北师大版数学五年级上册《点阵中的规律》教学实录

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一、谈话引入
师：从小我们就学数数、用数字，那么对于数字的发明和发展过程，你们都哪些了解？（学生交流课前搜集的相关信息）
生1：古时候人们用石子来计数，比如打一只兔子就摆一块石子。
生2：还有用绳子打结的，有几个人就打几个结。
生3：我知道我们现在用的数字是印度人发明的，从阿拉伯传到我国的，所以叫阿拉伯数字。
……
师：大家了解的信息真不少！阿拉伯数字的发明，使我们的记录和计算更加方便，但是在表现数字的特征方面，有时候图形会更加直观。今天老师请来了一位图形朋友——点（老师在黑板上画点），看到这个点，你能快速地想到哪个数字？
生齐：1。
师：不要小看了这个小小的点，早在2000多年前，古希腊的数学家们就是从这样一个小小的点开始研究，发现了由许多个这样的点组成的图形中的规律，还给这些图形取了一个好听的名字，叫点阵。同学们想不想过一把当数学家的瘾，自己来寻找这些规律？
生齐：想。
师：今天，我们就一起来探究点阵中隐含的规律。（板书课题：点阵中的规律）
二、探究正方形点阵中的规律
1、探究一组正方形点阵的规律。
师：我们一起来看看数学家们当年研究的点阵图，边看边说出各个点阵的点子数。
（依次出示前四个正方形点阵图，并逐步引导学生想像、猜测：下一个点阵图会是什么样子呢？）
生：第一个是1个点；第二个是4个点；
师：在心里想第三个、第四个点阵图是什么样子。（示图）与你的想像一样吗？
生1：一样。就是9个点。
生2：我知道第四个点阵有16个点，肯定是的。
（随着点阵图的依次出现，学生的思维逐渐活跃，当第三个点阵图出现的时候，学生不用数，已经忍不住地说出了点数。说明学生已经发现了这组正方形点阵中的规律。但这时，教师没有急于让学生发表自己的看法，而是给学生留出了完善自己想法的时间，同时也暗示学生：规律的呈现不能依靠一个或几个图形来归纳，应该有耐心地继续自己的观察活动。）
师：除了能说出各个点阵的点数之外，仔细观察点阵图：你们还有什么其它的发现？
生1：第一个点阵是1个点，其余的都是正方形的。
生2：我发现从第一个图开始点子数分别是加3、加5、加7。
生3：我发现它们的点子数能写成1×1、2×2、3×3、4×4。
师：你们真了不起！这种形状的点阵就是正方形点阵，大家不但用数字表示每个点阵的点数，还能用算式来表示这组点阵的规律。根据刚才发现的规律，想一想：第五个点阵是什么样子呢？自己画出来，并用算式表示点数。
（学生活动：独立画出第五个5×5的点阵图，全班交流。）
师：照这样的规律继续画下去，第9个点阵的点数如何用算式来表示？第100个呢？第n个呢？在小组内交流一下。
生：第九个点阵表示为9×9；
第100个点阵表示为100×100；
第n个点阵就表示为n×n。
（结合发现的规律，引导学生逐步完善自己的想法，建立总结正方形点阵规律的模型。）
师：那么你们觉得每个正方形点阵的点子总数与什么有关系？在小组内讨论交流。
生1：点子总数与正方形点阵每一排的点子数有关系。
生2：就是边长乘边长。
生3：还与是第几个有关系，第一个就是1×1，第二个就是2×2，第三个就是3×3，一直这样数下去。
（学会用简单的语言表述自己的想法，使得初步的形象感知得到提升）
师：说得真好！每个正方形点阵的点子总数可以看作是一个相同数字相乘的积，这个数字与点阵的序号有关，与每个正方形点阵每排的点子数也有关系。
2、同一个点阵的不同划分中的规律。
师：刚才我们研究了一组正方形点阵中隐含的规律，那么对于同一个点阵来说，如果划分的方法不同，所呈现的规律也就不同。
请大家仔细观察第五个正方形点阵中点的划分方法，你能发现什么规律？与同桌交流你的想法。
生1：我发现都是用折线分开的。
生2：我发现从短的线开始，每条线内的点分别是1、3、5、7、9。
生3：这个正方形点阵的点数用算式表示就是：1＋3＋5＋7＋9=25。
师：大家的发现真不少！那如果把每条线所包围的点子数记下来，如何用算式来表示？
学生汇报：
第一条线：  1                   = 1；
第二条线：  1＋3                = 4；
第三条线：  1＋3＋5             = 9；
第四条线：  1＋3＋5＋7          = 16；
第五条线：  1＋3＋5＋7＋9       = 25；
师：你们觉得这组算式有什么特点？
生1：一个算式比一个算式多加一个数。
生2：它们的得数正好是刚才那一排点阵的点子数。
生3：都是连续的奇数在相加。
师：是从几开始的连续奇数呢？
生：是从1开始的连续奇数在相加。
师：如果按这样的划分方法划分第六个正方形点阵，它的点数该如何用算式来表示？
生：1＋3＋5＋7＋9＋11 ＝ 36。
师：刚才我们是把这个5×5的正方形点阵用折线进行了划分，你们还有哪些不同的划分的方法？如何用算式表示？在小组内研究一下。
学生汇报：

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生1：我们是用横线划分的，算式是：5＋5＋5＋5＋5＋5 ＝ 25。
生2：还可以用竖线划分，算式也是：5＋5＋5＋5＋5＋5 ＝ 25。
生3：这些都可以写成是5×5 ＝ 25。
生4：我们的方法不一样。我们是用斜线划分的，用算式表示就是1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1。
师：这种划分方法有新意！仔细观察这个算式，你们发现了什么？
生1：算式里最大的数是5。
生2：这个算式是从1开始加到5再加回到1。
生3：这个算式的两边是对称的，5在中间。
生4：这个点阵的点数是就中间那个数字5乘5的积。
师：照这样的规律类推，第六个正方形点阵的点数如何表示？第9个呢？第n个呢？
生1：第六个点阵的点数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1。
生2：第九个点阵的点数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1。
生3：第n个点阵的点数是……，我说不完。
师：说不完，我们可以借助什么来表示？
生：用省略号，这样表示：1＋2＋3＋……＋n＋……＋3＋2＋1。
师：你太聪明了，帮我们解决了一个大难题，谢谢你。
（在这里让学生寻找正方形点阵的不同划分方法，把教材分散处理的关于正方形点阵的不同划分方法集中探究，便于学生思维的延续和拓展，不至于出现思维上的断层。这样设计既符合学生的探究心理和学习习惯，又给学生提供了自主探究的空间，体现了学生学习的自主性，还用另一种方式解读了“练一练”中的第一题。培养了学生从不同的角度去发现问题，总结概括规律的能力。）
三、延伸应用，形成策略
师：除了我们刚才研究的正方形点阵，请大家猜猜看，还会有什么形状的点阵呢？
生1：长方形点阵。
生2：三角形点阵。
生3：圆形点阵。
生4：椭圆形点阵。
师：请大家尝试运用前面学会的方法探究长方形点阵规律。在小组内合作研究：如何用算式表示每个长方形点阵的点子数？
（学生分组活动）
学生汇报：
生：这四长方形点阵的可以用算式1×2；2×3；3×4；4×5来表示。
师：根据自己发现的规律，请你独立画出第五个长方形点阵并用算式表示出点数。
（学生独立画图并写出算式，互相交流。）
生：第六个长方形点阵的点子总数用算式表示是5×6。
师：你们觉得自己所写的算式中的数字与图形之间有什么关系？在小组内讨论交流。
生1：乘法算式中的第二个因数总是比第一个因数多1。
生2：第一个算式的后面一个数是第二个算式开头的一个数，有点像词语接龙。
生3：算式中的第一个因数是长方形点阵的竖排点数，第二个因数是长方形点阵的横排点数。
师：这个算式与点阵的排列序号有关吗？
生1：第一个点阵是1×2，第二个点阵是2×3，第三个点阵是3×4，是第几个点阵就是用几去乘。
生2：是用点阵的排列序号去乘比它大1的数。
师：照这样继续写，你能写出第n个长方形点阵的点数吗？
生齐：n×（n＋1）。
师：看来对于任何一个点阵，只要我们认真观察研究，总能发现其独特的规律。下面请大家认真观察给出的四个三角形点阵的规律，快速画出第五个三角形点阵并说出点数。
生：（举起自己的点阵图）有15个点。
师：对自己画出的第五个三角形点阵进行划分，你能想到哪些不同的划分方法？分别用算式表示点数。
（学生活动）
全班交流：
生1：我是横着分的，算式是1＋2＋3＋4＋5＝15。
生2：我是斜着划分的，算式也是1＋2＋3＋4＋5＝15。
生3：我是竖着划分的，算式跟他们一样，也是1＋2＋3＋4＋5＝15，就是连续的自然数的和。
生4：我的是用折线划分的，算式可以写为1＋5＋9＝15，就是每次都多4个。
（对于前面的三种划分方法，都在我的预设之内，学生到此，已经很轻松地用语言表述出自己的想法：这样的三角形点阵的点数是从1开始的连续自然数的和。而对于第四种划分方法，是我没有预想到的。有一个孩子却用非常强烈地要求，表达了自己的这种划分方法，并且说出了这个算式依次递加4的规律。我真的很庆幸给了他一个机会，他用如此精彩的回答回报了我，也许课堂教学永远的魅力就在于这预设外的惊喜吧。）
师：同学们真的很了不起！真正具有未来数学家的风范，用自己的聪明才智，发现并总结了各个不同的点阵图中隐藏的规律。那么你们觉得应该从哪些方面来探究点阵的规律呢？
生1：我会仔细看清点阵是什么形状的。
生2：我觉得应该数清每一行的点子数是多少。
生3：我认为还要看清前后两个点阵的变化。
……
（在这里不需要学生说出多么专业的、深奥的数学方法，只是引导学生对自己探究性学习方法的一个总结，尽管语言可能不够简练，总结不够到位，只要学生是用自己的语言在表述自己的想法，就是对学生思维训练层次的一个提升，一种飞越。）
联系生活：
师：点阵的知识在生活中有着广泛的应用，比如北京奥运会开幕式上的“击缶表演”、“太极表演”等，都是把一个人看作了一点，来排列有规律的队形。你还知道什么地方运用了点阵的相关知识？
生1：五子棋。
生2：解放军阅兵式的方队。
生3：节日里摆放的花坛
生4：我们参加市八运会排练的团体操。
师：看来生活中用到点阵知识的地方还真不少。课后自己也设计一幅美丽的点阵图，下节课我们一起展评。
（在这里，把学生的课堂学习延伸到课外，链接到学生已有的相关生活经验，使得原本陌生的数学知识与学生的日常生活自然对接，体现了数学与生活的密切联系。学生课后的自主设计作业，给了学生极大的创造空间，真正体现数学来源于生活，又应用于生活。）