浅谈高三数学复习课中例题教学的选择

ljalang

浅谈高三数学复习课中例题教学的选择
琼中中学张辉  2015—2016学年度第二学期
【摘 要】复习课是一种重要的课型。“复习课如何上好?”是每一位数学教师必须面对的一个问题，尤其是高三复习课是高三数学教学的重点，更是特别关注的焦点。在高三，由于时间的紧促，不允许我们向讲授新课一样开展教学，这就对复习课提出了更高的要求：既要让学生在课堂上巩固基础知识、熟练掌握基本解题方法，又要保证复习进度，还要吸引学生的学习积极性。其实，这些要求最后都归结为复习课上选择的例题。因此，例题的选择是否恰当对复习课的成败是至关紧要的。
【关键词】复习课 例题选择
      美国著名数学教育家波利亚说：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域”，由此可见，教师在选择例题是要严格把关，慎之又慎，因为“例题是教学成功的开始”。本文试以笔者在高三教学中的实践，来谈谈复习课中例题选择的一些体会，供各位同行参考。
一 、例题的选择要有针对性和示范性。
所选例题要有利于解题结论(或基础知识)的回顾。即要针对教学目标、针对知识点、针对学生的学习现状。数学的重点内容与概念是“双基”教学的核心内容，因而选择的例题要针对重点内容与概念，巩固“双基”，提高能力。
例1  已知中，AB= 9，AC= 15，，它所在平面外一点P到三个顶点的距离都是14，求点P到平面ABC 的距离。
波利亚说过：“货物充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本”。因此，在复习课中教师都会自觉或不自觉地将解题结论(或基础知识)穿插进来。但如果教师只是将内容一一列举，学生却会认为这些知识以前学过，还不如自己看书, 此时，他们就会感觉这样的上课单调乏味，提不起上课的兴趣和积极性，而在实际解题中却是经常出错的。因此，解题结论(或基础知识)的回顾要寓于例题中。例如对于例1，在教学中笔者并没有急于让学生完成问题的解答，而是从题中的一个已知条件(平面外一点P到三个顶点的距离都是14)和解题过程中的一种解题方法(用正弦定理求的外接圆半径)出发，先复习解决立体几何问题经常要用到的几个重要解题结论，即要求学生依次解决以下几个问题：
问题1：点P到三个顶点的距离都是14，则点P在平面ABC上的射影在哪里?你还能有其它等价的命题吗?
问题2：点P到三边的距离相等，则点P在平面ABC上的射影在哪里?你还能有其它等价的命题吗?
问题3：如果PAPB，PAPC ，PBPC，则点P在平面ABC上的射影在哪里? 你还能有其它等价的命题吗?
问题4：对于本题，一般用什么方法求的外接圆半径比较好?这种方法在哪里也是经常要用到的?
对于问题3师生共同探究了命题：四面体P一ABC中，若PABC，PBAC，则①点P在底面ABC上的射影是的垂心；②PCAB。
通过上述四个问题的解决，学生复习巩固了：(1)如果三棱锥的三条侧棱相等或侧棱与底而所成的角相等，那么顶点在底面上的射影一定是底面三角形的外心；如果三棱锥的三个侧面与底面所成的二面角相等或顶点到底面各边距离相等且顶点在底面上的射影在底面三角形的内部，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的内心；如果三棱锥的三条侧棱两两垂直或有两组对棱垂直，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心。(2)用正弦定理求的外接圆半径，此方法在球问题中的求球心到截面距离也是常用的．另外，在讲问题1的等价命题时，笔者还顺便复习了当时，顶点P在底面ABC上的射影在的平分线上。通过上面的复习后，再由学生来解决例1已是相当容易了。

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例题的安排有非常强的示范性，首先体现了主要知识点的运用，体现通法通解，以起到加强双基的作用，再通过适当的变式引申、变式训练，以达到夯实双基、举一反三之效。例题的安排要体现教学解题方法的训练和解题技能的培养，要揭示例题的解题规律和体现例题的思想方法，分析例题前可适当回顾知识要点及解题的基本方法，以便例题的学习更自然、更轻松。选题要克服贪多、贪全，既要注意到对知识点的覆盖面，又要能通过训练让学生掌握规律，达到“以一当十”的目的。
二、 例题的选择要有可行性。
    即应在学生“最近发展区”内进行选择，不宜过易也不宜过难，要把握好“度”。选择的例题可分步设问，由浅入深，由易到难，使学生掌握新东西，提高解题能力。
例2  已知方程
⑴证明x=1是方程的根；
⑵把方程左端分解成（x-1）和x的二次三项式乘积形式;
⑶当m为何值时，方程有两个等根。
解：⑴把x=1代入原方程左边，得1–(2m+1)+(3m+2)-m-2=1-2m-1+3m+2-m-2=0故x=1是方程的根;   
⑵原方程变形为(x-1)[x2-2mx+(m+2)]=0 ；
⑶若方程有两个等根，可能是1和1，则在x2-2mx+(m+2)=0中，必有一个根为1，代入上列方程，得12-2m·1+(m+2)=0  即m=3；或者在  x2-2mx+(m+2)=0中就有两个等根，故 △=    ∴m=2或m＝-1
    通过解该题，学生对方程根的概念与根的性质有所了解，并能初步综合运用。
例题的配备要有阶梯性。要注意题型的划分，习题类型一般有基础知识型、基本方法型、综合提高型、创新应用型等，在难度上要有低、中、高三级题型，这三级之间还应插入级与级之间的“缓冲”习题，形成“小坡度、密台阶”习题，这样安排有利于学生在“发现区”内解题，利于学生“步步登高”，利于学生树立解题的必胜信心。我们坚决反对把难题放在前面，坚决反对把整套习题安排得太难，要避免打击学生做题的积极性。适当安排综合提高型和创新应用型习题，有利于基础较好的学生的学习和提高。习题的安排，既要体现知识与方法，也要体现能力培养与积极性调动。
三、 例题的选择要有研究性。
    选择例题要精，要有丰富内涵，既要注重结果，更要注重质量，以期“一题多解，达到熟悉；多解归一，挖掘共性；多题归一，归纳规律。”
如高三“圆锥曲线”部分的一堂习题课上，我提出
问题1：已知双曲线x2－y2=1和的斜率为的直线交于A、B两点，当变化时，线段AB的中点M的坐标（x,y）满足的方程是              。   
学生多数从条件出发，设出直线方程，用k表示M的坐标，消参数得y=2x,我在肯定学生的解法的基础上，作这样的分析：该问题的条件和结论中涉及到弦的中点和斜率，因而可以考虑采用一种“设而不求”的方法来解决问题。逐步引导得出以下解法：

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解：设点A（x1, y1），B（x2,y2）
    ∵点A、B在双曲线x2－y2=1上
∴x12－y12=1                x22－y22=1       ‚
∴‚－得（x22－x12）－（y22－y12）=0
即 － ×=0 ( x1 ≠x2)
由条件知：k= ,
代入上式得： ∴所求点的轨迹方程是y=2x 。
再引导学生分析、归纳该解法的适用条件，并命名为“点差法”。有了这样的基础知识，我紧接着提出下列问题：
问题2：若椭圆mx2+ny2=1与直线x+y－1=0交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值等于              。
问题3：中心在原点，焦点坐标为（0，±）的椭圆被直线3x―y―2=0
截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为             。
学生根据刚学到的知识，对照条件不难得到如下分析.
问题2分析：该问题的条件中涉及到弦的中点和斜率，因而也可以考虑采用“点差法”解决问题.从而所求的= 。
问题3解析：由椭圆的焦点坐标可得：c2=50=a2―b2, 将中点横坐标代入直线方程可得中点坐标为（，），运用弦的中点和弦所在直线的斜率的关系，设出弦的端点坐标代入椭圆方程，可得到关于a2、b2的另一个方程.从而可得所求椭圆方程为。
通过前3个问题的解析，学生对“点差法”有了一定感性的认识，但此时学生的思维仍不够深刻，即遇到稍复杂的问题仍不能灵活运用该方法。为了提高学生思维的深度，我设计了这样两个稍微复杂的问题：
问题4： 已知直线L交椭圆4x2+5y2=80于M、N两点，椭圆与y轴的正半轴交于B点，若△BMN的重心落在椭圆的右焦点上.求：直线的方程.
问题5：已知某椭圆的焦点是F1(-4,0)、F2(4,0),过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B,且|F1B|+|F2B|=10.椭圆上不同的两点A（x1 ，y1）、C（x2 ，y2）满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列
（1）求该椭圆的方程；
（2）求弦AC中点的横坐标；
（3）设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m,求m的取值范围.
让学生独立思考后，我开始提问，学生果然有困难，我便针对学生提出的“坎”分析，引导他们得到如下思路：
问题4分析：由条件中的重心坐标，可得弦MN的中点坐标，因而要求直线方程，只需求出直线的斜率，这样“点差法”的使用条件已有。

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问题5分析：该问题综合考查二次曲线的定义、等差数列的定义、弦的中点问题和直线与圆锥曲线的关系，是解析几何中的综合问题。问题（1）由椭圆的定义和条件易得椭圆方程为问题（2）根据椭圆的第二定义和|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列可得弦AC中点的横坐标为4；问题（3）较难，但由问题（2）的结论联想“点差法”可得直线AC的斜率与AC弦中点纵坐标的联系，进而可与m建立联系，由－<y0< 得m的范围是（－，）.在此基础上再让学生动笔练习。
四、例题的选择要注意对课本例习题的挖掘，要利于考点的呈现。
课本例题均是经过专家多次筛选后的精品，而我们的高考试题有时产生的背景来源于课本的例习题。高三复习课中，我们应精心设计和挖掘课本例题，编制一题多解、一题多变、一题多用的例题，提高学生灵活运用知识的能力。
复习课中例题选择题目必须有一定的基础性、针对性、示范性、可行性和研究性，要活用资料，不要照搬资料，并针对学生的实际、大纲、考试说明的要求，精心挑选题目。要选择一些能“牵一发而动全身”的题目供师生共同进行探究，帮助学生从中找出规律与方法，达到解一题，通一类，带一串。精选一些一题多解、一题多变和可以引申推广的题目让学生进行训练、研究，以开阔学生思路，使学生通过复习有新的收获，新的体会和新的提高。

浅谈高三数学复习课中例题教学的选择
琼中中学张辉  2015—2016学年度第二学期
【摘 要】复习课是一种重要的课型。“复习课如何上好?”是每一位数学教师必须面对的一个问题，尤其是高三复习课是高三数学教学的重点，更是特别关注的焦点。在高三，由于时间的紧促，不允许我们向讲授新课一样开展教学，这就对复习课提出了更高的要求：既要让学生在课堂上巩固基础知识、熟练掌握基本解题方法，又要保证复习进度，还要吸引学生的学习积极性。其实，这些要求最后都归结为复习课上选择的例题。因此，例题的选择是否恰当对复习课的成败是至关紧要的。
【关键词】复习课 例题选择
      美国著名数学教育家波利亚说：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域”，由此可见，教师在选择例题是要严格把关，慎之又慎，因为“例题是教学成功的开始”。本文试以笔者在高三教学中的实践，来谈谈复习课中例题选择的一些体会，供各位同行参考。
一 、例题的选择要有针对性和示范性。
所选例题要有利于解题结论(或基础知识)的回顾。即要针对教学目标、针对知识点、针对学生的学习现状。数学的重点内容与概念是“双基”教学的核心内容，因而选择的例题要针对重点内容与概念，巩固“双基”，提高能力。
例1  已知中，AB= 9，AC= 15，，它所在平面外一点P到三个顶点的距离都是14，求点P到平面ABC 的距离。
波利亚说过：“货物充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本”。因此，在复习课中教师都会自觉或不自觉地将解题结论(或基础知识)穿插进来。但如果教师只是将内容一一列举，学生却会认为这些知识以前学过，还不如自己看书, 此时，他们就会感觉这样的上课单调乏味，提不起上课的兴趣和积极性，而在实际解题中却是经常出错的。因此，解题结论(或基础知识)的回顾要寓于例题中。例如对于例1，在教学中笔者并没有急于让学生完成问题的解答，而是从题中的一个已知条件(平面外一点P到三个顶点的距离都是14)和解题过程中的一种解题方法(用正弦定理求的外接圆半径)出发，先复习解决立体几何问题经常要用到的几个重要解题结论，即要求学生依次解决以下几个问题：

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问题1：点P到三个顶点的距离都是14，则点P在平面ABC上的射影在哪里?你还能有其它等价的命题吗?
问题2：点P到三边的距离相等，则点P在平面ABC上的射影在哪里?你还能有其它等价的命题吗?
问题3：如果PAPB，PAPC ，PBPC，则点P在平面ABC上的射影在哪里? 你还能有其它等价的命题吗?
问题4：对于本题，一般用什么方法求的外接圆半径比较好?这种方法在哪里也是经常要用到的?
对于问题3师生共同探究了命题：四面体P一ABC中，若PABC，PBAC，则①点P在底面ABC上的射影是的垂心；②PCAB。
通过上述四个问题的解决，学生复习巩固了：(1)如果三棱锥的三条侧棱相等或侧棱与底而所成的角相等，那么顶点在底面上的射影一定是底面三角形的外心；如果三棱锥的三个侧面与底面所成的二面角相等或顶点到底面各边距离相等且顶点在底面上的射影在底面三角形的内部，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的内心；如果三棱锥的三条侧棱两两垂直或有两组对棱垂直，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心。(2)用正弦定理求的外接圆半径，此方法在球问题中的求球心到截面距离也是常用的．另外，在讲问题1的等价命题时，笔者还顺便复习了当时，顶点P在底面ABC上的射影在的平分线上。通过上面的复习后，再由学生来解决例1已是相当容易了。
例题的安排有非常强的示范性，首先体现了主要知识点的运用，体现通法通解，以起到加强双基的作用，再通过适当的变式引申、变式训练，以达到夯实双基、举一反三之效。例题的安排要体现教学解题方法的训练和解题技能的培养，要揭示例题的解题规律和体现例题的思想方法，分析例题前可适当回顾知识要点及解题的基本方法，以便例题的学习更自然、更轻松。选题要克服贪多、贪全，既要注意到对知识点的覆盖面，又要能通过训练让学生掌握规律，达到“以一当十”的目的。
二、 例题的选择要有可行性。
    即应在学生“最近发展区”内进行选择，不宜过易也不宜过难，要把握好“度”。选择的例题可分步设问，由浅入深，由易到难，使学生掌握新东西，提高解题能力。
例2  已知方程
⑴证明x=1是方程的根；
⑵把方程左端分解成（x-1）和x的二次三项式乘积形式;
⑶当m为何值时，方程有两个等根。
解：⑴把x=1代入原方程左边，得1–(2m+1)+(3m+2)-m-2=1-2m-1+3m+2-m-2=0故x=1是方程的根;   
⑵原方程变形为(x-1)[x2-2mx+(m+2)]=0 ；
⑶若方程有两个等根，可能是1和1，则在x2-2mx+(m+2)=0中，必有一个根为1，代入上列方程，得12-2m·1+(m+2)=0  即m=3；或者在  x2-2mx+(m+2)=0中就有两个等根，故 △=    ∴m=2或m＝-1
    通过解该题，学生对方程根的概念与根的性质有所了解，并能初步综合运用。
例题的配备要有阶梯性。要注意题型的划分，习题类型一般有基础知识型、基本方法型、综合提高型、创新应用型等，在难度上要有低、中、高三级题型，这三级之间还应插入级与级之间的“缓冲”习题，形成“小坡度、密台阶”习题，这样安排有利于学生在“发现区”内解题，利于学生“步步登高”，利于学生树立解题的必胜信心。我们坚决反对把难题放在前面，坚决反对把整套习题安排得太难，要避免打击学生做题的积极性。适当安排综合提高型和创新应用型习题，有利于基础较好的学生的学习和提高。习题的安排，既要体现知识与方法，也要体现能力培养与积极性调动。
三、 例题的选择要有研究性。
    选择例题要精，要有丰富内涵，既要注重结果，更要注重质量，以期“一题多解，达到熟悉；多解归一，挖掘共性；多题归一，归纳规律。”
如高三“圆锥曲线”部分的一堂习题课上，我提出
问题1：已知双曲线x2－y2=1和的斜率为的直线交于A、B两点，当变化时，线段AB的中点M的坐标（x,y）满足的方程是              。

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学生多数从条件出发，设出直线方程，用k表示M的坐标，消参数得y=2x,我在肯定学生的解法的基础上，作这样的分析：该问题的条件和结论中涉及到弦的中点和斜率，因而可以考虑采用一种“设而不求”的方法来解决问题。逐步引导得出以下解法：
解：设点A（x1, y1），B（x2,y2）
    ∵点A、B在双曲线x2－y2=1上
∴x12－y12=1                x22－y22=1       ‚
∴‚－得（x22－x12）－（y22－y12）=0
即 － ×=0 ( x1 ≠x2)
由条件知：k= ,
代入上式得： ∴所求点的轨迹方程是y=2x 。
再引导学生分析、归纳该解法的适用条件，并命名为“点差法”。有了这样的基础知识，我紧接着提出下列问题：
问题2：若椭圆mx2+ny2=1与直线x+y－1=0交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值等于              。
问题3：中心在原点，焦点坐标为（0，±）的椭圆被直线3x―y―2=0
截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为             。
学生根据刚学到的知识，对照条件不难得到如下分析.
问题2分析：该问题的条件中涉及到弦的中点和斜率，因而也可以考虑采用“点差法”解决问题.从而所求的= 。
问题3解析：由椭圆的焦点坐标可得：c2=50=a2―b2, 将中点横坐标代入直线方程可得中点坐标为（，），运用弦的中点和弦所在直线的斜率的关系，设出弦的端点坐标代入椭圆方程，可得到关于a2、b2的另一个方程.从而可得所求椭圆方程为。
通过前3个问题的解析，学生对“点差法”有了一定感性的认识，但此时学生的思维仍不够深刻，即遇到稍复杂的问题仍不能灵活运用该方法。为了提高学生思维的深度，我设计了这样两个稍微复杂的问题：
问题4： 已知直线L交椭圆4x2+5y2=80于M、N两点，椭圆与y轴的正半轴交于B点，若△BMN的重心落在椭圆的右焦点上.求：直线的方程.
问题5：已知某椭圆的焦点是F1(-4,0)、F2(4,0),过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B,且|F1B|+|F2B|=10.椭圆上不同的两点A（x1 ，y1）、C（x2 ，y2）满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列
（1）求该椭圆的方程；
（2）求弦AC中点的横坐标；
（3）设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m,求m的取值范围.
让学生独立思考后，我开始提问，学生果然有困难，我便针对学生提出的“坎”分析，引导他们得到如下思路：
问题4分析：由条件中的重心坐标，可得弦MN的中点坐标，因而要求直线方程，只需求出直线的斜率，这样“点差法”的使用条件已有。
问题5分析：该问题综合考查二次曲线的定义、等差数列的定义、弦的中点问题和直线与圆锥曲线的关系，是解析几何中的综合问题。问题（1）由椭圆的定义和条件易得椭圆方程为问题（2）根据椭圆的第二定义和|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列可得弦AC中点的横坐标为4；问题（3）较难，但由问题（2）的结论联想“点差法”可得直线AC的斜率与AC弦中点纵坐标的联系，进而可与m建立联系，由－<y0< 得m的范围是（－，）.在此基础上再让学生动笔练习。
四、例题的选择要注意对课本例习题的挖掘，要利于考点的呈现。
课本例题均是经过专家多次筛选后的精品，而我们的高考试题有时产生的背景来源于课本的例习题。高三复习课中，我们应精心设计和挖掘课本例题，编制一题多解、一题多变、一题多用的例题，提高学生灵活运用知识的能力。
复习课中例题选择题目必须有一定的基础性、针对性、示范性、可行性和研究性，要活用资料，不要照搬资料，并针对学生的实际、大纲、考试说明的要求，精心挑选题目。要选择一些能“牵一发而动全身”的题目供师生共同进行探究，帮助学生从中找出规律与方法，达到解一题，通一类，带一串。精选一些一题多解、一题多变和可以引申推广的题目让学生进行训练、研究，以开阔学生思路，使学生通过复习有新的收获，新的体会和新的提高。