青岛版八年级上册数学5.2 为什么要证明同步练习题有答案

桂馥兰香

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桂馥兰香

5.2 为什么要证明
1．下列推理正确的是    (    )
A．小明今年10岁，哥哥比小明大6岁，到了明年，哥哥只比小明大5岁，因为小明明年比今年长了1岁
B．线段a与b相等，原因是它们看起来差不多
C.若a>b，b>c，则a>c
D．因为对顶角相等，所以相等的角也必是对顶角
2．下列结论你能肯定的是    (    )
A．5个数的积为负数，则这5个数中必只有一个负数
B．三个连续整数的积一定能被6整除
C．小明的数学成绩一向很好，因此后天的数学竞赛中他一定能获得一等奖
D．对顶角相等，两直线垂直
3．如图6—7所示的是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当每边上摆20(即n＝20)根时，需要火柴棍的总数为                根．

4．观察下列等式9-1＝8，16-4＝12，25-9＝16，36-16＝20，…，这些等式反映自然数间的某种规律，设n(n≥1)表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为                ．
5．如图6—8所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝BD，点F在AD上，连接BF并延长，交AC于点E．如果DF＝DC，那么BF与AC有何位置关系和数量关系?你能肯定吗?




6．请你观察下列等式，再回答问题．

;

(1)根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证；
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n(n为正整数)表示的等式，并加以验证．







7．如图6-9(1)所示，AB，CD是两条线段，M是AB的中点，连接AD，MD，BC，BD， MC，AC，S△DMC，
S△DAC和S△DBC分别表示△DMC，△DAC，△DBC的面积，当AB∥CD时，有S△DMC＝.

(1)如图6-9(2)所示，当图6-9(1)中AB与CD不平行时，S△DMC=是否仍然成立?请说明理由；
(2)如图6-9(3)所示，当图6-9(1)中AB与CD相交于点O时，S△DMC与S△DAC，S△DBC有什么样的数量关系?试说明你的结论．




参考答案
1．C  2．B  3．630[提示：设Si为有i个三角形，当n＝1时，有一个三角形，S1=1，火柴棍总数为1×3＝3；当n＝2时，S2＝3，火柴棍总数为3×3＝9；当n＝3时，S3=6，火柴棍总数为3×6=18；当n＝4时，S4＝10，火柴棍总数为3×10＝30．发现：3＝l+2，6＝l+2+3，10＝1+2+3+4，…，那么当n＝20时，三角形的总数为1+2+3+…+19+20＝210，火柴棍的总数为3×210＝630根．]  
4．(n+2)2-n2＝4(n+1)
5．解：BF⊥AC,且BF＝AC理由：在△BFD和△ADC中，DF＝DC,∠ADB＝∠ADC＝90°, AD＝BD，∴△BFD≌△ACD，∴BF＝AC,∠BFD＝∠C.又∵∠CBE+∠BFD＝90°，∴∠CBE+∠C=90°，∴BE⊥AC,即BF⊥AC.   
6.解：（1），验证略. （2）.验证如下：
7．解：(1)当AB与CD不平行时，S△DMC=仍成立．分别过点A，M，B作CD的垂线AE，MN，BF，垂足分别为E，N，F.∵M为AB的中点，∴MN＝(AE+BF)，∴S△DAC+S△DBC=DC·AE+DC·BF＝DC·(AE+BF)= DC·2MN=DC·MN=2S△DMC.∴S△DMC= (2)S△DMC=.理由：∵M是AB的中点，∴S△ADM＝S△BDM，S△ACM=S△BCM,而S△DBC=S△BDM+S△BCM+S△DMC,①  S△DAC=S△ADM+S△ACM-S△DMC,②∴①-②得S△DBC-S△DAC=2S△DMC,故S△DMC=.

桂馥兰香

5.2 为什么要证明
一、选择题（每题6分，共30分）
1、下列结论，你能肯定的是（      ）
A．今天天晴，明天必然还是晴天.
B．三个连续整数的积一定能被6整除.
C．小明的数学成绩一向很好，因而后天的竞赛考试中他必然能获得一等奖.
D．两张照片看起来完全一样，可以知道这两张必然是同一张底片冲洗出来的
2、骑自行车的速度是每小时15千米，骑摩托车的速度每小时40千米，则下列结论中你能肯定的是（      ）
A．从A地到B地，骑摩托车的人比骑自行车的人一定先到达
B．从A地到B地，骑自行车的人比骑摩托车的人后到达
C．从A地到B地，骑自行车和骑摩托车的不可能同时到达
D．从A地到B地，骑自行车的人有可能比骑摩托车的人先到达
3、下列推理正确的是（      ）
A．弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大5岁了，因为弟弟的明年比今年长大了1岁
B．如果a＞b，b＞c，则a＞c
C．∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小也差不多
D．因为对顶角必然相等，所以相等角也必是对顶角
4、下列说法正确的是（      ）
A．经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否
B．推理是科学家的事，与我们没有多大的关系
C．对于自然数n，n2+n+37一定是质数
D．有10个苹果，将它放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个
5、如图，∠1＝60º，∠2＝60º，∠3＝57º，则∠4＝57º，下面是A，B，C，D四个同学的推理过程，你认为推理正确的是（　　　）
　
A．因为∠1＝60º＝∠2，所以a∥b，所以∠4＝∠3＝57º
  B．因为∠4＝57º＝∠3，所以a∥b，故∠1＝∠2＝60º
C．因为∠2＝∠5，又∠1＝60º，∠2＝60º，故∠1＝∠5＝60º，所以a∥b，所以∠4＝∠3＝57º
  D．因为∠1＝60º，∠2＝60º，∠3＝57º，所以∠1＝∠3＝∠2－∠4＝60º－57º＝3º，故∠4＝57º
二、解答题（每题10分，共70分）
6、如图A、B、C、D、E、F六个人坐在圆桌的周围，已知E与C间间隔1人且此人在C的左边，D坐在A的对面，B与F相隔1人，且此人在F的左边，F与A不相邻。试问A、B、C、D、E、F各坐在什么位置？

7、你写出两个判断，让其他同学判断一下是否正确.并且试着说明理由.




8、顺次连接等腰梯形四边中点，得到一个四边形。度量四边形的四条边，你能有什么结论？再换一个等腰梯形还有同样的结论吗？你能肯定这个结论对所有的等腰梯形都成立吗？



9、小洁、琳琳、晓彤、奇奇和聪聪5位同学身体都不怎么舒服，他们分别在医院的牙科、眼科、皮肤科、外科、耳鼻喉科就诊。请根据他们的对话猜一猜，他们分别去了哪一科看病？
小洁、琳琳、晓彤说：我们是在牙科、眼科和皮肤科各自接受治疗的。
奇奇说：我没有去耳鼻喉科和皮肤科。
晓彤说：我最近夜里牙老疼。
小洁说：我的皮肤好得很，我没有必要去皮肤科。



10、在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，连接AD，试问AD与BC有怎样的位置关系？请说明理由.



11、平行四边形ABCD中，E，F分别为BC，AD中点，连接AE，CF，试问四边形AECF是什么四边形？你能肯定吗？请说明理由.



12、观察下列各式，：×2=+2；×3=+3；×4=+4；×5=+5；……
  想一想：什么样的两个数之积等于这两个数的和？设n表示正整数，用关于n的代数式表示这个规律为：    ×     =      +      .你能说明吗？




四、拓展探究（不计入总分）
13、如图，在平行四边形中，DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，试问DF与BE的位置关系和数量关系如何？你能肯定吗？请说明理由.
   

参考答案
1、B   2、D  3、B   4、D   5、C  
6、从F点按照顺时针的顺序依次是F、D、B、C、A、E
7、略
8、得到的四边形的四条边都相等；换一个等腰梯形仍有相同的结论；不能
9、晓彤去了牙科，琳琳去了皮肤科，小洁去了眼科，聪聪去了耳鼻喉科，奇奇去了外科。10、AD⊥BC，由题意知，在△ABD与△ACD中，AB=AC，BD=CD（中点定义），AD=AD，
故△ABD≌△ACD，因此有∠ADB=∠ADC，又∠ADB+∠ADC=180º（平角定义），
故∠ADB=∠ADC=90º，即AD⊥BC.
11、四边形AECF是平行四边形，
理由：因为E，F分别为BC，AD中点，故EC=BC，AF=AD，
又因为平行四边形ABCD，故BC∥AD，因而有AF∥EC，且AF=EC，
从而四边形AECF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
12、＝，
理由：＝+＝＝＝
13、DF∥BE，DF=BE，理由：由DF⊥AC，BE⊥AC，可知∠DFC=∠BEA=90º，故DF∥BE，又平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，由AB∥CD得∠DCF=∠BAE，因而在△DCF和△BAE中，DC=BA，∠DCF=∠BAE，∠CFD=∠AEB=90º。所以△DCF≌△BAE，所以DF=BE.

桂馥兰香

5.2 为什么要证明
一、选择题
1．下列说法不正确的是（  ）
A．若∠1=∠2，则∠1与∠2是对顶角   
B．若∠1与∠2是对顶角，则∠1=∠2
C．若直线a∥b，a⊥c，则b⊥c   
D．若∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，则∠1=∠2
2．下列说法正确的是（  ）
A．一个锐角的余角一定比这个锐角小   
B．一个锐角的余角一定比这个锐角大
C．一个锐角的补角一定比这个锐角大   
D．一个钝角的补角一定比这个钝角大
3．下列说法不正确的是（  ）
A．有一个角是直角的菱形是正方形   
B．两条对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形   
D．四条边都相等的四边形是正方形
4．下列推理正确的是（  ）
    A．如果a>b，b>c，则a>c
    B．若a>b，则ac>bc
    C．因为∠AOB=∠BOC，所以两角是对顶角
    D．因为两角的和是180°，所以两角互为邻补角
5．下列结论你能肯定的是（  ）
A．今天下雨，明天必然还下雨   
B．三个连续整数的积一定能被6整除
C．小明在数学竞赛中一定能获奖  
D．两张相片看起来很像，则肯定照的是同一个人
二、填空题
6．要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验，观察或实验是不够的，必须_______．
7．如图所示，比较线段a与b的长度_______．
8．对于同一平面内的三条互不重合的直线a，b，c，如果a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系为______．
9．在△ABC中，∠B=25°，AD是BC边上的高，并且AD2=BDDC，则∠BCA的度数为______．
三、解答题
10．设x+2z=3y，试判断x2-9y2+4z2+4xz的值是不是定值，如果是定值，求出它的值．






11．如果│a│=2，│b│=1，那么│a+b│=3吗？为什么？




12．周长为7且边长为整数的三角形共有几个？







参考答案
一、1．A  点拨：可根据学过的平行线与对顶角的性质判定．
2．C  点拨：一个锐角的补角一定是钝角，因此锐角的补角肯定大于这个锐角．
3．D  点拨：根据正方形的判定方法，可知选项A，B，C都是正确的，选项D中四条边都相等的四边形只能保证是菱形，不能保证一定是正方形，所以说法不正确，所以选择D．
4．A  点拨：B选项中若c≤0就不对了，C，D两选项只说明了数量关系，没有说明位置关系．
5．B
二、6．每一步都要有根有据地进行推理．
7．相等  点拨：要实际测量才能判定，不要被表面现象迷惑．
8．平行
9．65°  点拨：由AD2=BD·CD可推得Rt△ACD∽Rt△BAD．
三、10．解：因为x2-9y2+4z2+4xz=x2+4xz+4z2-9y2=（x+2z）2-9y2=（x+2z+3y）（x+2z-3y）．
    又因为x+2z=3y，所以x+2z-3y=0，所以原式=0．
    即当x+2z=3y时，x2-9y2+4z2+4xz的值是定值．
11．解：因为│a│=2，│b│=1，所以a=±2，b=±1．
    当a=2，b=1时，│a+b│=3；当a=-2，b=1时，│a+b│=1；
当a=2，b=-1时，│a+b│=1；当a=-2，b=-1时，│a+b│=3．
所以当│a│=2，│b│=1时，│a+b│的值不一定等于3，
因为│a+b│的值还可能为1．
12．解：周长为7且边数为整数的三角形有2个，它们的边长分别为1，3，3和2，2，3．

桂馥兰香

5.2 为什么要证明
点击要点
    要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一步，有根有据地进行_________．
学习策略
解答本节习题注意体会检验数学结论的常用方法；实验验证、举反例、推理等，培养推理意识．
一、训练平台（每小题12分，共36分）
1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F，M，N分别为AD，AB，BC，CD的中点，连接EF，FM，MN，EN，你能肯定四边形EFMN是平行四边形吗？为什么？若将梯形ABCD改变成等腰梯形，其他条件不变，你又会得到EFMN是什么四边形呢？为什么？



2．用火柴棒按如图所示的方式拼图形．
    （1）你知道第6个图形需要多少根火柴棒吗？
    （2）第n个图形需要多少根火柴棒呢？
（3）你能肯定（2）中猜想是正确的吗？请验证一下当n=4时的情形．

3．在手工制作课上，小明和小华各自用铁丝制作楼梯模型，如图所示，他们制作模型所用的铁丝是一样长吗？请通过计算说明．


二、提高训练（每小题12分，共36分）
1．如图所示，若已知C，D是线段AB上两点，且AC=DB，E是AB中点，那么点E的位置有什么特点？你能说明原因吗？




2．如图所示，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？若已知纸条宽为1，又量得∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积是多少？若∠ABC=90°呢？若∠ABC=120°呢？由此你得到关于四边形ABCD的面积的什么结论？

3．如图所示，△DEF是将△ABC沿BC边平移而得到的，且DE经过AC边的中点O，问O一定是DE边的中点吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．


三、探索发现（共14分）
易知：等腰三角形三边分别为4，4，5；5，5，6；6，6，7时，其周长分别为4+4+5=13，5+5+6=16，6+6+7=19，那么，等腰三角形的两条边分别为3和8时，其周长一定是14，这一结论对吗？





四、拓展创新（共14分）
    问题：你能很快算出1995吗？
    为了解决这个问题，我们考察个位上的数为5时自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数都可写成：10n+5，即求（10n+5）的值（n为自然数）．请你试分别n=1，n=2，n=3…这些简单情况，从中探索其规律，并归纳，猜想得出结论．
    （1）通过计算，探索规律：
    152=225，可写成100×1（1+1）+25；
    252=625，可写成100×2（2+1）+25；
    352=1225，可写成100×3（3+1）+25；
    452=2025，可写成100×4（4+1）+25；
    752=5625，可写成____________；
    852=7225，可写成____________；
    （2）从第（1）题结果归纳，猜想得：（10n+5）2=________；
    （3）根据上面的归纳，猜想，请计算19952=________．
中考演练
    如图所示，在等边三角形△ABC中，D，E分别在边BC，AC上，DC=AE，AD，BE交于点F，请你量一量∠BFD的度数，并证明你的结论．


参考答案
本课导学:推理
随堂测评
一、1．四边形EFMN是平行四边形，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，或一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（这里用到三角形中位线定理）．
证明：∵E，F，M，N分别是各边中点，
∴ENAC，FM AC，∴ENFM．
∴四边形EFMN是平行四边形．
当梯形为等腰梯形时，四边形EFMN是菱形．
因为有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
2．（1）32根  （2）7+5（n-1）  （3）当n=4时，共有7+5（4-1）=22．
3．一样长，说明略．
二、1．解：点E也是线段CD的中点，原因如下：
∵E是线段AB中点，∴AE=BE，
又AE-AC=BE-DB，∴CE=DE，即E是CD的中点．
2．解：是菱形，因为四边形ABCD四边相等且对边平行．
    当∠ABC=60°时，AB=，∴S=．
    当∠ABC=90°，AB=1，∴S=1．
    当∠ABC=120°，AB=，∴S=．
    当两张纸条垂直放置时，四边形ABCD的面积最小．
3．提示：是，可证△AOD≌△COE，∴DO=OE．
三、解：不对，因为3+3<8，所以另一边不能为3，只能为8，此时周长为3+8+8=19．
四、（1）100×7（7+1）+25   100×8（8+1）+25
   （2）100×n（n+1）+25   （3）100×199（199+1）+25=3980025
※∠BFD=60°
证明：在等边三角形ABC中，AB=AC，∠BAE=∠C=60°，AE=CD，
∴△ABE≌△CDA．∴∠AEB=∠ADC，
又∠DAC+∠ADC=120°，
∴∠AEB+∠DAC=120°，∴∠AFE=∠BFD=60°．