是补充，还是回避？

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一次教研活动中，笔者听了五位教师执教“认识角”一课，觉得教师们对“如何指角”以及“角的大小与边的长短无关”这两个知识点的理解有偏差。今年开学后，笔者认真学习了《小学数学教学》第1-2期黄为良老师撰写的《二年级（下册）教材修改说明》一文，又把二年级（下册）修订教材和前几年的教材进行了比较，觉得有必要就以上两个知识点的教学谈一些个人的看法。

    首先，就“如何指角”的问题，笔者以为教材可适当作些补充。

    五节课上，学生中出现了不同的指角方法，有的指顶点，有的指两条边。在实物上找角时，学生也大都指着尖尖的顶点说“这是一个角”。学生之所以出现不规范的指角方法，主要原因是教师课堂上没有明确的示范。五位教师为什么都没有想到示范指角的方法呢？据笔者课后了解，原来教材中没有给出指角的方法，《教师教学用书》中也没有进行补充，所以教师没有想到或者不敢补充。

    那么，怎样指角比较规范呢？这还得从什么是角说起。角是从一点引出的两条射线所组成的图形。角的整体图形应是一个顶点和叉开的两条边，角的大小是由两条边叉开的程度决定的。“顶点”“边”“叉开程度”是角的三大要素。根据角的本质特征，笔者使用了“画弧线”的方法指认角。第一课时，指导学生按如下顺序指认角：先指顶点，接着从顶点开始沿射线方向指两条边，最后画弧线。慢慢地，可以直接画弧线指认角。细心的教师可能会发现，二年级（下册）修订教材和前几年的教材比较，修订教材中很多角都补标上了弧线，修订后的《教师教学用书》中还有这样的说明：“……抽象出角的图形，并画出相应的角的标记”，“在物体的面上找角时，要提醒他们先找到角的顶点，再沿角的两条边分别指一指”。“画弧线”指认角的方法既强调了角有一个顶点和两条边，又渗透了角的大小与两条边叉开程度有关的特征，为后面教学角的大小比较、角的度量作了铺垫，应该补充。

    其次，“角的大小与边的长度无关”这一问题应回避。

    教材中虽然没有提及“角的大小与边的长度无关”这一知识点，但五位教师都将它列为本课的知识目标之一。为突破这一教学难点，还设计了相应的教学环节。下面是其中两位教师的设计。

    [教师A]

    师：（出示两个大小一样但边的长度不同的角）这两个角，哪个大？

    大部分学生都认为边长的那个角大，少数学生认为两个角一样大。

    师：比一比就知道谁对谁错了。

    多媒体演示：将两个角重合，得出“两个角一样大，角的大小与边的长度无关”。

    [教师B]

    师：（出示一个用硬纸做成的活动角，剪去一条边的一部分）角的一条边变短了，角的大小变化了吗？

    生：没有。

    师：（再剪去另一条边的一部分）另一条边也变短了，角的大小变了吗？

    生：没有。

    生：变了。（学生中出现了不同的声音）

    师：（语气加重）仔细观察，角的大小到底变了没有？

    生：没变。（“变了”的声音消失了）

    师生共同得出：角的大小与边的长度无关。

    从学生的课堂表现来看，二年级学生理解“角的大小与边的长度无关”有困难，即使后来学生异口同声地回答“不变”，是不是表示所有的学生都认同这一结论呢？这里不排除个别学生没有真懂，而是为了迎合老师，更不排除个别性格内向的学生心里认为“变了”，而迫于大家都在说“没变”的从众心理，不愿意表露自己的真实想法。由此可以看出，这些“经典”的教学活动难以真正促成学生对这一知识的意义建构。所以，笔者认为二年级学生还没有学习有关直线和射线的知识，让他们理解“角的大小与边的长度无关”违背了认知发展的规律，将这一知识点列为教学目标是不合适的，应该回避。

    值得高兴的是，黄为良老师撰写的《二年级（下册）教材修改说明》一文中明确提出了“适当降低比较角的大小的教学要求”，具体要求调整如下：第一，只要求学生通过观察，认识到角是有大小的，并初步学会依据观察的结果，直观地判断角的大小，而不要求学生比较大小相近的几个角的大小；第二，只要求学生通过用硬纸条做活动角以及观察扇面或剪刀打开与合拢的过程，初步体会角的大小与角的两条边叉开的程度有关，但不给出结论，更不要求学生应用这一认识进行相关的判断和比较。

    笔者由此还产生了这样的疑问：教材调整了，相关的知识点删除了，老师们上课却还要补充，这样的现象比较普遍，为什么？细细想来，不外乎以下三点原因：一是因为部分一线教师不知道教材修改的意图。建议编者在编写《教师教学用书》时不要太“含蓄”，考虑到广大一线教师解读教材的差异较大，应该在《教师教学用书》中明确告知，并说明原因；二是因为这些内容是传统教材上的“经典”，各类报刊杂志经常能见到为突破这些教学难点而开发的“经典设计”，教师们觉得这是课堂的“亮点”，所以不愿舍去。笔者认为，不符合学生认知特点的东西，“放弃”是一种明智的选择。如果课尾增加这样的环节，不是“锦上添花”，而是“画蛇添足”；三是各类配套练习、试卷中总是将这些知识点作为学生必须掌握的内容编在题目中，不教，教师们似乎又不放心。建议相关职能部门加强对教辅用书的审核，同时在各级各类抽测中，命题者不要将这些内容编入试卷，这样才能充分发挥考试正确的导向作用。