欣赏图形外在美 感受教学内在美——小学数学三角形与四边形分类优秀案例

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一、案例背景

1．教材背景

在“三角形与四边形分类”的教学中，已经初步具有了等腰、等边三角形的特征认识，但是教材中只是通过用2根、3根相同颜色的小棒分别能搭出等腰三角形、等边三角形，仅仅通过对边的研究说明了等腰、等边三角形边的特征，没有进一步通过角和对称性的研究说明特征，因此为了让学生能整体认识等腰、等边三角形的特征，教师尝试让学生思考用量一量、折一折等方法，验证等腰、等边三角形的边、角、对称性的特征，帮助学生建立起结构意识和结构化思维方式，经历不完全归纳过程，培养学生的研究意识和能力。

基于对教材的理解和分析，我将本课的教学目标定为：

知道等腰、等边三角形的特征。

建立、形成研究意识，学习按照步骤独立开展研究活动，在举例中学习特征研究。

学习用规范、简洁的数学语言准确严密地表述结论。

2．学生背景

学生对等腰、等边三角形的特征并非完全陌生，在学习三角形和四边形分类时学生就已初步了解，学生也在学习长、正方形的特征研究时通过对边和角进行特征证明，初步具备了学习方法的结构支撑。但是学生在研究等腰、等边三角形的关系时，学生可能会存在一般认识到特殊认识的割裂，这需要教师的有效引导，指导学生用规范，简洁的数学语言表述结论，帮助学生建立从上位概念到下位概念的的建构过程。

二、案例过程与反思

1．【片段一】 等腰三角形的特征认识

①复习长、正方形的特征与研究方法。

②揭题：等腰三角形、等边三角形的特征认识。

③发现等腰三角形的特征。

师：（出示一个等腰三角形）等腰三角形有哪些特征呢？（利用身边的工具，学生动手操作、交流）

④验证等腰三角形的特征。

师：是不是只有这个等腰三角形的2条腰相等，2个底角相等，是轴对称图形，有1条对称轴？（学生举例验证、反馈）

⑤归纳等腰三角形的特征。

师小结：等腰三角形2条腰相等，2个底角相等，是轴对称图形，有1条对称轴。

⑥沟通等腰三角形与三角形的关系。

师：等腰三角形与三角形之间有怎样的关系呢？（学生独立思考、交流）

师小结：等腰三角形是特殊的三角形。

【设计意图】“长程两段”教学策略的合理运用

整节课主要运用了“长程两段”的教学策略：其中既有年段的“教结构”“用结构”也就是二年级《长、正方形的特征认识》是“教结构”，《等腰、等边三角形的特征认识》是“用结构”；其中也有一节课环节中的“教结构”“用结构”也就是“等腰三角形的特征认识”是“教结构”，先让学生从一个等腰三角形入手，运用量一量、折一折的方法，对边、角和对称性进行研究发现特征；再用大小不同、类型不同的多个等腰三角形验证特征；然后归纳总结等腰三角形的特征；最后将等腰三角形与三角形比较沟通明白关系；让学生经历“个例发现——验证一般——归纳总结——比较关系”的学习过程，清晰研究结构，“等边三角形的特征认识”是“用结构”。

【教学反思】  课堂节奏把握上还需更紧凑些

在从定义出发确定等腰三角形的小环节上，我处理的比较拖沓，没有必要让学生板演确定过程并小结确定方法，而是可以在学生操作的过程中给予过程性的指导即可，因为从定义出发确定等腰三角形并不是这节课的学习重点也不是学生的困难点，所以节奏可以再紧凑些，将宝贵的时间用在特征的探究上，也就不会出现时间不够用了。



2．【片段二】 等边三角形的特征认识

①回顾等腰三角形的特征认识学习过程。

师：刚才我们通过画一画、折一折的方法，对等腰三角形的边、角、对称性进行了探究，经历了“个例发现——验证一般——归纳总结——比较关系”的学习过程，知道了等腰三角形的特征。

②等边三角形的特征认识。

师：请你用刚才学习等腰三角形的方法找出等边三角形的特征，并加以证明，最后归纳特征。（利用身边的工具，学生动手操作、交流）

③示范等边三角形特征验证过程。

师小结：等边三角形3条边相等，3个角相等，是轴对称图形，有3条对称轴。

④沟通等边三角形与等腰三角形的关系。

师：等腰三角形与等边三角形之间有怎样的关系呢？（学生独立思考、交流）

师小结：等边三角形是特殊的等腰三角形。

【设计意图】知识结构与方法结构的有机体现

在“个例发现——验证一般——归纳总结——比较关系”的学习过程中，每个学生手中的等腰三角形是大大小小不同类型的，不仅让学生经历了不完全归纳的过程，还给予学生类型意识。在学习“等边三角形的特征认识”时，与学生一起回顾“等腰三角形的特征”的学习过程，用学习等腰三角形特征的方法自主探究等边三角形的特征，开放度比较大，让学生初步形成研究意识。这样设计旨在让学生建立起结构意识和结构化思维方式，培养学生的研究意识和能力。之后要求学生完整的、严谨的从边、角、对称性说出等腰、等边三角形的特征，以及三角形、等腰三角形、等边三角形3者比较关系。

【教学反思】学生资源处理上还需更敏感些

学生在具体操作过程中都能体会到对折三次后的特征，既然这样，这就没有必要让一个学生板演对折三次再电脑演示对折三次，随后追问“一定要对折三次才能发现这些特征吗？”再根据电脑演示推导过程，而是可以在学生动手操作后请一个学生板演，当这名同学对折两次后准备对折三次时就该追问，因为在巡视学生动手操作时已经发现大多数学生都能通过对折三次发现并验证特征已经不是困难点，那就应该提高学生思维，及时跟进给予推导的方法。

3．【片段三】一般三角形、等腰三角形、等边三角形的关系认识

①有三个圆圈分别表示三角形、等腰三角形、等边三角形，你认为三个圆分别表示什么三角形？怎样摆放最能体现它们之间的关系？

②直角三角形应该放在哪里？为什么？

③我们已经研究了一般三角形和特殊三角形的特征关系，研究了一般四边形和特殊四边形的特征关系，我们还可以用这个方法研究什么图形呢？

【设计意图】学生学习方法和语言表达的日常渗透

整节课除了注重结构意识之外，还注重学生学习方法和语言表达的日常渗透。特别是在三角形、等腰三角形、等边三角形3者比较关系的处理上，在第一次比较关系时，有意识的问学生“等腰三角形一定是三角形吗？三角形不一定是等腰三角形吗？谁的范围大？谁的范围小？”用这样的语言给予学生正向、逆向的语言表述。到第二次比较关系，有意识的让学生在刚才语言表述的基础上有所提高，要求学生能自觉运用“什么三角形一定是什么三角形，什么三角形不一定是什么三角形，什么三角形范围大，什么三角形范围小”的语言表述。到第三次比较沟通，完全放开，重心下移，这样不仅是语言表达的培养，更是对图示、关系的进一步理解。也体现了学生从对三角形特征的模糊认识到最后的清晰认识的变化过程。

【教学反思】教师语言表达上还需更简练些

学生的表达是学生思维的体现，学生怎样对图形的特征作充分的感知，这里一定是过程在前，结论在后，而学生往往在表述时，先把验证的结果体现出来，而后再说明过程，是怎样发现的，所以在“教结构”中老师的语言表述一定要具有指导意义、一定要简练数学化，让学生对老师的语言有感触，久而久之学生的语言表达效果会更好。

三、案例启示

“新基础教育”强调通过开发数学学科的育人资源来实现数学学科独特的育人价值。探究性学习是实现这一目标的途径之一，《等腰三角形、等边三角形的特征认识》正是一节形探究课。通过探究性学习，旨在让学生掌握数学知识，更重要的是感受和学习数学思想方法，初步形成研究意识和主动学习的心态。这不仅需要教师具有对数学教材进行加工和重组的意识和能力，还需要教师有清晰的数学知识结构、学生学习方法结构和课堂教学过程结构的意识，并通过“长程两段”的教学策略才能具体落到实处。

1．知识结构之美——“长程两段”式教学策略的前提

把知识结构仅仅理解为严格遵循教科书编排体系中知识学习的顺序，其实是忽视了知识之间内在联系。教材将长、正方形的特征认识和等腰、等边三角形的角的特征认识编排在二年级教学，等腰、等边三角形的边、对称性的特征认识编排在三年级教学，这是基于学生认识这些概念的年龄特征的需要。但是，如果意识不到这些分布在不同年级的内容是有内在联系的话，只是单一的按照教材进行“点”状教学，忽视了知识整体之间的结构关系，学生因而也不容易在这样的教学中建立起知识结构体系，更不用说通过数学教学实现其独特的育人价值。

在《等腰三角形、等边三角形边的特征认识》教学中，我紧紧抓住平面图形之间的内在联系：二年级的长、正方形，整体感悟，把握图形特征研究最基本的角度与方法，用画一画、量一量、折一折的方法从边、角2个角度研究。三年级的三角形，从内涵上寻找这个图形边、角、对称性的特征，从外延上把握这个图形与相关图形关系概括。看来，从更深层次的认识和开发知识的内在结构，跳出知识点教学的认识框架，以一个教学单元或者一个教学长段为整体，把知识之间的内在结构联系起来，是用“长程两段”教学策略进行教学的前提。

2．方法结构之美——“长程两段”式教学策略的呈现

在明确目标和确定内容的基础上，新基础教育改变了以往演绎规律、记忆规律、运用规律的思维方式，花大力气对教材中的知识按照知识结构体系以及人发现认识的过程进行了整合与激活，并对“探究性学习”的课堂教学形态展开了积极的实践探索。“长程两段”教学策略需要教师对现有教学材料进行重组，按知识内在的逻辑组成结构链，将每一结构单元或每一节课的学习分为“教结构”和“用结构”。“长程两段”教学策略根据教学时间单位可以分为以下两种类型：一种是一个单元或一个教学长段内的“教结构”“用结构”；另一种是一节课内的“教结构”“用结构”。

在《等腰三角形、等边三角形边的特征认识》教学中，其中既有年段的“教结构”“用结构”也就是二年级《长、正方形的特征认识》是“教结构”，把握图形特征研究最基本的角度与方法，能用画一画、量一量的方法从边、角2个角度研究。今天《等腰、等边三角形的特征认识》是“用结构”，在原有研究角度与方法的基础上增加新的研究角度与方法。其中也有一节课环节中的“教结构”“用结构”也就是“等腰三角形的特征认识”是“教结构”，先让学生从一个等腰三角形入手发现特征；再用大小不同、类型不同的多个等腰三角形验证特征；然后归纳总结等腰三角形的特征；最后将等腰三角形与三角形比较沟通明白关系；让学生经历“个例发现——验证一般——归纳总结——比较关系”的学习过程，清晰研究结构。“等边三角形的特征认识”是“用结构”，用学习研究等腰三角形特征的方法自主研究等边三角形的特征。这些设计都旨在使学生形成初步的研究意识和主动学习的心态。

3．语言表述之美——“长程两段”式教学的关键

教师要通过追问、启发、点拨、提炼等积极有效的回应反馈，帮助学生掌握探究性学习的具体方法。一般来说，教师的语言要是促进学生关于方法的理解与掌握的提问；要是促进学生类比联想并产生积极探究欲望的提问；要是进一步放大思考的空间，并促进学生反思和探索的提问。

在《等腰三角形、等边三角形边的特征认识》教学中，例如“你怎么知道这是一个等腰三角形？等腰三角形有哪些特征呢？是不是只有这个等腰三角形具有这样的特征？”学生对老师出示的三角形到底是什么三角形并不清楚，但通过操作从定义出发可以得知是等腰三角形，然后再对它的边、角、对称性进行研究得出等腰三角形的特征，让学生经过个例发现——验证一般——归纳总结——关系比较的学习过程，教师的语言直指教学重难点。又如“请你用刚才学习等腰三角形的的方法找出等边三角形的特征，并加以证明，最后归纳特征。”学生通过对等腰三角形的特征认识，具备了学习方法，以开放问题引导学生主动对发现验证。验证时，选取材料广泛，图形大小多样。验证过程也是学生逐步明晰图形特征的过程。教师的语言引导学生类比思想和迁移能力的培养发展。再如“有三个圆圈分别表示三角形、等腰三角形、等边三角形，你认为三个圆分别表示什么三角形？怎样摆放最能体现它们之间的关系？”通过对两种特殊三角形的特征分析验证，明确三种三角形的关系，教师的语言为学生提供更大的探索空间。



总之，“新基础教育”树立教学的整体思想，把各种要素组织成为一个融会贯通的整体；从整体上分析知识之间的内在联系，根据知识结构关系对教学行为进行系统整体策划，使教学由原来点状教学转化为结构的教学。