小学数学教学中极限思想的渗透点

与你同行

北京市东城区教师研修中心 高泽新

［摘要］极限是用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态的概念。极限的思想方法为建立微积分学提供了严格的理论基础，极限的思想方法为数学的发展提供了有力的思想武器。当今数学教学界，非常重视数学思想方法在教学中的渗透。然而实际教学中，部分教师对极限思想方法的理解及应用还存在着偏颇，本文将在小学数学教学中极限思想的渗透上提出自己的观点。 ［关键词］数学思想 极限思想 极限思想的渗透点 极限是用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态的概念[1]。极限的思想方法为建立微积分学提供了严格的理论基础，极限的思想方法为数学的发展提供了有力的思想武器。当今数学教学界，非常重视数学思想方法在教学中的渗透。然而在小学数学的实际教学中，部分教师对极限思想方法的理解及应用还存在着一定的忽视，本文对如将极限的思想方法应用于小学数学教学之中,提出自己的观点和同行们探讨与交流。 这是大家都非常熟知的一个故事：有一个牧民，临终前要把17匹马分给他的3个儿子。于是留下遗嘱：分给老大，分给老二，分给老三。牧民死后，三个儿子都不知道如何来分。一位邻居牵来自己的一匹马来帮忙分，这时就有18匹马了，所以老大得9匹，老二得6匹，老三得2匹，邻居牵着自己的那匹走了。 有人对上述分马的方法提出了异议，认为这实际上分的是18匹马，而不是17匹。那么我们不妨换一种办法来分: 共17匹马。老大可以分得：17×=匹；老二可以分得：17×=匹；老三分得17×=匹。还剩下17－－－=匹。 我们就把剩下匹马按遗嘱继续分。老大又可以分得： 匹；老二又可以分得：匹；老三又分得匹。还剩下匹。就这样我们可以继续不断地分下去…… 现在让我们来看一看老大分得的马匹数： 第一次得，第二次得，第三次得，……，第ｎ次得……这是一个无穷递缩等比数列，这个数列所有项的和是S=+++…++…==9，即老大分得9匹。 利用这种办法我们也可以求出：老二可以分得6匹，老三可以分得2匹。而9+6+2=17，恰好分完。这样既满足了牧民的心愿，又符合规则，问题得到圆满解决。 “借马分马”的故事虽然简单，但第二种分马的方法其中所蕴含的极限思想却极其珍贵。如果你只认识到“只分一次”是不够的，这种办法的核心是要将分遗产的过程无限的进行下去，每分一次剩下的马匹数都缩小到上一次的，最后每个人分得的马匹数就逼近于一个整数了，这实际就是极限的思想的一个具体应用。 由于小学生的年龄特点的限制，他们对具体的、数量有限的事物容易理解，对抽象的、数量无限的事物难于把握。但作为教师我们不能无视极限思想方法的重要性，还应该着眼于学生的长远发展及终身发展，因此，我们在小学数学教学中应针对小学生的特点，将极限有思想方法进行适度的渗透。我想教师应该抓住机会采用分层渗透的办法，切不可急功近利。 层次一：帮助学生理解无限。 1．数量无限多。 现行小学教材中有许多知识点会涉及到数量无限多的情况。 在“自然数”、“奇数”、“偶数”、这些概念教学时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个。在循环小数这一部分内容中，1 ÷ 3 = 0.333…是一循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的。通过这些方面让学生初步体会“无限”思想，这样的例子在小学数学教学中还有很多。比如 商不变性质教学后的练习：（32÷□）÷（8÷□）＝4让学生体会□内可填入无限多数，再如：在学习分数基本性质后的练习中，教师又要求学生在1分钟内写一些与某个分数相等的分数，让学生体会这样的分数也是无穷无尽的。 2．图形无限延伸。 小学几何概念中有许多概念是具有无限性的，如直线 、射线、角的边、平行线的长度等等它们都是可以无限延伸的。这些概念在现实生活中并不是真实存在的（现实生活中你找不要一条能无限延伸的线），它们只是存在于人脑的想象之中，是人脑抽象的结果。而这种想象又是进一步学习数学的必不可少的基础能力。因此，在图形教学中培养学生空间想象力，培养学生的无限观念是非常重要的。 以上两点是从不同方面体现了“无限”的观念，并不是真正意义上的“极限”，然而，培养学生的无限观念是形成极限思想的基础，离开无限谈极限是没有任何意义的。所以，不应该因为“无限≠极限”而忽视对无限性的教学。 层次二：帮助学生理解逼近。 “无限≠极限”的原因在于无限的结果可能是收敛的，也可能是发散的。由于小学生的生活经验、数学知识还比较贫乏，他们只能通过一些具体的事例，逐渐感悟到什么是“无限地逼近”，为将来学习“收敛”这个数学中概念积累一些感性的认识。因此，逐步理解“逼近”是形成极限思想的另一个重要方面。 受年龄特征的制约小学生对极限思想不会有深刻的理解，但这并不等于我们在小学数学教学中可以淡化对极限思想的渗透，相反我们应该抓住一切可以利用的契机加以渗透，为他们将来学习极限理论，提高抽象思维，奠定基础。笔者认为小学数学教学中可以在以下几方面加强对极限思想加以渗透（渗透点）。 在公式推倒过程中渗透极限思想。 【案例】“圆的面积”。 在教学“圆面积公式的推导”一课时，有的教师是这样设计的。 师：我们过了一些图形的面积计算公式，今天我们来研究圆的面积公式。你们有什么办法吗？ 生：可以把圆转化为我们学过的图形。 师：怎么转化？ 生：分一分。 演示把圆平均分成了2分，把两个半圆地拚起来，结果还是一个圆。 生：多分几份试一试。 演示把一个圆分割为完全相同的小扇形，并试图拚成正方形。从平均分成4个、8个、到16个…… 师：你们有什么发现？ 生：分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形。 课件继续演示把圆平均分成32个、64个……完全相同的小扇形。教师适时说“如果一直这样分下去，拼出的结果会怎样？ 生：拼成的图形就真的变成了长方形，因为边越来越直了。 这个过程中从“分的份数越来越多”到“这样一直分下去”的过程就是“无限”的过程，“图形就真的变成了长方形”就是收敛的结果。学生经历了从无限到极限的过程，感悟了极限思想的具大价值。 学生有了这个基础，到将来学习圆柱体积公式的推导时就会很自然地联想到这种办法，从而再一次加以利用解决问题，在不断的应用中学生的极限思想会潜移默化地形成。 以上计算公式的推导过程，采用了“变曲为直”、“化圆为方”极限分割思路。在通过有限想象无限，根据图形分割拼合的变化趋势，想象它们的最终结果。既使学生掌握了计算公式，又萌发了无限逼近的极限思想。 二、在形成新概念时渗透极限思想 【案例】“循环小数”。 循环小数一课是一节概念性很强的新课，多数教师在教学中非常重视学生的自主探究过程，重视对循环小数的相关概念的教学，但也大都忽视了一个问题，即极限思想的渗透。 我们可以在课上创设以下一个问题供学生讨论：0.999……和1哪个大？ 这个问题可以通过以下的方法加以解决： 设0.999……＝ 10＝9.999…… 10＝＋9 9＝9   ＝1 所以0.999……＝1 但这种方法对于还没有学习方程知识的小学生来说有点难于理解。怎么办呢？可以这样帮助学生理解： 1-0.9=0.1，1-0.99=0.01，1-0.999=0.001，1-0.9999=0.0001，……1-0.999……=？ 这时可以引导学生观察：随着小数部分9的个数的不断增多，与1的差在逐渐的减少，而在0.999……中的小部分有无穷多个9，那么最终的差会是多少呢？这样使学生认识到差会越来越小，最终成为0。从而使学生认识到0.999……=1。 事实证明这种办法学生是可以理解和接受的，这种办法的核心就是极限思想的体现。学生对这种办法的理解过程正是对极限思想的感知过程。 学生对于新鲜事物是最感兴趣的，如果我们能在新知识的教学中适时渗透极限思想，既可以增强学生的学习兴趣又有利于学生对极限思想的认识，何乐而不为呢？ 三、在数学练习中挖掘极限思想 一些老师的练习设计往往是侧重于对基础知识的巩固，通过练习培养学生的基本技能，针对培养学生数学思想方法的练习题相对较少。然而，学生的数学思想的形成是靠不断的积累、不断的运用来形成的，能够自主运用思想解决问题是学生数学素养的具体体现，它应该贯穿于数学学习的始终。练习作为学生数学学习的重要环节，也应该承担这方面的任务。因此，教师在练习题的设计时要注意极限思想的体现。 还记得在大学数学教材中有这样一段话“《庄子·天下篇》引用过一句话：‘一尺之棰，日取其半，万世不竭。’”[2]，于是在五年级学生学习了分数这一单元后，我把它改造成以下的一个题目： 《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。如果我们按照上述方法操作，第1天截去后剩下部分的长度占原长的，第2天截去后剩下的占全长的，第3天截去后剩下的占全长的，……，第10天截去后剩下的占全长的，……，第n天截去后剩下的占全长的，……如果我们这样不断地截下去，木棒所剩部分的长度是（ ）。 这道题的过程性比较强，学生做过此题后可以根据答案所呈现出的规律性，感悟出木棒所剩部分的长度会趋向于0。在解题的过程中可以体会到初步的极限思想，而且可以受到一定的传统文化的熏陶，事实证明学生还是非常感兴趣的。 又如在学习分数加法后我们可以设计练习：。 学生多数是利用通分的方法统一分母后，按分数加法的法则进行计算的。但如果此题只使用到这个程度还是远远不够的。 方法二：我们发现在这个算式中，任意相邻的两个分数，后一个分数总是前一个分数的一半。 如果设S=，那么2S=,我们用2S－S得： S=（）－（）=1－=，问题得以解决。这个办法的核心是相互抵消的思想，且具有浓烈的代数的味道，对于从算术到代数的过渡也很有意义。 方法三：先画一个大正方形，它的面积是1，如图所示， 从图中可以直观地看出：。 在此基础上可以把问题进一步变化为： ？ 可以用数形结合的方法，从图中直观地看出随着加数的不断增加，空白部分的面积逐渐扩大，并且越来越接近正方形的面积即不断地逼近1，当有无限多项相加时其结果为1。 通过多种办法解决这个题目的动态过程中学生在收获知识的同时，极限思想、数形结合的思想、相互抵消的策略等数学思想又为学生解题方法的创新提供了可能，培养了思维的灵活性。总之，练习的设计不能仅仅着眼于一个问题的解决，而是关注学生在解决这个问题中自主领悟到的数学知识及思想方法，更关注在解决问题中数学素养的形成。 四、在数学知识的复习中挖掘极限思想 复习课就是把平时相对独立地进行教学的知识,，特别是其中带有规律性的知识，以再现、整理、归纳等办法串起来，进而加深学生对知识的理解、沟通，并使之条理化、系统化。[3]笔者听过一些六年级“平面图形的整理与复习”的课，这些课的目的在于能对学生所学过的长方形、正方形、三角形、梯形、平行四边形、圆的面积公式做出整理。 从实际的教学情况看，参与这一教学活动的学生应当说都已较好地掌握了相关的知识，从而大多能梳理出如下的逻辑线索： 但在这些课中普遍存在的问题是：学生的活动主要是一种回忆的工作，是相关公式的推导过程的再现，即使注意到了这些公式间的联系，而这种联系在此也主要表现为线性的、单向的逻辑关系。然而，从教学的角度看，我们除了要重视知识的逻辑结构还要重视学生的认知结构，而认知结构与上述逻辑结构所具有的线性和单向性不同，认知结构不仅具有双向性，还主要地表现在一种网状的结构。教学工作的主要目标并非是使学生建立起关于相应逻辑结构的牢固记忆，而是应当帮助学生形成适当的认识结构。[4]因此，对于上述复习课而言笔者以为，除去以长方形为核心这一“标准”做法以外，我们也完全可以以梯形的面积公式为核心，将其他各个图形联系起来。实现两种方法的“互补”帮助学生建立更为丰富和合理的认识结构。 而以梯形为核心进行梳理的主要手段可以借助极限的思想将公式进行联络。利用极限思想得到三角形的面积计算公式，方法是让梯形的上底趋于0，梯形即趋于三角形，梯形的面积计算公式当上底趋于0时的极限就是三角形的面积计算公式 。我们甚至可以把长方形、正方形、平行四边形面积计算公式都看成是梯形面积计算公式的极限形式。 于是可以构建出下面的知识网络系统。 翻开数学的史话我们发现，无论是在最初的算术、代数还是初等几何中，常量数学都是描述确定、静态现实的有利工具。而无限问题的数学思维、数学表述，是由变量数学的发展来实现的。常量数学向变量数学的发展，无限概念的数学表述，这一切对数学、自然科学以至对人类社会的进步有着重大的意义。[5]这种由常量向变量、由有限观念到无限观念的转变中无不体现着极限的数学思想，极限的思想方法是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法，它是事物转化的重要环节，这种思想也必将能为我们的小学数学教育发挥重要的作用。因此，教师们要在平日教学中积极挖掘体现极限思想的知识点，将极限思想很好地渗透于小学数学教学之中。 参考文献： [1]曹才翰、章建跃，数学教育心理学，北京师范大学出版社，2006年， 191。 [2]华东师大数学系，数学分析，高等教育出版社，1980年，31。 [3]邹煊享，小学数学教学建模，广西教育出版社，2003年，177。 [4]郑毓信，国际视角下的小学数学教育，人民教育出版社，2004年，245。 [5]王宪昌，数学思维方法，人民教育出版社，2004年，73。 作者简介： 高泽新，男，生于1967年，于1987年参加工作，从事小学数学教学工作16年，担任教研员工作4年。有着较为扎实的教学基本功和教育、教学研究及指导能力。现为北京市东城区教师研修中心小学数学五年级教研员、东城区区级骨干教师、中国数学奥林匹克一级教练员。曾荣获第九届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛优秀教练员奖。多次指导我区教师在全国、市区级小学数学课堂教学比赛中获奖。多篇论文获全国、市区论文评选一等奖。