初中毕业考试数学开放型模拟试题

wangluo

开放型试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，所以是近几年中考试题的热点考题。观察、实验、猜想、论证是科学思维方法，是新课标思维能力新添的内容，学习中应重视并应用。


例1．（2005年梅州）如图，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点。


（1）如果

，则ΔDEC≌ΔBFA（请你填上能使结论成立的一个条件）；


（2）证明你的结论。

分析：这是一道探索条件、补充条件的开放型试题，解决这类问题的方法是假设结论成立，逐步探索其成立的条件。


解：（1）AE=CF（OE=OF；DE⊥AC；BF⊥AC；DE∥BF等等）



（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD，∠DCE=∠BAF



又∵AE=CF，∴AC－AE=AC－CF，∴AF=CE，∴ΔDEC≌ΔBAF


说明:考查了矩形的性质及三角形全等的判定。


　　练习一


　　1. (2005年黑龙江课改）如图, E、F是□ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件: ___________ ，使四边形AECF是平行四边形.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　2、（2005年金华）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，BD＝BE.


（1）请你再添加一个条件，使得△BEA≌△BDC，并给出证明.


你添加的条件是：
.


证明：
　　




（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形：
. （只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程）


　　3、（2005年玉溪）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD＝CD，AB＜CD且∠ABC为锐角，若AD＝4，BC＝12，E为BC上一点。


问：当CE分别为何值时，四边形ABED是等腰梯形？直角梯形？请分别说明理由。

　　　　　　　　　　　

　　练习二


　　1、（2005年武汉）如图1，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D。


　(1)求证：∠DAC=∠BAC；


　(2)若把直线EF向上平行移动，如图2，EF交⊙O于G、C两点，若题中的其他条件不变，这时与∠DAC相等的角是哪一个?为什么?























　　2． （2005年包头） 如图1，⊙O1与⊙O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D。经过点B的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F。


(1)求证：CE∥DF；


(2)在图1中，若CD和EF可以分别绕点A和点B转动，当点C与点E重合时(如图2)，过点E作直线MN∥DF，试判断直线MN与⊙O1的位置关系，并证明你的结论。





















　　3、（2005年四川）己知：如图，E、F分别是□ABCD的AD、BC边上的点，且AE=CF。


  　(1)求证：△ABE≌△CDF；


　 (2)若M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN，


　　试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论。















　　4、（2005年黄冈）如图，已知⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA = EC。


　⑴ 求证：AC2= AE·AB；


　⑵ 延长EC到点P，连结PB，若PB = PE，试判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由。

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5、（2005年枣庄）如图，⊙O1和⊙O2外切于点P，直线AB是两圆的外公切线，A,B为切点，试判断以线段AB为直径的圆与直线O1O2的位置关系，并说明理由．
















例2、（2005年陕西课改）如图，直线CF垂直且平分AD于点E，四边形ADCB是菱形，BA的延长线交CF于点F，连接AC。


（1）
图中有几对全等三角形，请把它们都写出来；


（2）证明：△ABC是正三角形。


分析：本题需学生根据给定的条件，通过观察，分析，探索多个不明确的结论。求解此类问题时，切勿凭空乱想，应仔细对照条件，观察图形特征，联想已学知识，方法或已解决过的问题，全方位的、多角度地作全面分析。


解：（1）图中有四对全等三角形，分别为△ABC≌△CDA，△AEF≌△DEC，△DEC≌△AEC，△AEF≌△AEC。


（2）证明：


∵CF垂直平分AD，　　

∴AC＝CD
　　　　　　　　　　　　　　　
又∵四边形ABCD是菱形，


∴AB＝BC＝CD＝DA　　




∴AB＝BC＝AC　　


∴△ABC为正三角形。
　　　　　　　　　　
说明：


　1.考查三角形全等的判定、垂直平分线的性质及菱形的性质及等边三角形的判定等知识点。


　2.这类试题因为对学生的观察能力、分析问题和解决问题的能力有一定的要求，所以最近几年中考试题的命题热点。


　　练习三


　　1.（2005年武汉）已知：如图，在△ABC中，点D、E分贝在边AB、AC上，连结DE并延长交BC的延长线于点F，连结DC、BE。若∠BDE＋∠BCE＝180°.


　（1）写出图中三对相似三角形（注意：不得添加字母和线）；


　（2）请在你所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由。
　　　　　　　　　　　


　　2、（2005年宁德）如图，已知E、F是□ABCD的边BA、DC延长线上的点，且AE＝CF，线段EF分别交AD、BC于点M、N。


　　请你在图中找出一对全等三角形并加以证明。





　　　　　　　　　






　　解：我选择证明△___________≌△___________.

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　3、（2005年内江市课改）如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线上，且过A、B两点分别作直线的垂线，垂足分别为D、E，请你仔细观察后，在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程。



　　　　　　　


　　4、（2005年陕西）如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O。


　（1）
图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来；


　（2）
任选（1）中的一对全等三角形加以证明。


　　　　　　　　　　　




　　5、（2005年宁波）如图,△ABC中,AB=AC,过点A作GE∥BC,角平分线BD、CF相交于点H,它们的延长线分别交GE于点E、G.试在图中找出3对全等三角形,并对其中一对全等三角形给出证明。





















　　能力训练


　　1、（2005年北京海淀区）已知△ABC，分别以AB、BC、 CA为边向形外作等边三角形ABD、等边三角形BCE、等边三角形ACF.


　　(1)如图1，当△ABC是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论；


　　(2)如图2，当△ABC中只有∠ACB=60°时，请你证明S△ABC与S△ABD的和等于S△BCE与S△ACF的和.

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　　2、（2005年河南华师实验区）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，P为梯形ABCD外一点，PA、PD分别交线段BC于点E、F，且PA＝PD。

（1）写出图中三对你认为全等的三角形（不再添加辅助线）；

（2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明。

　　　　　

　　　３、（2005年佛山）已知任意四边形ABCD，且线段AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点分别是E、F、G、H、P、Q．


　　（1）若四边形ABCD如图①，判断下列结论是否正确（正确的在括号里填“√”，错误的在括号里填“×”）．


　　甲：顺次连接EF、FG、GH、HE一定得到平行四边形；（
）


　　乙：顺次连接EQ、QG、GP、PE一定得到平行四边形．（
）


　　　（2）请选择甲、乙中的一个，证明你对它的判断．


　　　（3）若四边形ABCD如图②，请你判断（1）中的两个结论是否成立？














　　４、（2005年河南课改）如图，在□ABCD中，点E、F在BD上，且BF＝DE。


　　⑴写出图中所有你认为全等的三角形；


　　⑵延长AE交BC的延长线于G，延长CF交DA的延长线于H(请补全图形)，证明四边形AGCH是平行四边形。



















　　５．（2005年湖南湘潭）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，D为垂足。由以上两个条件可得________。(写出一个结论)


　　　　　　　




　　　６．（2005年徐州）如图11，AC是平行四边形ABCD的对角线。


　　(1)用直尺和圆规作AC的垂直平分线和边AD、BC分别相交于点E、F，垂足为O。连结AF、CE(保留作图痕迹，不写作法)


　　(2)判断四边形AFCE是否为菱形，并说明理由。