初中数学思考题：用与正方形有关的一个结论解题

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用与正方形有关的一个结论解题
湖北省黄石市下陆中学　宋毓彬　湖北省黄石市二十一中　皮学军


在以任意三角形两边向外作正方形时,可以得到如下一个有用的结论：以三角形任意两边为边长向外作正方形，则有公共端点的两个相邻的正方形边长所围成的三角形面积与原三角形面积相等。

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一、结论的证明

如图1，以△ABC的两边AB、AC为边长分别向外作正方形ABDE、ACFG，连接GE。


求证：S△AEG=S△ABC。
证明：⑴当∠BAC＝90°时，显然△EAG≌△BAC，∴S△AEG=S△ABC。
⑵当∠BAC＜90°时，过C作CM⊥AB于M，过G作GN⊥AE的延长线于N。
∵∠GAN+∠NAC=∠GAC=90°，∠MAC+∠NAC=∠MAN=90°
∴∠GAN=∠MAC，又AC=AG，∠AMC=∠ANG=90°
∴△AMC≌△ANG，∴GN=CM
又S△AEG=AE·GN，S△ABC=AB·CM     ∴S△AEG= S△ABC
⑶当∠BAC＞90°时，如图中辅助线，仿照⑵，同理可证。
综合以上结论可知，命题成立。
二、结论的应用
例1　如图2，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7平方厘米和11平方厘米。则△CDE的面积为。
                                                      
解：由ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7平方厘米和11平方厘米，则AD=（厘米），DG=（厘米）
在直角三角形ADG中，由勾股定理，可求得AG=2
∴S△ADG= AD·AG=
由上面的结论可知：S△CDE= S△ADG=
例2　如图3，图甲中，正方形ABDE，CDFI，EFGH的面积分别为17、10、13，图乙中DPQR为矩形。对照图乙，计算图甲中六边形ABCIGH的面积。
解：由图甲，可求得：ED=，EF=，DF=

由图乙，根据勾股定理可求得：ED=，EF=，DF=

图乙中，S△DEF=S矩形―S△DPE－S△EQF－S△DRF
                 =4×3－×4×1－×2×3－×3×1=5.5
　　　　
根据上面的结论：S△DEF=S△AEH= S△FGI=S△BDC=5.5
六边形ABCIGH的面积为：17+13+10+4×5.5=52

三、小试身手


园林小路，曲径通幽。如图4所示，小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石铺成。已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地平方米。
（参考答案：a+2b）
                                                  


作者简介：宋毓彬，男，45岁，中学数学高级教师。在《中学数学教学参考》、《中学生数学》、《数理天地》、《语数外学习》、《数理化学习》、《数理化解题研究》、《中学课程辅导》、《数学周报》、《数学辅导报》、《数理报》、《中学生学习报》、《小博士报》、《少年智力开发报数学专页》等报刊发表教学辅导类文章80多篇。主要致力于初中数学中考及解题方法、技巧等教学方面的研究。