小升初数学必考难点详解，附例题及解析，替孩子收藏！

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钟表问题

钟表行程问题是研究钟表上的时针和分针关系的问题，常见的有两种：



⑴研究时针、分针成一定角度的问题，包括重合、成一条直线、成直角或成一定角度；



⑵研究有关时间误差的问题。

在钟面上每针都沿顺时针方向转动，但因速度不同总是分针追赶时针，或是分针超越时针的局面，因此常见的钟面问题往往转化为追及问题来解



例题　

例题1：

4时与5时之间，什么时刻时钟的分针和时针反向成一条直线？



解答：我们从4时开始让时针和分针追及，分针和时针成一直线，分针比时针多走50格，每分钟多走1-1/12=11/12格，则50÷11/12=54又6/11分



答：4点54又6/11分时钟的分针和时针成一直线。



例题2：

当钟表上4时10分时，时针与分针的夹角是多少度？



解答：分针每分钟走360÷60=6度，时针每分钟走30度÷60=0.5度，4点整分针与时针相差120度，从4点开始追及，10分钟后分针比时针多走（6-0.5）×10＝55度。

120度-55度=65度。



答：当钟表上4时10分时，时针与分针的夹角是65度。




扶梯问题
与流水行船不同的是，自动扶梯上的行走速度有两种度量，一种是“单位时间运动了多少米”，一种是“单位时间走了多少级台阶”，这两种速度看似形同，实则不等。



拿流水行船问题作比较，“单位时间运动了多少米”对应的是流水行程问题中的“船只顺(逆)水速度”，而“单位时间走了多少级台阶”对应的是“船只静水速度”，一般奥数题目涉及自动扶梯的问题中更多的只出现后一种速度，即“单位时间走了多少级台阶”。



所以处理数量关系的时候要非常小心，理清了各种数量关系，自动扶梯上的行程问题会变得非常简单。



例题

例题1：小偷与警察相隔30秒先后逆向跑上一自动扶梯，小偷每秒可跨越3级阶梯，警察每秒可跨越4级阶梯。已知该自动扶梯共有150级阶梯，每秒运行1.5级阶梯，问警察能否在自动扶梯上抓住小偷？答：_____。



分析：全部以地板为参照物，那么小偷速度为每秒1.5级阶梯，警察速度为每秒2.5级阶梯。警察跑上电梯时相距小偷1.5×30＝45级阶梯，警察追上小偷需要45秒，在这45秒内，小偷可以跑上1.5×45＝67.5级阶梯，那么追上小偷后，小偷在第112～第113级阶梯之间，没有超过150，所以警察能在自动扶梯上抓住小偷。



例题2：在商场里甲开始乘自动扶梯从一楼到二楼，并在上向上走，同时乙站在速度相等的并排扶梯从二层到一层。当甲乙处于同一高度时，甲反身向下走，结果他一共走了60级，如果他一直走到顶端再反身向下走，则一共要走80级，那么，自动扶梯不动时从下到上要走多少级？



分析：向上走速度为甲和自动扶梯的速度和，向下走速度为甲和自动扶梯的速度差。



当甲乙处于同一高度时，甲反身向下走，结果他一共走了60级，如果他一直走到顶端再反身向下走，则一共要走80级，60÷80=3/4，这说明甲乙处于同一高度时，甲的高度是两层总高度的3/4。



则甲和自动扶梯的速度和与自动扶梯的速度之比是3/4：(1-3/4)=3：1，即甲的速度与自动扶梯速度之比2：1，甲和自动扶梯的速度差与自动扶梯的速度相等。向下走速度向上走速度的1/3，所用时间为向上走的3倍，则甲向下走的台阶数就是向上走台阶数的3倍.因此甲向上走了80÷(3+1)=20级台阶。甲的速度与自动扶梯速度之比2：1，甲走20级台阶的同时自动扶梯向上移动了10级台阶，因此如果自动扶梯不动，甲从下到上要走20+10=30级台阶。



例题3：商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下。如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？



分析：因为男孩的速度是女孩的2倍，所以男孩走80级到达楼下与女孩走40级到达楼上所用时间相同，在这段时间中，自动扶梯向上运行了（80-40）÷2＝20（级）所以扶梯可见部分有80-20＝60（级）。




浓度问题
例1： 爷爷有16%的糖水50克，（1）要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它变成30%的糖水，需加糖多少克？



解：（1）需要加水多少克？

50×16%÷10%－50＝30（克）

（2）需要加糖多少克？

50×（1－16%）÷（1－30%）－50

＝10（克）



答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。



例2：我们把50％的盐水1千克与20％的盐水4千克混合，求混合后溶液浓度？

求出第一份溶液中溶质(即食盐)质量，50％×1＝0.5千克；

第二份溶液中溶质质量，20％×4＝0.8千克；

则总溶质质量为0.5＋0.8＝1.3千克；

总溶液质量为1＋4＝5千克。

于是，混合后溶液的浓度为：＝26%。



例3：有含糖量为7％的糖水600克，要使其含糖量加大到10％，需要再加入多少克糖？



解析：根据题意，在7％的糖水中加糖就改变了原来糖水的浓度，糖的质量增加了，糖水的质量也增加了，但水的质量并没有改变。因此，可以先根据原来糖水中的浓度求出水的质量，再根据后来糖水中的浓度求出现在糖水的质量，用现在糖水的质量减去原来糖水的质量就是增加的糖的质量。



原来糖水中水的质量：600×（1－7％）＝558（克）

现在糖水的质量：558÷（1－10％）＝620（克）

加入糖的质量：620－600＝20（克）



答：需要加入20克糖。



例4：现有浓度为10％的盐水20千克。再加入多少千克浓度为30％的盐水，可以得到浓度为22％的盐水？



解析：这是一个溶液混合问题。混合前、后溶液的浓度改变了，但总体上溶质及溶液的总质量没有改变。所以，混合前两种溶液中溶质的和等于混合后溶液中的溶质的量。

20千克10％的盐水中含盐的质量：20×10％＝2（千克）

混合成22％时，20千克溶液中含盐的质量：20×22％＝404（千克）

需加30％盐水溶液的质量：（4.4－2）÷（30％－22％）＝30（千克）



答：需加入30千克浓度为30％的盐水，可以得到浓度为22％的盐水。



例5：将20％的盐水与5％的盐水混合，配成15％的盐水600克，需要20％的盐水和5％的盐水各多少克？

解析：根据题意，将20％的盐水与5％的盐水混合配成15％的盐水，说明混合前两种盐水中盐的质量和与混合后盐水中盐的质量是相等的。可根据这一数量间的相等关系列方程解答。



解：设20％的盐水需x克，则5％的盐水为600－x克，那么

20％x+（600－x）×5％＝600×15％

X ＝400

600－400＝200（克）



答：需要20％的盐水400克，5％的盐水200克。