在初中数学教学中几何画板的实践探索

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在初中数学教学中几何画板的实践探索
【摘要】  本文总结了作者在几何画板和初中数学教学结合的一些尝试.重点阐述了在初中函数引入、探讨的过程中，几何画板对于学生加深理解和认识方面的作用和用法；以及在几何的图形变换方面，教学过程中的一些成功的案例。同时，也对几何画板辅助教学的适度和恰当进行了一些反思。
【关键词】  几何画板  初中函数  几何变换
近几年来,天津市实施初中新课程改革。新课改强调数学课程的设计与实施应重视现代信息技术的运用，特别要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。教育部部长助理、基础教育司司长李连宁在全国课程改革实验区信息技术教育研讨会上明确指出，不应当把信息技术仅仅作为学习的对象，而应当作为学习的工具，要努力实现信息技术与课程的整合，实现教学方式、学习方式的根本变革。
一、 几何画板直观的反映函数中两个变量的关系
例一：利用几何画板帮助学生理解函数与图像的关系，化抽象为具体。
函数及其图像对于初一的学生难于理解，为了展示图像对函数关系的动态反映，把抽象变为具体，以课堂演示 这条直线的形成为例。打开《几何画板》，建立坐标系，先在x轴上取点A，度量该点的横坐标，然后利用“度量”菜单中的“计算”功能计算出2x，“度量”菜单下的“绘制点”绘出点B（x,2x）,最后将点B设置为“显示”菜单下的“追踪绘制的点”。
师：图中的点B是满足 函数关系的点，大家知道这样的点有多少个吗？
生：无数个
师：这无数个满足 函数关系的点有什么特点呢？请大家仔细观察
（慢慢的拖动图1中的A点）
拖动的过程中请同学们注意变化的点B的横纵坐标的数值，是否满足 关系？
生：都满足。
师：这些点形成了什么图形？
生：点动成线，形成了一条直线。

图1
这个演示的两个作用：①帮助学生理解函数图像是由无数个满足函数关系的点形成的
                    ②弥补了描点法画图像只能由有限个点来猜测图像形状的弱点，仅仅是在纸上描点，学生不禁会问为什么图像就是直线呢？通过课件演示，学生清楚地看到了直线的形成过程，印象十分深刻。
例二：利用几何画板形象地反映双曲线的图像特点，深化对图像的理解。
反比例函数的图像双曲线的特点，学生也不好把握，什么叫“与坐标轴无限接近，但永不相交”？为了帮助学生理解双曲线的特点，可以利用几何画板来形象地展示这一特点。
首先建立坐标系，在x轴上取点A，度量该点的横坐标，然后利用“度量”菜单中的“计算”功能计算出 ，“度量”菜单下的“绘制点”绘出点B（x,  ），最后依次选中点A、B，选择“构造”菜单中的“轨迹”，完成双曲线的绘制。
师：当x>0 时，x越大， 的值如何变化？
生：x越大， 越小。

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师：大家能想象随着x的增大，点（x,  ）的变化吗？
（学生思索）
师（演示向右拖动图2中的点A），横坐标x的数值越来越大，大家观察双曲线上的点有什么特点？
生：向右运动，与x轴的距离越来越小。
师：图像上的点会与x轴相交吗？
生：不会，因为y不为0。
再观察双曲线与y轴的关系，师生共同总结双曲线特点：无限接近坐标轴，但永不相交。

图2
通过这样的演示，学生对双曲线的特点有了更加直观的感受和深刻的印象，同时更进一步帮助学生认识了函数和图像的关系。
例三：利用几何画板帮助学生理解函数的自变量的取值范围对函数图像的影响。
初学函数时，学生往往无法结合自变量的取值范围去画函数图像，比如函数
,同学容易画成直线而不是线段。
打开几何画板，在x轴上取 范围的线段，在线段上任取点A，度量该点的横坐标，然后利用“度量”菜单中的“计算”功能计算出2x，“度量”菜单下的“绘制点”绘出点B（x,-x+2）,最后将点B设置为“显示”菜单下的“追踪绘制的点”，并向坐标轴引垂线。

图3
师：（拖动图3中的点A）请同学们观察图中自变量x的取值范围？
生：
师：观察最左端点B能到达的位置，最右端能到达的位置？
生：最左端到点 ，最右端到点
师：观察点B形成的图像是什么形状的？
生：线段
师：为什么图像不是直线而是线段呢，这是由什么决定的？
生：由自变量限制在一定范围内决定。
通过几何画板的动态演示，学生在变化的点、变化的横纵坐标中去寻找规律，去理解自变量和自变量的函数这两个变量之间的关系，突破了传统教学无法展示点的变化，从而一切只能靠想象，而初一的学生抽象思维能力又比较弱的现实。通过几何画板的演示，将抽象的思维过程形象地展示出来，学生很容易接受。
二、        几何画板在初中图形变换方面的尝试
例一：利用几何画板展现平移、轴对称、旋转的动态过程。
初中阶段主要学习三种全等变换：平移、轴对称、旋转，一种相似变换：位似。这是新课改加强的部分，帮助学生从动态变换的角度去理解平面几何。在讲解《三角形全等的条件》时，设计这样一个问题去理解“全等变换”：
如图4，AB=DE，画出与⊿ABC全等的⊿DEF。
同学通过反复尝试、互相补充画出了四个三角形与⊿ABC全等（如图4）。

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图4
师：大家通过尝试得到了这四个三角形，那么现在我们来考虑一下它们是不是有章可循的呢？图中的绿色三角形是如何得到的？
（1）连接AD，在线段AD上取点M，依次选中点A、M，选择“变换”菜单下的“标记向量”，然后选中⊿ABC，选择“变换”下的“平移”，按标记的向量平移。
师拖动点M（图5），三角形开始平移，引导学生观察三角形动态的平移过程。

图5
生：图中的绿色三角形是通过平移得到的。
师：图中的红色三角形是如何得到的呢？
生：将图中的绿色三角形翻折得到的。
（2）双击DE，选中图中的绿色三角形（图6），选“变换”下的“反射”，作出红色三角形。

图6
师：图中的粉红色三角形是如何得到的呢？
（3）选中DE的中点，双击它，选择红色三角形，按标记的角度旋转180°。（如图7）
师引导学生观察三角形旋转的过程，
生：粉红色三角形是由红色三角形绕DE中点旋转180°得到的。
师：黑色三角形是如何得到的呢？
生：由粉色三角形翻折得到的。
通过几何画板动态的演示平移、旋转的过程，形象生动的反映了各种变换，加深了学生对全等变换的理解，同时也提示学生学会用全等变换的眼光去认识和看待图形。
例二：利用几何画板在变化中寻求特殊，发现解题的思路。
在初三总复习阶段有这样一道题：如图， 和 均为等边三角形，点O即是AC的中点，又是 的中点，求 的值。
打开几何画板，做等边 ，取AC中点O，再做等边 ，
生1：能不能将 的位置放到一个比较特殊的位置去研究线段的比值呢？
师在几何画板中选中点A1，拖动它，旋转 ，学生观察寻找特殊位置。
生2：让 点放到线段AC上是一个特殊位置。（如图8）
生3：让 放到AC上，会更简单。（如图9）
师：大家的想法很好，这是特殊值法。有没有一般位置的解题方法？
师生共同得到了构造相似三角形的一般解法。
师： 在旋转的过程中，这两个黄色三角形始终保持相似吗？ （学生思考）
师演示在几何画板中旋转 （图10-1，10-2），学生直观的看到，无论什么位置，这两个三角形始终相似。

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一道有一定难度的题目，在几何画板的帮助下，学生探索了图形的特殊位置，从中受到启发解决了问题，同时进一步研究了在变化的过程中不变的规律（三角形的相似关系不变）。学生经历了观察、猜想、从特殊到一般的思维过程，培养了学生的数学思维能力和创造力。
例三：利用几何画板探索图形的发展变化，寻求辅助线的规律。
（08年的天津市中考25题）
已知Rt△ABC中， ， ，有一个圆心角为 ，半径的长等于 的扇形 绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线 交于点M，N．
（Ⅰ）当扇形 绕点C在 的内部旋转时，如图①，求证： ；
思路点拨：考虑 符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ 沿直线 对折，得△ ，连 ，只需证 ， 就可以了．
（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
这是一道考察图形变换的几何证明题，学生对第二问的辅助线添加方法感到有些困难。如果学生能够从第一问到第二问的联系上，从旋转过程中图形中的量的变化和不变上去考虑，也许就要简单一些。
在讲解完第一问之后，可以利用几何画板将扇形旋转的过程展现出来，帮助学生梳理本题的思路，总结提升，从而得到第二问的辅助线：
师：在第一问中通过什么全等变换来构造的辅助线呢？
生：轴对称变换，翻折 和 ，构造全等三角形。
师：轴对称变换的目的？
生：将三条线段AM、BN、MN集中到了直角 中。
师：那么如果将扇形绕点C旋转一周，结论是不是不变呢？  （学生思考）
打开几何画板，做等腰三角形ABC和扇形CEF，双击CE，选中点A，选择“变换”下的“反射”，作出点A’，连接CA’，构造三角形MNA’。
师在几何画板中演示，选中点E，旋转扇形CEF，学生观察图中的红色三角形。（见下图）

生：无论扇形CEF旋转到什么位置，线段AM、BN、MN围成的三角形都是直角三角形，结论不变。
师：大家能发现红色三角形构造的规律吗？
生：都是翻折 和 ，构造全等三角形。
师：对，大家已经在变化的图形中找到了不变的规律，无论扇形的位置在哪儿，只需分别以CM、CN为轴翻折 和 ，构造全等三角形即可。
    通过这样的演示，训练学生在变化的图形过程中去观察、比较、归纳、总结图形的规律，即提高了学生学习几何的兴趣，也锻炼了学生在复杂变化的图形中去抓住本质规律的能力，提升了学生的数学思维品质。

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三、        几点反思
1、①几何画板让我们的数学教学更直观，以前我们只能在黑板上讲的东西现在可以用几何画板形象直观的展示出来，帮助学生理解，让学生的认识更深刻。
②同时，有趣漂亮的几何动画又让学生在感到新鲜之余体会到数学之美，发现数学不仅仅是一些枯燥的推理和计算，而是优美的图形，漂亮的结论。
③教师演示发现的过程，还可以启示学生去利用几何画板探索发现和创新。
2、①几何画板只是辅助我们教学的工具，“数学课应该教数学”的本质不能改变。比如前面的第一个例子中，几何画板虽然能直观的反映出函数图像，但它不能代替描点法，描点法是基础，课件演示是在此基础上的完善。
②什么时候用计算机辅助，怎么辅助是关键的问题。比如最后一个例子，要知道学生考试时是没有几何画板的，一切还是要靠大脑去推想，去想象。所以我们千万不能为了用课件而用课件，用几何画板替代了学生的思维训练和想象。