《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》（一轮复习）教学设计

ljalang

《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》（一轮复习）教学设计
一、考纲要求和复习建议：
1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．
3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
本节主要题型有：三角函数式的化简与求值，这部分知识难度已较以前有所降低，既有选择、填空形式的题目，也有解答题，且多以解答题的形式出现，属于中等题，应适当控制其难度需同学们掌握，复习过程中应注意变用和逆用公式。
二、复习目标：
通过复习使同学们熟练掌握两角和与差的正弦、余弦和正切公式，力争高考得分。
三、教学重、难点：
教学重点：熟练掌握两角和与差的正弦、余弦和正切公式；
教学难点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的变用和逆用。
四、教学过程：
  1. 主要知识点：
（1）．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；
cos(α∓β)＝cosαcosβ±sinαsinβ；
tan(α±β)＝tanα±tanβ/1∓tanαtanβ
（2）．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2α＝2sinαcosα；
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan2α＝2tanα/1-tan2α
2.主要题型：
  题型一、利用三角函数公式求值：
[例1] (1)(2015·课标卷Ⅰ)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝(　　)
A．－1/2　　B. 2/5   C．－2/5     D.1/2
解：原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝1/2，故选D.
（2）若tan(α+β)＝1/2，tanα＝1/3，则tanβ=（  ）
A．1/7　　B.1/6   C．5/7    D.5/6
解：tanβ= tan[(α+β)- α]= tan(α+β)-tanα/1+tan(α+β). tanα=1/7
(3) 已知α∈(π/2，π),sinα＝4/5.
①求sin(π/4+α)的值；②求cos(5π/6-2α)的值．
解：①∵α∈∈(π/2，π)，sinα＝4/5，
∴cosα＝－3/5.∴sin(π/4+α)＝√2/2(sinα＋cosα)
＝√2/2(4/5-3/5)=√2/10
②由①可知sin2α＝2sinαcosα＝－24/25，cos2α＝-7/25
∴cos(5π/6－2α)＝cos5π/6·cos2α＋sin5π/6·sin2α
＝－24+7√3/50.

ljalang

小结：对于三角函数公式的直接运用，特别应注意角的取值范围对相应三角函数值符号的影响，如本例中的第(3)题，首先求出cosα的值，进而求得sin2α，cos2α的值．　
题型二、给角求值：
【例2】（1)化简sin15°cos9°-cos66°/sin15°sin9°+sin66°的结果是(　　)
A．tan9°　　B．－tan9°  C．tan15°    D．－tan15°
　解：sin15°cos9°-cos66°/sin15°sin9°+sin66°
＝sin15°cos9°-sin24°/sin15°sin9°+cos24°
＝-cos15°sin9°/cos15°cos9°
＝－tan9°.
（2）sin15°＋sin75°的值是________．
解：sin15°＋sin75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)
＝2sin45°cos30°＝√6/2.
小结：对于给角求值问题，往往是非特殊角，此类问题的基本思路
(1)化为特殊角的三角函数值．
(2)化大角为小角，利用诱导公式，将代数式中的角尽可能化为锐角．
(3)化分子、分母出现公约数进行约分求值．
(4)化代数式出现正、负相消的项求值．
题型三、给值求角
【例3】（1）　已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝1/2，tanβ＝－1/7，求2α－β的值．
解：∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝
＝tan(α－β)+tanβ/1-tan(α－β)tanβ＝1/3>0，∴0<α<π/2，
又∵tan2α＝2tanα/1-tan2α＝3/4>0，∴0<2α<π/2.
∴tan(2α－β)＝tan2α-tanβ/1+tan2αtanβ＝1.
∵tanβ＝－1/7<0，∴π/2<β<π，－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－3π/4.
（2）设α，β为钝角，且sinα＝√5/5，cosβ＝－3√10/10，则α＋β的值为(　　)
A.  3π/4 B.   5π/4  C.  7π/4   D.5π/4或7π/4
解：∵α，β为钝角，sinα＝√5/5，cosβ＝－3√10/10，
∴cosα＝-2√5/5，sinβ＝√10/10.
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝√2/2>0.
又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈(3π/2，2π)，
∴α＋β＝7π/4 .
小结：解决给值求角问题应遵循以下原则
(1)已知正切函数值，选正切函数．
(2)已知正、余弦函数值，选正弦函数或余弦函数，且
①若角的范围是，选正、余弦皆可；
②若角的范围是(0，π)，选余弦较好；
③若角的范围是，选正弦较好．
④解决给值求角时应优先求单一值