小数教研论文：基于心理学的教学研究案例──对《隔位退位减》教学的思考

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作者:南京市建邺区教师进修学校 王凌  
    摘  要：大多数教师在进行教学设计时，仍囿于教材例题的中心知识点进行设计，偏重于思考教师如何教，忽略关注学生如何学。这将导致学生难以在学习过程中有实质性的参与，造成教学的低效。要提高教学的有效性，应坚持以钻研教材与学情调查并重，在此基础上合理选择教学方法。

    关键词：心理学  案例研究  学情调查  教学难点


一

教学设计的质量直接影响到教学实施的效果。大多数教师在进行教学设计时仍囿于教材，围绕例题的中心知识点进行设计，偏重于思考教师如何教，忽略关注学生如何学。这将导致学生难以在学习过程中有实质性的参与，造成教学的低效。一切的数学教学活动最终都应落实到学生的数学学习，从而只有对学生在学习过程中的思维活动具有较为深入的了解，教学工作才有可能超越纯粹经验总结的水平而上升为理论指导下的自觉实践。因此，要提高教学的有效性，应坚持以钻研教材与学情调查并重，在此基础上合理选择教学方法。同时，对于某些“教师难教、学生难学”的课，仅凭教学经验往往难以获得有效的解决方法。因为有些经验是有效的，有些经验看似有效，实际上却可能是“有害”的。更进一步讲，仅凭经验难以确定这样教是否科学。

本文以苏教版二年级（下册）《隔位退位减》为例，试论学情调查的方法对教学设计的意义，以及教师在进行教学设计的过程中如何借鉴心理学研究的成果，将理论与实际切实地结合起来。

先看两个不成功的教学案例──

[案例一]执教者W老师是位有近十年教龄的区骨干教师。

教师根据情境图，引导学生列出算式202－108。

师：先算什么？

生：个位2减8不够，向十位借1，十位退1。

师：十位能退吗？（不能。）为什么？

生：十位上两个数全是0。

师：被减数十位是0，表示没有。那怎么办呢？

教师拿起计数器。大部分学生回答“用计数器算”，也有学生说“向百位借”。

师：百位退1给哪一位？

生1：十位。

生2：个位。

教师未对生2的回答做出回应。指着十位问：十位拨几颗？

生：1颗。

师：1颗吗？

生：10颗。

师：为什么？（在十位拨10颗珠）

生：10个10是100。

师：个位怎么算？（12－8，个位上是4。）10是从哪里来的？

生：从十位上退1。

教师放下计数器，先在黑板上竖式的百位、十位上打上退位点，然后写下个位的“4”，接着指着十位问学生是多少，学生说是“9”。

师：为什么是9？

生：退给个位1。

在师生问答的过程中，教师完成黑板上的竖式，并请学生说一说要注意什么。学生回答有“退位点要和数字对齐”，“减法不要算成加法”，“要打两个退位点”，“退位后就不是原来的数”。

教师请学生完成课堂作业，根据课堂观察，全班28人，出现错误的有18人，约为全班人数的64%。以1000－537为例，学生的错误得数有573,433,473。

在与学生的交流中，我们发现学生虽然打了退位点，但并不清楚在相减过程中究竟表示几，正像他们计算1000-537的得数所反映的：十位上应当是6，而很多同学认为是7。

W老师为此也很困惑，她认为这节课很难教，学生学习难度很大，因此也借助了计数器，将相减的过程一步步地演示。同时也设计问题，请学生回答“要注意什么”，以此引发学生关注“0上打点想作9”这一难点。但她表示，根据她的经验，隔位退位减中出现1000－537=473这种错误是不可避免的，也无法消除，需要通过反复练习，让学生在“订正”中修正算法，记住“0上打点想作9”这个事实。

[案例二]执教者X老师是有五年教龄的区骨干教师。

她听了W老师执教的课，认为应当让学生自己探究，因为退位减法中的两种情况（个位不够减向十位借一，十位不够减向百位借一）学生刚刚学过，应该能自主探究出算法。她认为W老师一对一的提问过多，课堂气氛沉闷，以教师讲解为主，学生没有真正参与到学习中，所以正确率不高。

X老师在根据情境图引出202－108后，问学生“你们会算吗”，学生回答“会算”。于是教师让学生试做。片刻后，有几个学生没有算出结果，听课教师小声地与他们交流，学生反映“个位不够减，向十位借一，但十位没有，不知道怎么办”；其他大部分学生都已算好答案，教师请了得数不同的同学板演。学生的得数分别有4、106、104、94、194五种情况。

师：某某同学的答案是4，你能说一说是怎么想的吗？

生：个位2－8不够减，向前一位借一，12－8=4；十位0－0=0；百位1－1=0。

师：你个位上2－8不够，向前一位借1，是向哪儿借？

生：2。

师：向百位的2借吗？

生：是的。

师：你们同意吗？

其余学生有的说不同意，有的说同意，还有几个在忙着改动自己的竖式。

师：从百位借1，表示1个多少？

生1：1个十。

生2：不对，是10个十。

师：是啊，1个百表示10个十，你把它当作1个十，这样算对吗？

做出得数是4的学生开始在座位上改正自己的竖式。

师：再看这个竖式。某某同学算出的得数是106，你是怎么想的？

生：个位2减8不够，要向十位借1，十位是0。（说到这里有些疑惑，停下来不说了。）

师：你是不是看十位是0，所以就用8－2了。（生点头）个位上应该是2减8，用8减2行吗？（其他学生回答“不行”。）

这时X老师意识到这样说下去，时间会不够用。她请学生对其余三种情况进行验算，让学生知道94才是正确的。

师：怎样才能算出正确结果94呢？谁来说一说？

生：个位上2减8不够，向百位借1，就是10个十，12－8=4；然后十位上9减0等于9；百位上2借走1个，还剩1，1－1=0，所以得数是94。

师：她说得很好！你们明白了吗？（大多数学生说“明白”，老师感觉他们并不明白。于是又拿出计数器，逐步讲解计算过程。）

    教师放下计数器，边说边完成竖式。

师：刚才十位退1到个位，和2合成12,12－8等于几？（4）十位上还剩多少？（指计数器，学生回答9）9减0等于9，百位退走1个，1减1得0。所以得数是（94）。请算错的同学订正。

学生将原来错误的竖式得数擦去，直接写上正确结果“94”。教师问大家是否会了，学生都说会了，于是开始练习。从反馈结果来看，大部分学生仍不会计算。以403－146为例，全班28人中计算错误的有16人，错误得数有263、167、267、297、347等情况。

二

上面两个案例具有一定的代表性。绝大多数教师认为，学生刚学完退位减的两个例题，隔位退位减虽然难一些，但与前面例题的联系仍是相当紧密的，因此是可以“同化”的。在教法选择上，可以让学生以探究学习为主。X老师教学设计的出发点也正是如此。从中我们发现，教师对教学内容的分析主要思考的依据仍是以知识间的逻辑关系为主，并没有从“最近发展区”的角度去分析教学内容与学生已有认知结构的认知“距离”。事实上，如果学习内容中包含太多的要求学生修正自己的认知结构以后才能获得的知识，那么学生必然会出现两种状态：或者被问题弄得不知所措，从而放弃对问题的解决；或者意识不到问题的存在，从而采用一种“自适应”的方式去解决问题（正如学生直接将百位的1退至个位当成10所理解的那样）。

因此，教师对教学难点的分析就不能囿于对知识的分析，还应重点关注基于学生认知过程中的“不恰当建构”。奥苏伯尔的观点是“影响学习的唯一最重要的因素是学习者已经知道了什么”。如何将奥苏伯尔的观点转化为具体的操作性行为呢？这就需要了解学生学情的教学技术——学情调查。

X老师课后很困惑，她感到课的发展与原来预设的轨道完全不同，以至于产生了“无法控制课堂发展”的感觉，所以一节预想“探究”的课演变为一节“单向接受”的课。产生这一现象的根源正是教师对学情缺少足够的了解。课后，我与X老师从另一个还未学习这一内容的班级中随机选了6个学生，他们的学习水平在班级处于中等。出示202－34的竖式后，问他们是否会算，他们都表示会计算，于是请他们不讨论，自己独立完成，出现的解决方法有：

202－34＝172。思路：个位2减4不够，向十位借1，但十位是0，就用4减2；十位0减3不够，向百位借1，结果是172。

202－34＝78。思路：个位2减4不够，向十位借1，但十位是0，就向百位借1到个位，12减4得8；十位0减3不够，向百位借1，结果是78。

202－34＝178。思路：个位2减4不够，向十位借1，12减4得8；前面20减3得17，结果是178。

不会计算，个位向十位借1，但十位是0，不知道该怎么算。

根据我们后续的学情调查，学生的解决方案有7种之多，上述的情况是较为常见的。解答正确的学生也有，但是总体看来数量较少。从学生口述的思路可以看出，不同的学生在解决该题时，都自觉地调动已有的知识基础和相应的解题经验进行了自我建构，尽管答案不正确，但是在他们自身看来都是合理的。这就说明该题的难度与学生现有的发展水平不匹配。在这种情况下，再盲目地要求学生进行探究学习来发现隔位退位减的计算方法就显得不合适了。只有当教学情境中问题的新奇性、差异性与学生现有的发展水平相适应时，才能出现主动学习。

从学生口述的思路中我们发现，尽管学生对退位减有相应的解题经验，但是对“隔位退位减”无法从已有认知结构中获得支撑。因此，这个学习内容对学生而言是全新的，是需要对原有认知结构进行变革的“顺应”，而不是教师原先设想的较为简单的“同化”，所以，教法应选择“有意义接受”。

W老师的教学设计中缺少学生的认知参与，在教学过程中对大部分学生的学习状态关注不够，以一问一答为主，少数学生理解了隔位退位减的算法，大多数学生仍处于一知半解的状态。我们认为除了上述原因之外，教具（计数器）的操作活动不到位，也是造成学生理解困难的重要原因。布鲁纳认为：在某些数学学习中，儿童会经历三个主要的阶段，即行为表征、形象表征和符号表征。也就是说，儿童的学习应从感知操作到形成表象，最后形成形式化的符号表征。

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W老师的教学设计中缺少学生的认知参与，在教学过程中对大部分学生的学习状态关注不够，以一问一答为主，少数学生理解了隔位退位减的算法，大多数学生仍处于一知半解的状态。我们认为除了上述原因之外，教具（计数器）的操作活动不到位，也是造成学生理解困难的重要原因。布鲁纳认为：在某些数学学习中，儿童会经历三个主要的阶段，即行为表征、形象表征和符号表征。也就是说，儿童的学习应从感知操作到形成表象，最后形成形式化的符号表征。

W老师在利用计数器演示202－108时，没有完整地演示计算过程，仅以百位向十位退1当10为主，并且这一过程是由教师完成的。而由学生完成这一过程会更有利于学生思考。其次，在行为操作后，越过表象操作，直接进入竖式计算（即符号操作阶段），学生的思维缺少足够的表象支撑。教材呈现了拨算珠图说明202－108的算理：

教师用书中也写道：教材“呈现了连续三幅用计数器计算的直观图，形象地说明隔位退位减的全过程”，“不仅有助于学生理解隔位退位减的操作过程，而且也直观地显示了算理，有利于学生在理解算理的基础上掌握算法”。

如何用好这幅图，这就需要将“静态插图”进行“动态演示”，结合教学过程，完整地将拨珠计算过程用图的方式呈现出来，并且学生能通过回忆拨珠过程口述图的画法。这个过程相当于在头脑中进行操作演算，构成了理解算理、掌握算法的有效基础。

对于202－34=178这一学生常见的错误，我们在W老师和X老师的班上通过观察与访谈发现，很多学生在计算隔位退位减法时，无法有效地记住十位上相减时，究竟是0还是9。也就是对“0上打点想作9”这个操作性知识还不能熟练掌握。有的学生做错后，我们刚指出“错了”，他们马上就说“哦，十位上应该是9减3”，并迅速地予以纠正。

那么，学生学习这一内容的困难真的像W老师认为的那样──“在课上既无法避免，也无法消除”吗？

三

通过了解学情与教学案例分析，我们得到以下启发：

因为教学内容已超出学生的“最近发展区”，若仍以探究学习进行试误，再进行例题讲解，可能教学时间无法保证完成教学任务，教学效益不高。因此，在教法选择上应以“有意义接受学习”为主。教师应设计好学习内容的序列，并让学生在思考问题的同时进行相应的操作活动。

利用布鲁纳的操作层次理论，合理地安排利用计数器进行完整计算的行为操作→动态完成计算过程示意图的表象操作→以前两层次为基础的竖式计算过程，即符号操作。引导学生以操作为基础，理解算理，掌握算法，从而学会正确计算隔位退位减法。

对于202－34=178这类错误，我们以为很多学生对于算理是理解的，出现错误的主要原因是短期记忆负担过重。若将计算的思维过程记录下来：（1）个位2减4，不够减，向十位借1；（2）十位是0，向百位借1；（3）百位退1，是10个十；（4）十位向个位退1，十位上还剩9个十；（5）个位的2与十位退的1个十组成12；（6）12减4等于8；（7）要回忆起十位上是9，十位上用9减3等于6；（9）百位上是1。

上述过程中，第四个过程对学生来说是一个记忆难点。前面所学习的退位情况，由于要退位的数位上的数是1～9，很容易想到退位后，该位的数必然比原数少1。而对于数位上是0且要退位的情况，需要理解退位后该位是9的道理并且牢记这一事实，这正是隔位退位减法的难点所在。另外，当学生完成第五、六个过程时，需要注意力高度集中，以完成12减8这一退位减法，当他们完成这一过程后计算十位的结果时，会出现记忆的分配失调而导致十位数据的遗忘。

解决这个难点的方法是借鉴信息加工理论中对短时记忆机制的研究。人们要习得外来信息，必须由感觉记忆进入短时记忆。短时记忆不但保持时间短暂，而且容量有限。除非我们不断复述或思考某些信息，否则它们会在20～30秒之内从短时记忆中消失。事实上，心理学关于短时记忆的研究结论正说明了二年级学生初学隔位退位减的困难所在。而短期记忆中的信息又是以“组块”为单元的，如果能将有联系的相关组块进行组合，就可以得到更大的组块，这个组合过程的关键是学生必须找到小组块之间的联系，使它们之间的组合富有意义。对于计算过程的难点所在──“0上打点想作9”，我们需要借助操作来达成理解，引导学生反复地复述这一事实，使之将操作过程压缩成记忆组块，降低短时记忆的负担。

原来，解决问题的核心在于通过操作理解“0上打点想作9”，让学生形成相应的记忆组块，可实现这个知识点由“过程”向“对象”的转化，亦即是数学教育心理学中的“凝聚”。为便于形成记忆模块，降低学习中的记忆负担，突出学习重点，我在实际教学时将教材中的一个例题改为两个例题，例1为202－8，其作用是形成“0上打点想作9”的记忆组块，例2为202－38，其作用是学习隔位退位减的一般方法。

四

我的教学片段实录──

1．行为操作，理解算理。

教师出示例题：202-8。让学生尝试计算后，提问：202-8究竟怎样算呢?我们一起来请计数器帮帮忙好吗?

202在计数器上怎么拨? 202-8，我们一起来看：个位上只有2颗珠，不够减8怎么办呢?

生：问十位借。

师：十位没珠呀?

生：再问百位借。

师：退一当几?

生：退一当十。

师：谁来拨给大家看看?

学生边说边拨珠：百位退去1颗珠，在十位上拨上10颗珠。

教师再在十位退去1颗珠，提问：这时个位应该有多少颗珠？（12）12减8得？（4）那十位上还剩多少颗珠？（9颗）你怎么知道的？（刚才有10颗珠，借给个位1颗，还有9颗。）

师：这个拨珠过程看清楚了吗？我们一起再来看一遍（师生共同完成拨珠过程。）

教师在拨珠过程中重点提问：个位2不够减8怎么办?十位没有珠怎么办?百位退1退到哪一位？退1当几?十位再向个位退1，还有几颗珠？

通过两次在计数器上的拨珠，学生初步理解了算理。

2．表象操作，巩固算理。

师：如果总是靠拨珠完成计算是不是很麻烦?我们可以把拨珠过程画下来。

教师与学生一起边说计算过程边画图（在第一幅图上逐步完成计算过程，最终得到第三幅图）：

这个过程中，教师重点提问：十位上还剩几颗珠？你是怎么知道的？

生：从百位退1到十位，十位有10颗珠；又借给个位1颗，还剩9颗珠。

画“计算过程图”的目的是引导学生在脑海中重温刚才的拨珠活动，使学生能够“在脑海中进行拨珠活动”，这是学生继续学习竖式时的“脚手架”，对“十位上剩下9颗珠”这一学习难点进行知识内化，也是下一个环节——对“0上打点想作9”进行思维“压缩”的基础。

3．符号操作，形成算法。

师：如果每次算减法都让你画个图，方便吗?我们可以利用竖式来计算。个位2减8够吗？（不够）怎么办？（向十位借1）十位上也没有珠呢？（向百位借1）

教师在百位打退位点，同时提问：百位退1到哪位？（十位）十位上有几颗珠？

教师在十位打退位点，同时提问：十位再向个位退1，这时十位还有几颗珠？为什么？也就是说，0上打点可以想作几？（0上打点想作9）教师再请一个学生回答，并提问“为什么”。

师：个位上现在是多少？（12）12减8得4。十位现在还有几颗珠？（9颗）你怎么知道得这么快？（学生再次回答刚才十位的拨珠过程）是啊，那0上打点想作几？

在这一环节，教师的提问紧紧围绕刚才的拨珠活动，使学生能够顺利地利用获得的活动经验进行思维。同时，反复地提问“0上打点想作几”，使学生在明确算理的基础上，对这一数学知识进行思维压缩。

4．形成记忆模块，提升计算技能。

教师依次逐题请学生计算：306-9，100-3，1002-3。

反馈时重点提问：0上打点想作几？选择306-9，请学生说一说为什么？

再逐题出示202-38、1004-238和4003-2124，让学生计算。以202—38为例，反馈时教师重点提问：十位0上打点想作几？十位这时只要计算几减几？

至此，学生已能将“0上打点想作9”这一“过程性知识”转化为“对象性知识”，完成了“内化—压缩—客体化”的过程，学生已经能较为熟练地正确计算隔位退位减法，并且能够在头脑中建立拨珠过程的表象，清晰地理解算理。

我利用这样的教学设计在南京市8所小学进行了教学，学生的计算正确率普遍都在95%以上，出现错误的学生也能够借助拨珠活动的经验进行纠错，并且在后续的练习中正确进行计算。