动的基本过程，优化思维品质，提高数学思维能力，培养创新精神和实践能力。



3．精编问题，创设情境



　　精心选编现实生活和数学发展中的典型问题，创设问题情境，通过分析和解决问题，加深对知识本质的理解，强化知识之间的联系，领悟和掌握数学思想方法，使问题在教科书中发挥更大的作用。注意问题的基础性、思想性、开放性、趣味性等。在“复习巩固”“综合运用”“拓广探索”等栏目下，有针对性地选配习题，为学生提供充分发展的空间。



（三）改进教科书的呈现形式，加强现代信息技术的运用



1．改进呈现形式，激发学习兴趣



　　精心设计教科书的呈现形式，改进栏目设置、版面设计、图文选配等，用学生喜闻乐见的形式（包括科普小品等）呈现教材内容，适当设问、留白、引导，加大探索空间，安排具有综合性、探究性、开放性的“数学活动”，激发学生的学习兴趣，增强他们对教科书的亲近感和认同感。



2．重视信息技术，改进学习手段



重视现代信息技术的发展对数学和数学教育产生的深远影响，发挥信息技术的力量，有意识地引入计算机（器）、网络等进行信息处理（包括快速计算、自动制表、智能绘图、人机交互等），设置“信息技术应用”专栏（选学内容），为学生提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具。