小学教师论文 数学基本活动经验：问题、内涵及习得策略

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摘  要：当下数学基本活动经验的教学，主要存在的问题是：“数学味”的缺失、儿童主体的缺席以及教师成人经验的越位等。基于儿童数学基本活动经验的数学化特质、活动性特质、经验性特质，可以从探寻儿童数学活动的“前经验”、组织儿童“思维操作性经验”、寻求数学活动“替代性经验”以及提升数学活动“策略性经验”等诸方面谋求儿童数学基本活动经验的习得。
关键词：基本活动经验  特质  习得



《义务教育数学课程标准（2011年版）》将“数学基本活动经验”列入课程总体目标之中：“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”这一数学教育价值目标的调整表明，我们对数学知识的本质理解发生了根本性变化：数学知识不仅包括被整个数学共同体所认同的“客观性知识”（科学形态的表征），而且包括从属于儿童自己的“主观性知识”（个体认知的表征），即带有鲜明个体认知特征的数学基本活动经验。
一、点击现状：当下儿童数学基本活动经验教学的主要问题
现状一：数学活动中“数学味”的缺失。
当下的一些数学活动尽管重视了儿童多样化的“个人体验”，但却缺少了应有的“数学化”过程。数学活动中“数学味”的缺失，并未使儿童获得有价值的活动经验！例如，教学苏教版五年级上册《周期现象的规律》时，一位教师任由学生用实物、图形、符号表征周期现象、解决周期问题，而对周期问题的抽象算法只是蜻蜓点水，一带而过。以至于到“检测反馈”环节，有学生仍然在尝试用“画图”的策略解决问题。教师没有引导儿童对周期现象“数学化”，儿童因此没有理解“周期现象”的数学本质──“有多少组，还余多少个”。如此的数学活动，儿童模仿了“经历”的“形”，而未真正获得其“神”。
现状二：数学活动中“儿童主体”的缺位。
人学思想进入教育的视野，数学教学因此有了对儿童数学活动主体性的重视。但我们发现：许多数学活动仅仅是让儿童“走过场” ──数学活动材料单薄、活动形式单一，儿童“被经历”现象明显。如一位教师教学苏教版四年级下册《搭配的规律》，首先出示一张某食堂的菜谱让学生一荤一素搭配，引导学生猜想；然后让学生用图形、符号表示荤菜和素菜进行搭配验证；接着就让学生讨论概括荤菜的种类、素菜的种类与一共有多少种搭配的方法之间的关系，儿童“行色匆匆”。教师没有展现儿童“无序列举”的混乱、繁杂和“有序列举”的简捷、从容，数学思考的力度柔弱。这样的活动其实是“儿童主体”缺位的“被活动”！
现状三：数学活动中“成人经验”的越位。
所谓“成人经验越位”是指教师以其本身的经验来推断儿童的理解水平。从成人的视角出发，“想当然”地用教师经验替代儿童经验，忽视儿童的年龄与心理特征。如一位教师教学六年级“圆的周长”，将求半圆的周长公式进行推导：2πr÷2+2r =πr+2r，最终归结为：已知半径（r）求半圆的周长则用公式（π+2）r；如果已知直径（d）则得出半圆的周长公式为πd÷2+d =（π÷2+1）d 并要求儿童像圆的周长公式一样牢记，甚而要求解决问题时，先写公式再代入公式计算。这种教师自以为“更简便”、“更发展儿童思维经验”的方法其实是以 “成人经验”代替“儿童经验”。因为，相对于公式中的抽象符号，“圆周长的一半加一条直径的长”的语言文字表述更容易被儿童理解与掌握，更符合儿童的经验水平与认知能力。况且如果出现四分之一圆或其他情况，儿童将会生搬硬套公式，其结果思维被引向死胡同。
或许很多时候，我们的教学正行走在儿童数学基本活动经验的边缘，尽管我们一直没有忽视儿童的数学活动经验！
二、追寻本真：儿童数学基本活动经验的内涵及特质
（一）“经验”的内涵
“经验”一直是教育学、学习心理学等领域讨论的重要话题。按现代汉语词典解释，“经验”一词有两种词性：一为名词，指由实践得来的知识或技能；一为动词，指经历、体验，即怎样经验。美国教育家约翰·杜威在《民主主义与教育》中指出：“经验不仅包括人们做些什么和遭遇些什么，而且包括人们怎样活动和怎样受到反响的，他们怎样操作和遭遇……”他认为“一盎司经验胜过一吨理论”，“教育是在经验中、由于经验和为着经验的一种发展过程，教育即是经验的改造或改组” 。
（二）数学基本活动经验的特质
数学活动经验作为儿童经验的一部分，是基于动态的、可误的数学观。它既是知识，也是过程，介于缄默知识和显性知识之间──从静态上看是知识，是儿童对整个数学活动过程产生的认知、体验和感悟等；从动态上看是儿童的数学活动过程，是儿童的主动经历。
1．数学基本活动经验具有“数学化”特质。
数学活动必须有明确的数学特征、明晰的数学目标，所积累的经验一定要有“数学味”。数学活动要谨防“去数学化”倾向。比如“折纸活动”，既可以是美学欣赏，也可以是技能训练。但作为数学活动的折纸，其目标应指向数学，比如认识轴对称图形，认识长方形、正方形的特征，认识分数，认识圆等。
2.数学基本活动经验具有“活动化”特质。
活动是经验的源泉，经验是活动的产物。数学活动经验不仅在于累积知识，更在于数学活动本身。无论是外显的操作活动还是内隐的思维活动，都应是儿童主动经历的活动（尤其是思维活动），而不能是伪经历、被经历的活动。比如“折纸经验”只有让儿童充分经历“折纸活动”才能获得。教学“圆的认识”，笔者让学生将一张软纸对折、再对折；而后，从第三次对折开始，每次对折的折痕都经过第一次、第二次折痕的交点；直到对折不能进行为止。将折出的扇形的多余部分撕掉，保证将折叠的每层纸都撕掉，而且撕口线尽可能平整。将剩余的部分打开铺平，学生看到了一个近似于圆形的纸片。经过充分的折纸活动，儿童对于“圆”概念的理解将是非常深刻的。
3．数学基本活动经验具有“经验性”特质。
数学活动经验是儿童的“个体知识”，与儿童的观察、操作、实验、猜想、验证等活动过程联系在一起，并产生于这些活动过程之中。与形式化的“客观知识”比较，数学基本活动经验缺乏明晰的结构体系──既没有明确的逻辑起点，也没有明显的逻辑结构，而是一种数学活动中积累的体验与感悟，是一种可意会难言传的经验习得，是知识性、体验性、观念性成分的“复合体”。教学“轴对称图形”，笔者让学生做“汉字、字母与轴对称图形”的小课题研究；教学“利息”，笔者让学生比较“银行存款与购买保险哪个收益更高”；教学“——列举的解决问题的策略”，笔者让学生设计“租车方案”等。这些活动激发了儿童的好奇心与求知欲，让儿童获得了成功体验和对数学美的感受！
三、寻获策略：如何让儿童习得数学基本活动经验
（一）探寻儿童数学活动的“前经验”，让儿童获得“数学化体验”
每一经验都有取之于过往经验，同时也以某种方式改变着以后经验的性质。在任何情况下，经验总有一定的连续性。因此，我们要探寻儿童的“前经验”。儿童的数学“前经验”不仅包括数学“结构性知识”，更包括大量“非数学经验背景”。尽管儿童的“前经验”是模糊、零散的、可能还无明确的数学意义，但这种“前经验”是儿童“自己的经验”，是儿童开展数学活动不可或缺的基础。儿童玩过各种形状的积木，比过物体的长短、大小、轻重、厚薄、宽窄，看过钟表认过时间，分辨过方向，在口袋中随机摸过东西等等。数学活动要与儿童经验对接，帮助儿童理解经验的数学意义，把握经验的数学本质，让儿童模糊、零散的“前经验”清晰化、条理化、系统化。
教学“平均数”，笔者首先设计了多个儿童生活中的情景性问题，然后抽取相关因素帮助儿童抽象概括出“总数量÷总份数=平均数”的数量关系。比如“3筐梨的总重量÷筐数=平均每筐梨的重量”；“5个小朋友踢毽子的总数量÷小朋友个数=平均每个小朋友踢毽子的数量”；“全班同学数学测试的总分数÷全班同学数=本班的数学平均分”……。然后在儿童相关生活事例基础上进行“同一化抽象”，即抽象出数量关系的共同点，概括建立起“总数量÷总份数=平均数”的数学模型。在活动中，儿童经过“移多补少”的数学操作，感悟到：对于几个小数据的平均数，宜采用“移多补少”策略解决问题；而对于多个大数据的“平均数”，一般用概括起来的数学模型解决问题更简便。儿童数学基本活动经验就是在这样的从生活原型到数学模型，从具体到半具体、从半抽象到抽象的形式化过渡，是穿行于实物与算式间的“数学化”提升！
（二）组织手脑和谐共舞的“探究活动”，让儿童获得“过程性体验”
瑞士心理学家皮亚杰曾说：“儿童的思维是从动作开始的，切断动作与思维的联系，思维就不能得到发展。”数学探究是指围绕已有问题的解决而展开的数学活动，缺乏数学思维介入的行为操作活动是不会让学生获得丰富、生动的数学体验的。只有内隐思维的深度介入，外显的操作活动才会有数学意义。探究活动，从儿童的学习结果看是为了获得经验，而从过程看则是儿童积极的经验建构过程。
例如，四年级学生在探究三角形内角和是多少的活动中，既要行为操作（量角的度数，撕、剪或者折角、拼角），又要展开数学思考（怎样找到180°的角）。探究时，笔者先让学生通过三角尺的三个内角猜测三角形三个内角的和是180°，然后让学生说出平角的特征，两条边成一条直线的角是平角，唤醒学生的已有经验。接着让学生想办法将不同类型三角形的三个内角拼在一起进行验证。验证时，一是需要知道到哪里可以找到180°的角；二是需要知道怎样通过撕、剪或折角，将一个三角形的三个内角拼在一起形成180°的角。学生面临这些问题，必须融合行为操作与思维操作。
再如，教学“长方体的认识”，在学生初步探索了“长方体的特征”后，笔者设计了一个数学活动：为每个小组都准备了学具篮（里面有各种大小的纸板和胶带），让学生领取材料制作长方体模型。学生根据“相对的面完全相同”都能很快选择两个相同的面作“对面”，但却遇到“围不起来”的问题。这时，笔者引导学生思考交流，进一步明晰长方体的本质特征：三组不同的面不仅每两组面之间至少要有一条相同的棱，而且是长、宽、高的两两搭配，即长×宽、长×高和宽×高。
（三）寻求数学活动的“替代性经验”，让儿童获得“情感性体验”
当下不少教师在“活动经验”认识上存在误区，认为活动经验一定是儿童亲历所得。其实，亲历是获得数学活动经验的重要方式，但不是唯一方式。许多抽象程度高、变化精细、难于想象的数学知识是无法让学生亲身经历的。但儿童的数学思维由于其年龄特征、已有经验等因素的限制常常又需要一定的具体模型作支撑。20世纪美国学者戴尔(Edgar Dale)等人提出的“经验之塔”理论认为，当直接经验无法满足时，应该寻求观察经验作为“替代性经验”以弥补和替代直接经验的不足。教学中教师要充分整合板书演示、课件动画、录像、几何画板等各种教学手段与技术，为儿童提供和创造类似于“观察性经验”的“替代性经验”，让儿童由于现实操作条件限制而难于进行实物操作或模型操作而缺失的直接经验“可视化”，让儿童在观看、模仿、想象这些“替代性经验”中获得类似于亲临其境的实实在在的经历和体验。
教学“三角形的面积”，笔者利用多媒体课件先出示一个三角形，再复制、粘帖出完全相同的三角形，然后借助多媒体课件动态演示，平移、旋转、拼接成一个与三角形等底等高的平行四边形，直观演示让儿童轻松经历了三角形面积公式的推导思考过程。再如“圆的面积”推导，其方法是“割圆术”──平均分的份数越多，每一份小扇形就越接近“三角形”，拼成的图形就越接近“长方形”。当儿童通过操作，把圆先后平均分成4份、8份、16份、32份……然后拼成“非常近似的长方形”但还不是长方形时，笔者首先让儿童想象，然后适时播放课件，形象直观地演示“化曲为直”的动态变化过程。手工操作困难的图形推导借助信息技术的演示得到了具体直观的验证。儿童在观察过程中获得了“替代性经验”，一致得出了每一份小扇形“就是三角形”，拼成的图形“就是长方形”的结论，验证了想象、推理的结果，满足了心理需求，获得了积极的情感体验，充实了数学活动经验的具体内容。
（四）提升数学活动的“策略性经验”，让儿童获得“反思性体验”
荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为：只要儿童没能对自己的活动进行反思，他就达不到高一级的层次。善于对数学活动进行反思的儿童，他的数学直觉、数学感受力必然会随着经验的累积而增强。教师要引导儿童对“原初经验”进行自我反思：自己是怎样发现、解决问题的？获得了哪些数学思考方法？有什么好的经验？通过反思，儿童可以将低层次的活动经验进行提升，实现经验的改造和重组，并逐步生成新的经验。

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例如，教学“分数的意义”，笔者让学生把正方形纸折一折，表示出其中的二分之一。学生们给出的折法有很多，如图：

这时，笔者让学生观察比较：比一比，这四种折法有什么共同点？他们经过思考、交流发现：这些折痕都经过了正方形的中心点。之后，我让学生再次动手验证：“沿正方形的中心点对折，每一份是正方形的二分之一吗？”学生们又探索出新的折法，如图：

通过反思，学生把个别的、肤浅的实践经验提升为普遍的、抽象的理性经验，探索并认识到“只要沿正方形的中心点对折，其中一份就是二分之一”这一具有广泛意义的数学结论。

又如，教学苏教版六年级下册“圆柱的体积”，活动前，笔者让学生回顾圆的面积公式推导的活动过程，进而对圆柱体积的探究策略展开猜想。活动过程中，注意引领学生对活动过程进行回顾、审视：我的探究活动经过了哪些步骤？长方体的长、宽、高分别相当于原来圆柱的什么？底面积变化了吗？高变化了吗？得出公式后，笔者再次引领学生反思：如果将长方体横着放、竖着放、侧着放，底面积又该怎样表示？公式V=Sh也适用于长方体、正方体吗？公式V=Sh还适用于怎样的几何形体？通过探究我有什么收获（知识上、技巧上、思维策略上）？学生在这种“自我发问”式的省察中，所积累的数学活动经验更加清晰、连贯、确定与稳固。

数学基本活动经验不仅是数学课程的重要目标，而且是数学课程生成和发展的基础。教学中，教师要引导儿童动手动脑操作，自主探究新知，自觉反思感悟，让儿童获得“过程性体验”“情感性体验”与“反思性体验”，并最终获得高层次的、具备数学本质和发展价值的“图式经验”，个性化地建构自己的“数学课程”。

  

参考文献：

[1]黄翔，童莉．获得数学活动经验应成为数学课堂教学关注的目标[J]．课程•教材•教法．2008(1)

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