2007年中考试题分类汇编——综合试题

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1、（安徽省2007年第23题）．按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：
（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；
（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。
（1）若y与x的关系是y＝x＋p(100－x)，请说明：当p＝时，这种变换满足上述两个要求；
（2）若按关系式y=a(x－h)2＋k　(a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）

　　解：（1）当P=时，y=x＋,即y=。
　　　　∴y随着x的增大而增大，即P=时，满足条件（Ⅱ）……3分
　　　　又当x=20时，y==100。而原数据都在20～100之间，所以新数据都在60～100之间，即满足条件（Ⅰ），综上可知，当P=时，这种变换满足要求；……6分
　　（2）本题是开放性问题，答案不唯一。若所给出的关系式满足：（a）h≤20；（b）若x=20,100时，y的对应值m，n能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求。
　　如取h=20,y=,……8分
　　∵a＞0，∴当20≤x≤100时，y随着x的增大…10分
　　令x=20,y=60，得k=60              　
①
　　令x=100,y=100，得a×802＋k=100         ②
由①②解得，
∴。………14分
2、（2007年常德市第26题）．如图11，已知四边形是菱形，是线段上的任意一点时，连接交于，过作交于，可以证明结论成立（考生不必证明）．
（1）探究：如图12，上述条件中，若在的延长线上，其它条件不变时，其结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（5分）
（2）计算：若菱形中，在直线上，且，连接交所在的直线于，过作交所在的直线于，求与的长．（7分）
（3）发现：通过上述过程，你发现在直线上时，结论还成立吗？（1分）

　　解：（1）结论成立··········· 1分
　　证明：由已知易得
　　∴··················· 3分
　　∵FH//GC
　　
∴············ 5分
　　（2）∵G在直线CD上
　　∴分两种情况讨论如下：
①
G在CD的延长线上时，DG=10
如图3，过B作BQ⊥CD于Q，

　　由于ABCD是菱形，∠ADC=60，
　　∴BC=AB=6，∠BCQ=60，
　　∴BQ=，CQ=3
　　∴BG=········ 7分
　　又由FH//GC，可得
　　而三角形CFH是等边三角形
　　∴BH=BC-HC=BC-FH=6-FH
　　∴，∴FH=
　　由（1）知
　　∴FG=·········· 9分
　　②
G在DC的延长线上时，CG=16
如图4，过B作BQ⊥CG于Q，

　　由于ABCD是菱形，∠ADC=600，
　　∴BC=AB=6，∠BCQ=600，
　　∴BQ=，CQ=3
　　∴BG==14………………………………11分
　　又由FH//CG，可得
　　∴，而BH=HC-BC=FH-BC=FH-6
　　∴FH=
　　又由FH//CG，可得
　　∴BF=
　　∴FG=14+············· 12分
　　（3）G在DC的延长线上时，
　　　
所以成立
结合上述过程，发现G在直线CD上时，结论还成立．   13分

　　3、（郴州市2007年第27题）．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD沿对角线AC平移，平移后的矩形为EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点E与C重合时停止移动．平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q．设S表示矩形PCMH的面积，表示矩形NFQC的面积．

（1） S与相等吗？请说明理由．

（2）设AE＝x，写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少？

（3）如图11，连结BE，当AE为何值时，是等腰三角形．

　　解：（1）相等

　　　　理由是：因为四边形ABCD、EFGH是矩形，
　　　所以
　　　所以   即：
　　（2）AB＝3，BC＝4，AC＝5，设AE＝x，则EC＝5－x，

　　所以，即

　　配方得：，所以当时，

　　S有最大值3

　　（3）当AE＝AB＝3或AE＝BE＝或AE＝3.6时，是等腰三角形（每种情况得1分）
　　4、（德州市2007年第23题）．（本题满分10分）
　　已知：如图14，在中，为边上一点，，，．
　　（1）试说明：和都是等腰三角形；
　　（2）若，求的值；
　　（3）请你构造一个等腰梯形，使得该梯形连同它的两条对角线得到8个等腰三角形．（标明各角的度数）

解：（1）在中，，
　　．··················· 1分
　　在与中，；
　　，
　　．
　　··················· 2分
　　．
　　和都是等腰三角形．4分
　　（2）设，则，即．·············· 6分
　　解得（负根舍去）．················· 8分

　　5、（2007年龙岩市第25题）．（14分）如图，抛物线经过的三个顶点，已知轴，点在轴上，点在轴上，且．
　　（1）求抛物线的对称轴；
　　（2）写出三点的坐标并求抛物线的解析式；
　　（3）探究：若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点，是否存在是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点坐标；不存在，请说明理由．

　　解：（1）抛物线的对称轴·············· 2分
　　（2）       ················ 5分
　　把点坐标代入中，解得·········· 6分
　　················· 7分

　　（3）存在符合条件的点共有3个．以下分三类情形探索．
　　　　设抛物线对称轴与轴交于，与交于．
　　　过点作轴于，易得，，，
①
以为腰且顶角为角的有1个：．
　　················ 8分
　　在中，
　　··················· 9分
　　②以为腰且顶角为角的有1个：．
　　在中， 10分
　　············ 11分
　　③以为底，顶角为角的有1个，即．
　　画的垂直平分线交抛物线对称轴于，此时平分线必过等腰的顶点．
　　过点作垂直轴，垂足为，显然．
　　．
　　    于是················· 13分
　　···························· 14分
　　注：第（3）小题中，只写出点的坐标，无任何说明者不得分．

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　6、（2007年福建省宁德市第26题）．（本题满分14分）　　已知：矩形纸片中，厘米，厘米，点在上，且厘米，点是边上一动点．按如下操作：
　　步骤一，折叠纸片，使点与点重合，展开纸片得折痕（如图1所示）；
　　步骤二，过点作，交所在的直线于点，连接（如图2所示）
　　（1）无论点在边上任何位置，都有（填“”、“”、“”号）；
　　（2）如图3所示，将纸片放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：
　　①当点在点时，与交于点点的坐标是（
，
）；
　　②当厘米时，与交于点点的坐标是（
，
）；
　　③当厘米时，在图3中画出（不要求写画法），并求出与的交点的坐标；
　　（3）点在运动过程，与形成一系列的交点观察、猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式．

　　解：（1）．··············· 2分
　　（2）①；②．·············· 6分
③画图，如图所示．················ 8分

　　解：方法一：设与交于点．
　　在中，，
　　．
　　，，

　　．
　　又，
　　．
　　．
　　．
　　．····················· 11分
　　方法二：过点作，垂足为，则四边形是矩形．
　　，．
　　设，则．
　　在中，．
　　．
　　．
　　．
　　．·················· 11分
　　（3）这些点形成的图象是一段抛物线．·········· 12分
　　函数关系式：．··········· 14分
　　说明：若考生的解答：图象是抛物线，函数关系式：均不扣分．
　　7、（2007年福建省三明市第26题）．（本小题满分12分）
　　如图①，②，在平面直角坐标系中，点的坐标为(4，0)，以点为圆心，4为半径的圆与轴交于，两点，为弦，，是轴上的一动点，连结．
　　（1）求的度数；（2分）
　　（2）如图①，当与相切时，求的长；（3分）
　　（3）如图②，当点在直径上时，的延长线与相交于点，问为何值时，是等腰三角形？（7分）

　　解：解：（1）∵，，
　　∴是等边三角形．

　　∴．     ····················· 2分
　　（2）∵CP与相切，
　　∴．

　　∴．
　　又∵（4，0），∴．∴．
　　∴．   ··············· 5分
　　（3）①过点作，垂足为，延长交于，

　　∵是半径， ∴，∴，
　　∴是等腰三角形．················· 6分
　　又∵是等边三角形，∴=2 ．················ 7分
　　②解法一：过作，垂足为，延长交于，与轴交于，
　　∵是圆心， ∴是的垂直平分线． ∴．
　　∴是等腰三角形， ············· 8分
　　　过点作轴于，
　　在中，∵，
　　∴．∴点的坐标（4+，）．
　　在中，∵，
　　∴．∴点坐标（2，）．　·············· 10分
　　设直线的关系式为：，则有
　　      解得：
　　∴．
　　当时，．
　　　∴．　··················· 12分
　　解法二： 过A作，垂足为，延长交于，与轴交于，
　　∵是圆心， ∴是的垂直平分线． ∴．
　　　∴是等腰三角形．················ 8分　
　　∵，∴．
　　∵平分，∴．
　　∵是等边三角形，，
∴．

　　∴．
　　∴是等腰直角三角形．··········· 10分
　　∴．
　　∴．  12分

　　8、（2007年河池市第26题）．
（本小题满分12分）

如图12，
四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．
点从出发以每秒2个单位长度的速度向运动；点从同时出发，以每秒1个单位长度的速度向运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点作垂直轴于点，连结AC交NP于Q，连结MQ．

（1）点
（填M或N）能到达终点；
（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；
（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．

　　解：（1）点 M   ·························· 1分

　　（2）经过t秒时，，
　　　则，
　　　∵==
　　　∴∴······ 2分
　　　∴
　　　　　　  ··············· 3分
　　　∴  ··········· 5分
　　　∵∴当时，S的值最大．   ········ 6分
　　（3）存在．     ···················· 7分
　　　　设经过t秒时，NB=t，OM=2t
　　　　则，
　　　　∴==         ············ 8分
　　　①若，则是等腰Rt△底边上的高
　　　∴是底边的中线
∴
　　　∴
　　　∴
　　　∴点的坐标为（1，0）     ··········· 10分
　　　②若，此时与重合
　　　∴
　　　∴
　　　∴
　　　∴点的坐标为（2，0）            12分
　　9、（贵阳市2007年第25题）．（本题满分12分）
如图14，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形．
（1）求这个扇形的面积（结果保留）．（3分）
（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由．（4分）
（3）当的半径为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．（5分）

　　解：（1）连接，由勾股定理求得：
　　··············· 1分
　　··············· 2分
　　（2）连接并延长，与弧和交于，

　　············· 1分
　　弧的长：··········· 2分
　　
　　圆锥的底面直径为：········· 3分
　　，不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．····· 4分
　　（3）由勾股定理求得：
　　弧的长：·········· 1分
　　
　　圆锥的底面直径为：······· 2分
　　
　　且
　　··············· 3分
　　即无论半径为何值，·········· 4分
　　不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．

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　10、（2007年杭州市第24题）.（本小题满分12分）在直角梯形中，，高（如图1）。动点同时从点出发，点沿运动到点停止，点沿运动到点停止，两点运动时的速度都是。而当点到达点时，点正好到达点。设同时从点出发，经过的时间为时，的面积为（如图2）。分别以为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点在边上从到运动时，与的函数图象是图3中的线段。
（1）分别求出梯形中的长度；
（2）写出图3中两点的坐标；
（3）分别写出点在边上和边上运动时，与的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在图3中补全整个运动中关于的函数关系的大致图象。

解：（1）设动点出发秒后，点到达点且点正好到达点时，，
则（秒）
　　则；
　　（2）可得坐标为
　　（3）当点在上时，；
　　当点在上时，
图象略
　　11、（2007年河北省第26题）．（本小题满分12分）
如图16，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB于点E．点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；
（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC？
（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（4）△PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由．

　　解：（1）t=（50＋75＋50）÷5=35（秒）时，点P到达终点C．
……………（1分）
　　此时，QC=35×3=105，∴BQ的长为135－105=30．
………………（2分）
　　（2）如图8，若PQ∥DC，又AD∥BC，则四边形PQCD
　　为平行四边形，从而PD=QC，由QC=3t，BA+AP=5t
　　得50＋75－5t=3t，解得t=．
　　经检验，当t=时，有PQ∥DC．………（4分）
　　（3）①当点E在CD上运动时，如图9．分别过点A、D作AF⊥BC于点F，DH⊥BC于点H，则四边形ADHF为矩形，且△ABF≌△DCH，从而FH= AD=75，于是BF=CH=30．∴DH=AF=40．
又QC=3t，从而QE=QC·tanC=3t·=4t．

　　（注：用相似三角形求解亦可）
　　∴S=S⊿QCE =QE·QC=6t2；
………………………………………………………（6分）
　　②当点E在DA上运动时，如图8．过点D作DH⊥BC于点H，由①知DH=40，CH=30，又QC=3t，从而ED=QH=QC－CH=3t－30．
　　∴S= S梯形QCDE =(ED＋QC)DH =120 t－600．
…………………………（8分）
　　（4）△PQE能成为直角三角形．
……………………………………………………（9分）
　　当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t≠或t=35．
…（12分）
　　（注：（4）问中没有答出t≠或t=35者各扣1分，其余写法酌情给分）
　　下面是第（4）问的解法，仅供教师参考：
　　①当点P在BA（包括点A）上，即0＜t≤10时，如图9．过点P作PG⊥BC于点G
，则PG=PB·sinB=4t，又有QE=4t = PG，易得四边形PGQE为矩形，此时△PQE总能成为直角三角形．
　　②当点P、E都在AD（不包括点A但包括点D）上，即10＜t≤25时，如图8．由QK⊥BC和AD∥BC可知，此时，△PQE为直角三角形，但点P、E不能重合，即5t－50＋3t－30≠75，解得t≠．
　　③当点P在DC上（不包括点D但包括点C），即25＜t≤35时，如图10．由ED＞25×3－30=45，可知，点P在以QE=40为直径的圆的外部，故∠EPQ不会是直角．由∠PEQ＜∠DEQ，可知∠PEQ一定是锐角．对于∠PQE，∠PQE≤∠CQE，只有当点P与C重合，即t=35时，如图11，∠PQE=90°，△PQE为直角三角形．

　　综上所述，当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t≠或t=35．
　　12、（湖北省荆门市2007年第28题）．(本小题满分12分)
　　如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．
　　(1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；
　　(2)如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；
(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．

　　

　　解：(1)由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠BPE=90°．
　　∴∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA．
　　∴Rt△POE∽Rt△BPA．……………………………………………2分
　　∴．即．∴y=(0＜x＜4)．
　　且当x=2时，y有最大值．…………………………………………4分
　　(2)由已知，△PAB、△POE均为等腰三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．…6分
　　设过此三点的抛物线为y=ax2＋bx＋c，则∴
　　y=．………………………………………………………8分
　　(3)由(2)知∠EPB=90°，即点Q与点B重合时满足条件．………………………9分
　　直线PB为y=x－1，与y轴交于点(0，－1)．
　　将PB向上平移2个单位则过点E(0，1)，
　　∴该直线为y=x＋1．…………………………………………………10分
　　由得∴Q(5，6)．
故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件．…………………………12分
　　13、（常州市2007年第28题）．（本小题满分10分）
　　已知与是反比例函数图象上的两个点．
　　（1）求的值；
　　（2）若点，则在反比例函数图象上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

　　解：（1）由，得，因此．··········· 2分
（2）如图1，作轴，为垂足，则，，，
因此．
　　由于点与点的横坐标相同，因此轴，从而．
　　当为底时，由于过点且平行于的直线与双曲线只有一个公共点，
　　故不符题意．············· 3分
　　当为底时，过点作的平行线，交双曲线于点，
　　过点分别作轴，轴的平行线，交于点．
　　由于，设，则，，
　　由点，得点．
　　因此，
　　解之得（舍去），因此点．
　　此时，与的长度不等，故四边形是梯形．········ 5分

　　如图2，当为底时，过点作的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为．
　　由于，因此，从而．作轴，为垂足，
　　则，设，则，
　　由点，得点，
　　因此．
　　解之得（舍去），因此点．
　　此时，与的长度不相等，故四边形是梯形．··············· 7分
　　如图3，当过点作的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为时，
　　同理可得，点，四边形是梯形．············ 9分
　　综上所述，函数图象上存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形，点的坐标为：或或．············· 10分

　　14、（2007年连云港市第28题）．（本小题满分14分）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，顶点在坐标轴上，，．动点从点出发，以的速度沿轴匀速向点运动，到达点即停止．设点运动的时间为．
　　（1）过点作对角线的垂线，垂足为点．求的长与时间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
　　（2）在点运动过程中，当点关于直线的对称点恰好落在对角线上时，求此时直线的函数解析式；
　　（3）探索：以三点为顶点的的面积能否达到矩形面积的？请说明理由．

解：（1）在矩形中，，，
．……………………1分
　　　　，．
　　　　，即，．……3分
　　　　当点运动到点时即停止运动，此时的最大值为．
　　　　所以，的取值范围是．············· 4分
　　　　（2）当点关于直线的对称点恰好在对角线上时，三点应在一条直线上（如答图2）．……………………5分

　　　　，．
　　　　，
．
　　　　．点的坐标为．…………6分
　　　　设直线的函数解析式为．将点和点代入解析式，得解这个方程组，得
　　　　　此时直线的函数解析式是．········· 8分
　　　　　（3）由（2）知，当时，三点在一条直线上，此时点　不构成三角形．
　　　　　故分两种情况：
　　　（i）当时，点位于的内部（如答图3）．过点作，垂足为点，由可得．

　　　　　
　　　　　．············· 10分
　　　　　若，则应有，即．
　　　　　此时，，所以该方程无实数根．
　　　　　所以，当时，以为顶点的的面积不能达到矩形面积的．       11分
　　　　　（ii）当时，点位于的外部．
　　　　　此时．············· 12分
　　　　　若，则应有，即．
　　　　　解这个方程，得，（舍去）．
　　　　　由于，．
　　　　　而此时，所以也不符合题意，故舍去．
　　　　　所以，当时，以为顶点的的面积也不能达到矩形面积的．
　　　　　综上所述，以为顶点的的面积不能达到矩形面积的．    14分

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　15、（南京市2007年第27题）．在平面内，先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，并且原多边形上的任一点，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点为旋转中心，逆时针旋转一个角度，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为，其中点叫做旋转相似中心，叫做相似比，叫做旋转角．　　（1）填空：
　　①如图1，将以点为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为（
，
）；
②如图2，是边长为的等边三角形，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为
；
　　（2）如图3，分别以锐角三角形的三边，，为边向外作正方形，，，点，，分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用与，与之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段与之间的关系．

　　解：（1）①，；············ 2分
　　②；··················· 4分
　　（2）经过旋转相似变换，得到，此时，线段变为线段；  6分
　　经过旋转相似变换，得到，此时，线段变为线段．······· 8分
　　，，
　　，．      10分
16、（2007年苏州市第29题）．设抛物线与x轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m，0)，与y轴交于点C.且∠ACB=90°．
(1)求m的值和抛物线的解析式；
(2)已知点D(1，n )在抛物线上，过点A的直线交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标．
(3)在(2)的条件下，△BDP的外接圆半径等于________________．

　　解：(1)令x=0，得y=－2   ∴C(0，一2)．∵ACB=90°，CO⊥AB,．
∴ △AOC
∽△COB,．∴OA·OB=OC2；∴OB=  ∴m=4．

　　17、（泰州市2007年第29题）．如图①，中，，．它的顶点的坐标为，顶点的坐标为，，点从点出发，沿的方向匀速运动，同时点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒．
（1）求的度数．
（2）当点在上运动时，的面积（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点的运动速度．
（3）求（2）中面积与时间之间的函数关系式及面积取最大值时点的坐标．
（4）如果点保持（2）中的速度不变，那么点沿边运动时，的大小随着时间的增大而增大；沿着边运动时，的大小随着时间的增大而减小，当点沿这两边运动时，使的点有几个？请说明理由．

　　解：（1）．················· 2分
　　（2）点的运动速度为2个单位/秒．············ 4分
　　（3）（）
　　·················· 6分
　　．
　　当时，有最大值为，
　　此时．·················· 9分
　　（4）当点沿这两边运动时，的点有2个．········ 11分
　　　①当点与点重合时，，
　　　当点运动到与点重合时，的长是12单位长度，
　　　作交轴于点，作轴于点，
　　　由得：，
　　　所以，从而．
　　　所以当点在边上运动时，的点有1个．······· 13分

　　②同理当点在边上运动时，可算得．
　　　而构成直角时交轴于，，
　　　所以，从而的点也有1个．
　　　所以当点沿这两边运动时，的点有2个．········· 14分
　　18、（无锡市2007年第28题）．（本小题满分10分）
　　如图，平面上一点从点出发，沿射线方向以每秒1个单位长度的速度作匀速运动，在运动过程中，以为对角线的矩形的边长；过点且垂直于射线的直线与点同时出发，且与点沿相同的方向、以相同的速度运动．
　　（1）在点运动过程中，试判断与轴的位置关系，并说明理由．
　　（2）设点与直线都运动了秒，求此时的矩形与直线在运动过程中所扫过的区域的重叠部分的面积（用含的代数式表示）．

　　解：（1）轴．·························· 1分
　　理由：中，，．··· 2分
　　设交于点，交轴于点，矩形的对角线互相平分且相等，则，
，过点作轴于，则，
，，，轴．····· 3分
　　（2）设在运动过程中与射线交于点，过点且垂直于射线的直线交于点，过点且垂直于射线的直线交于点，则．
　　，，，，．················ 4分
　　①当，即时，．············ 6分
　　②当，即时，设直线交于，交于，
　　　则，，，
　　．········· 8分
　　③当，即时，，
　　
　　………………10分
　　19、（扬州市2007年第26题）．（本题满分14分）
　　如图，矩形中，厘米，厘米（）．动点同时从点出发，分别沿，运动，速度是厘米／秒．过作直线垂直于，分别交，于．当点到达终点时，点也随之停止运动．设运动时间为秒．
　　（1）若厘米，秒，则______厘米；
　　（2）若厘米，求时间，使，并求出它们的相似比；
　　（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形与梯形的面积相等，求的取值范围；
　　（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形，梯形，梯形的面积都相等？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

　　解：（1），
　　（2），使，相似比为
　　（3），
　　，即，
　　
　　当梯形与梯形的面积相等，即
　　化简得，
　　，，则，
　　（4）时，梯形与梯形的面积相等
　　梯形的面积与梯形的面积相等即可，则
　　，把代入，解之得，所以．
　　所以，存在，当时梯形与梯形的面积、梯形的面积相等．

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　20、（江西省南昌市2007年第25题）．实验与探究　　（1）在图1，2，3中，给出平行四边形的顶点的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点的坐标，它们分别是
，
，
；

　　（2）在图4中，给出平行四边形的顶点的坐标（如图所示），求出顶点的坐标（点坐标用含的代数式表示）；

　　归纳与发现
　　（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为（如图4）时，则四个顶点的横坐标之间的等量关系为
；纵坐标之间的等量关系为
（不必证明）；
　　运用与推广
（4）在同一直角坐标系中有抛物线和三个点，（其中）．问当为何值时，该抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的点坐标．
　　解：（1），，．············ 2分
　　（2）分别过点作轴的垂线，垂足分别为，分别过作于，于点．

　　在平行四边形中，，又，
　　．
　　．
　　又，
　　．············· 5分
　　，．
　　设．由，得．
　　由，得．．·········· 7分
　　（此问解法多种，可参照评分）
　　（3），或，．········ 9分
　　（4）若为平行四边形的对角线，由（3）可得．要使在抛物线上，
　　则有，即．
　　（舍去），．此时．··················· 10分
　　若为平行四边形的对角线，由（3）可得，同理可得，此时．
　　若为平行四边形的对角线，由（3）可得，同理可得，此时．
　　综上所述，当时，抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形．
符合条件的点有，，． 12分
21、（乐山市2007年第28题）．如图（16），抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中点的坐标为；直线与抛物线交于点，与轴交于点，且．
　　（1）用表示点的坐标；
　　（2）求实数的取值范围；
　　（3）请问的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值；若没有，请说明理由．

　　解（1）抛物线过，
················· 1分
点在抛物线上，
，
点的坐标为．·········· 3分
（2）由（1）得，
，，
．·············· 6分
（3）的面积有最大值，······ 7分
的对称轴为，，
点的坐标为，·········· 8分
由（1）得，
而


，·············· 10分
的对称轴是，
当时，取最大值，
其最大值为．   12分
22、（2007年沈阳市第26题）、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的表达式；
（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

　　解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8　……………………1分
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC
∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）
又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2
∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）　…………………4分
（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上
∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式，得
　解得
∴所求抛物线的表达式为y＝x2 x＋8　　………………………7分
（3）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，
∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10
∵EF∥AC　∴△BEF∽△BAC
∴　　即
∴EF＝
过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝
∴＝　∴FG＝·＝8－m
∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）
＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m　…………10分
自变量m的取值范围是0＜m＜8　　…………………………11分
（4）存在．
理由：∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8　　且－＜0，
∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8　　………………………12分
∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）
∴△BCE为等腰三角形．　　…………………………14分

（以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分）
　　23、（辽宁省十二市2007年第26题）．如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．
（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）；
（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；

（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．

　　解：利用中心对称性质，画出梯形OABC． ················· 1分
∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，
∴A（0，4），B（6，4），C（8，0）  ··················· 3分
（写错一个点的坐标扣1分）

（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为，
∵抛物线过点A（0，4），

∴．则抛物线关系式为．  ·············· 4分
将B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得
···························· 5分

解得····················· 6分
所求抛物线关系式为：．········ 7分
（3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m． ·········· 8分

∴   
                 OA（AB+OC）AF·AGOE·OFCE·OA
                 
                   （ 0＜＜4） ········ 10分
∵． ∴当时，S的取最小值．
又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值． ······· 12分
　　（4）当时，GB=GF，当时，BE=BG．  14分