浅谈导数在高中数学中的应用

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浅谈导数在高中数学中的应用

【关键词】高中数学中的导数；应用
　　导数是高中数学新教材中新增内容之一，它的引入给传统的中学数学内容注入了新的生机和活力，也为中学数学解决问题注入了新的途径和方法。导数是高等数学的内容，是对函数图像和性质的总结和拓展，是研究函数单调性、极值、最值的重要工具。利用导数可以解决现实生活中的最优化问题。由此可见，它在高中教学中起着非常重要的作用。本文从几个方面出发，谈一谈导数的应用。
　　1. 几何方面的应用 在导数概念的基础上，结合函数图像来研究导数的几何意义是导数概念的延伸，是导数知识的重要内容。导数是微积分中的重要基础概念，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导。
　　在解析几何中，我们求曲线的切线，只需要知道曲线的方程y=f（x）和曲线上的任意一点，利用对函数求导就可以得到这一点的切线方程。
　　下面给出求曲线的切线方程的方法步骤：
　　（1）求导数，得到曲线在该点的切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，利用点斜式求出切线方程：y-f（x0）=f'（x0）（x-x0）
　　例1. 试求曲线y=xlnx上点（1，2）的切线方程
　　解： 对函数f（x）=xlnx
　　求导得f'（x）=lnx+1
　　所以f'（1）=ln1+1=1，所以在点（1，2）的切线方程为
　　y-2=1（x-1）
　　即 y=x+1
　　切线方程： y=x+1
　　先求出函数y=f（x）在x=x0处的导数，即曲线在该点处的切线斜率，再由直线方程的点斜式便可求出切线方程。
　　例2. 求垂直于直线2x-6y+1=0并且和曲线y=x3+3x2-5相切的直线方程。
　　解 因为所求的直线与已知直线2x-6y+1=0垂直
　　所以所求直线的斜率 k1=-3
　　又因为所求直线与y=x3+3x2-5相切，
　　所以它的斜率 k2=y'=3x2+6x
　　因为k1=k2 即 3x2+6x=-3
　　所以（x+1）2=0 即 x=-1
　　代入曲线方程得 y=（-1）3+3（-1） 2-5=-3
　　所以切点为 （-1，-3）
　　故所求直线方程为y+3=-3（x+1）即3x+y+6=0 。
　　2. 在函数方面的应用 运用导数知识研究函数性质的试题，研究对象已经突破了单纯的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等命题常以复合的函数形式出现。
　　2.1 函数单调性的讨论。（1）利用导数的符号判断函数的单调性。函数的单调性是函数最基本的性质之一，是研究函数所要掌握的最基本的知识。通常用定义来判断，但当函数表达式较复杂时判断f（x1）-f（x2）正负较困难。运用导数知识来讨论函数单调性时，只需求出f'（x） ，再考虑f'（x）的正负即可。此方法简单快捷而且适用面广。
　　利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想。

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　　一般地，在某个区间（a，b）内，如果f'（x）>0 ，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增；如果f'（x）<0 ，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递减。
　　如果在某个区间内恒有f'（x）=0 ，则f'（x）是常函数。
　　注意：在某个区间内， f'（x）>0 是f'（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。
　　（2）求函数y=f（x）单调区间的步骤。
　　①确定y=f（x）的定义域；
　　②求导数解f'（x）=0 此方程，求出它们在定义域区间内的一切实数根。
　　③当f'（x）>0时， y=f（x）在相应区间上是增函数；当f'（x）<0时， y=f（x）在相应区间上是减函数。
　　例3. 判定函数y1=x3-x和y2=x3+x在（-∞，+∞）上的增减性。
　　解： y'1=3x2-1=3（x+13）（x-13）
　　当y'1>0 得 x<-13或x>13
　　当y'1<0 得 -13　　所以y1=x3-x在（-∞，-13）和（13，+∞）内单调递增，在（-13，13）内单调递减。
　　因为y'2=3x2+1>0 ， 故y2=x3+x在（-∞，+∞）上单调递增。
　　2.2 函数的极值的求法。
　　例4.求函数f（x）=13x3-4x+4的极值。
　　解：因为 f（x）=13x3-4x+4，所以f'（x）=x2-4=（x-2）（x+2） 。
　　令f'（x）=0 ，解得x=2或x=-2 。
　　下面分两种情况讨论：
　　（1）当f'（x）>0 ，即x >2或x <-2时；
　　（2）当f'（x）<0 ，即-2 　　当x变化时，f'（x） ，f（x） 的变化情况如下表：
　　因此，当x=-2 时， f（x）有极大值，并且极大值为f（-2）=283 ；
　　当x=2 时， f（x）有极小值，并且极小值为f（2）= -43。
　　点评：求可导函数的极值的步骤可归纳为：
　　（1）求导数f'（x） ； 　　（2）求方程f'（x）=0 的根；
　　（3）检查f'（x） 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x） 在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么f（x） 在这个点出取得极小值。
　　2.3 函数的最值求法。极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小。当然函数在某个区间上一定是连续的不断的曲线，它必有最大值和最小值。
　　例5. 求函数y=cos2x+cosx+1 的极值和最值。
　　解： y'=-2cosxsinx-sinx ，
　　令y'=0 得 sinx（2cosx+1）=0
　　解得sinx=0或cosx=- 12， 由sinx=0 可得：
　　cosx=1或cosx=-1 ，因此，
　　当cosx=- 12 时，得y极小 = 34；
　　当 cosx=1时， 得 y极大=3；
　　当cosx=-1 时，得y极大=1 。
　　则ymax =3， ymin= 34

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　　最值问题是高中数学的一个重点，也是一个难点。它涉及到了高中数学知识的各个方面，要解决这类问题往往需要各种技能，并且需要选择合理的解题途径。用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，学生也好掌握.应注意函数的极值与最值的区别与联系，极值是一个局部性概念，最值是某个区间的整体性概念。
　　一般地，求函数f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
　　（1）求 f（x）在（a，b） 内的极值；
　　（2）将 f（x）的各极值与端点处的函数值f（a），f（b） 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，从而得出函数f（x） 在[a，b] 上的最值。
　　3. 利用导数解决实际优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，也称为最值问题。解决这些问题具有非常现实的意义。这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大（小）值问题。
　　例6.有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城相距50千米，两城在此河边合建一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和700元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？
　　解：设水厂D点与乙城到岸的垂足B点之间的距离为x千米，所需水管总费用为y元，
　　则y=500（50-x）+700 x2+402=25000-500x+700 x2+1600，
　　y'=-500+700x12（x2+1600）-122x=-500+700x x2+1600，令 y'=0，解得 x=50 63
　　当x∈[0，50 63） 时，y'<0 ；当x∈[50 63，50） 时，y'>0 ，所以当 x=50 63时， y'取得极小值，也是最小值。
　　答：水厂建在距甲距离为50-50 63 千米时，所需水管费用最省。
　　解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把得主要关系近似化、形式化、抽象成数学问题。再化归为常规问题，选择合适的数学方法解题。
　　“生活中的优化问题举例”实际上是求实际问题的最大（小）值，其主要步骤如下：
　　（1）列出实际问题的数学模型，写出实际问题中的变量之间的函数关y=f（x）系 ；
　　（2）求函数的导函数f'（x） ，解方程f'（x）=0 ；（3）比较函数在区间端点和使f'（x）=0 的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值。
　　导数在高中数学中只能介绍一些简单的应用。对于高中学生，这一部分内容不能挖掘太深，因为导数的引入，本质上就是将初等数学中一些高难度、繁杂的问题简化。但也要求学生对该部分内容要掌握其实质，弄清楚与其他各章节内容的联系。从解决上述三个方面的应用中可以看到，导数在应对复杂的数学问题时，感觉有入手易，过程简便的优势，它的最终目的还是考查函数的性质。所以我们不仅要掌握导数的概念，求导的公式和求导的法则及其简单应用，包括求函数的极值、单调区间。证明函数的增减性等，还要学会把导数与其它知识相结合，去寻找求一些复杂问题的简单解法。