例谈高考数学选择题的“神奇巧解”

中学生作文

例谈高考数学选择题的“神奇巧解”
内容摘要：本文主要是用具体例子介绍高考数学选择题的“神奇巧解”方法：①特例法；②筛选法；③代入验证法；④图解法；⑤割补法；⑥估值法；⑦特征分析法；⑧极限法．我们在解高考数学选择题时应该根据题目的特点，适当选择思考问题的视角，灵活运用各种方法技巧．这样，我们要对高考数学选择题的解法不断进行总结，努力掌握灵活多样的解法，提高解题能力，才能在高考中取得好成绩．
关键词：特例法   筛选法   图解法   割补法   估值法   极限法
选择题是高考数学试卷中的三大题型之一，其分值占总分的近三分之一，文科数学为 道试题，理科数学为 道试题．选择题具有题小、量大、基础、快速、灵活的特征，所以选择题解答的好坏，直接影响到整份试卷的得分情况．下面就来介绍高考数学选择题的“神奇巧解”方法．
一、特例法
用特殊值（特殊图形、特殊位置）代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断，这种方法叫做特例法．用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置、特殊方程等．
1、特殊数值
例 、若 ， ， ， ，则（   ）
A．          B．          C．          D．
解：取 ， ，此时 ， ， ，比较可得： ，故选B．
点评：本题主要考查不同代数式值的大小比较问题，解决这类问题时，如果能够从选项提供的信息中确定这些代数式的大小关系是唯一确定的，那么就可以采用特例法进行求解，即将代数式中的参数赋以特殊的、有利于计算的值，代入到代数式中求出它们的值，进行比较，从而确定它们的大小．
2、特殊数列
例 、已知等差数列 满足 ，则有（   ）
A．          B．          C．          D．
解：取满足题意的特殊数列 ，则 ，故选C．
点评：涉及数列的相关问题时，可以取一个特殊数列进行计算求解，但应注意的是，特殊数列的选取，并不是一次就能成功解决问题，它只能排除一些选项，但不能确定正确的选项，这时可以再另外取一个特殊数列，进行相关的计算，最终确定正确答案．
3、特殊函数
例 、若函数 是偶函数，则 的对称轴是（   ）
A．               B．                C．              D．
解：若函数 是偶函数，作一个特殊函数 ，则 变为 ，即知 的对称轴是 ，故选C．
4、特殊图形
例 、设平面向量 、 、 的和 ，如果平面向量 、 、 满足 ，且 顺时针旋转 以后与 同向，其中 、 、 ，则（   ）
A．     B．     C．     D．
解：  ，  、 、 构成封闭三角形，不妨设其为正三角形，则 实际上是将三角形顺时针旋转 后再将其各边延长 倍，仍为封闭三角形，故选D．

中学生作文

5、特殊位置
例 、向高为 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量 与水深 的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是（   ）





解：取 ，由图象可知，此时注水量 大于容器容积的 ，故选B．
6、特殊方程
例6、双曲线 的渐近线夹角为 ，离心率为 ,则 （   ）
A．                  B．                   C．                   D．
解：本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式，故可用特殊方程来考察．取双曲线方程为 ，易得离心率 ， ，故选C．
点评：在研究解析几何的有关问题时，要善于根据题中的条件，对其中涉及的几何元素（如点、直线、曲线、图象等）进行特殊化处理，即取其中的一些特殊点、特殊直线（或特殊位置下的直线）、特殊的曲线等，对问题进行求解计算，得到问题在一般情况下的答案．
二、筛选法
从题设条件出发，运用定理、性质、公式推演，根据“四选一”的指令，逐步剔除干扰项，从而得出正确的判断，这种方法叫做筛选法．
例 、函数 的一个单调增区间是（   ）
A．            B．            C．            D．
解： ，则 ，排除答案B； ，排除答案C； ，排除答案D．故选A．
点评：本题是一道小型综合题，若用直接法求解则耗时费力，而用筛选法则是明智的选择．
三、代入验证法
将各个选项逐一代入题设进行检验，从而获得正确的判断，这种方法叫做代入验证法．即将各个选项分别作为条件，去验证命题，能使命题成立的选项就是应选的答案．
例 、下面给出的四个点中，到直线 的距离为 ，且位于                   表示的平面区域内的点是（   ）
A．              B．              C．              D．
解：将点 代入 中得 ，排除答案A；将 代入 得 ，排除答案B；答案D中的点 到直线 的距离为 ，排除答案D. 故选C．
点评：代入法适用于题设复杂、结论简单的选择题，这里选择把选项代入验证，若第一个恰好满足题意就没有必要继续验证了，大大提高了解题速度．
四、图解法
根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，这种方法叫做图解法（也称为数形结合）．
例 、若函数 满足 ，且 时， ，则函数 的图象与函数 的图象的交点个数为（   ）
A．                   B．
C．                   D．无数个
解：由已知条件可作出函数 及 的图象，如右图所示，由图象可得其交点的个数为 个，故选C．
例 、设 ， 是二次函数，若 的值域是 ，则 的值域是（   ）
A．        B．
C．                D．
解：作出 的图象如右图，要使 的值域为 ，则 可取 ．
又 是二次函数，其图象是开口向上或向下的抛物线，故 的值域不可能同时取 和 ，再结合各选项知只能选C．
点评：严格地说，图解法并非属于选择题解题思路范畴，而是一种数形结合的解题策略，但它在解有关选择题时非常简便有效，不过运用图解法解题一定要对有关函数图象、方程、曲线、几何图形较熟悉，否则错误的图象反会导致错误的选择．

中学生作文

五、割补法
“能割善补”是解决几何问题常用的方法，巧妙地利用割补法，可以将不规则的图形转化为规则的图形，这样可以使问题得到简化，从而缩短解题时间．
例 、一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（   ）
A．                 B．                 C．                 D．
解：如图，将正四面体 补形成正方体，则正四面体、正方体的中心与其外接球的球心共一点．
正四面体棱长为
正方体棱长为 ，从而外接球半径
  ，故选A．
点评：“割”即化整为零，各个击破，将不易求解的问题，转化为易于求解的问题；“补”即代分散不集中，着眼整体，补成一个“规则图形”来解决问题，当我们遇到不规则的几何图形或几何体时，自然要想到“割补法”．
六、估值法
由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程，因此可通过猜测、合情推理、估算而获得答案，这样往往可以减少运算量，避免“小题大做”．
例 、如图，在多面体 中，已知四边形 是边长为 的正方形， ， ， 与平面面 的距离为 ，则该多面体的体积为（   ）
A．                   B．                    C．                  D．
解：由已知条件可知， 平面 ，则 到平面 的距离为
  ，而该多面体的体积必大于 ，故选D．
点评：有些问题，由于受条件限制，无法（有时也没有必要）进行精确的运算和判断，而又能依赖于估算，估算实质上是一种数字意义，它以正确的算理为基础，通过合理的观察、比较、判断、推理，从而做出正确的判断、估算、省去了很多推导过程和比较复杂的计算，节省了时间，从而显得快捷．其应用广泛，它是人们发现问题、研究问题、解决问题的一种重要的运算方法．
七、特征分析法
通过对题干和选项的关系进行分析，挖掘出题目中的各种特征，如结构特征、数字特征、取值范围特征、图形特征、对称性特征、整体特征等，从而发现规律，快速辨别真伪，这种方法叫做特征分析法.
例 、四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为 ， ， ， ，则它们的大小关系正确的是（   ）





   
A．         B．         C．        D．
解：根据酒杯特征进行定性分析. 前面三个酒杯都是上大下小，故饮酒一半后所剩酒的高度应该都在中点以上，且下方越小，所剩酒的高度就越高，第四个酒杯饮酒一半后所剩酒的高度正好在中间，故选A .
八、极限法
从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变，应用极限思想解决某些问题，可以避开抽象、复杂的运算，降低解题难度，优化解题过程．
例 、对任意 都有（   ）
A．            B．
C．            D．
解：当 时， ， ， ，排除答案A，B；当 时， ， ，排除答案C，故选D．

中学生作文

例 、设 ， ，且 ，则（   ）
A．                 B．
C．                 D．
解：  
令 ， ，则 ， ，
易知： ，故应选A．
点评：有一类比较大小的问题，使用常规方法难以奏效（或过于繁杂），又无特殊值可取，在这种情况下，取极限往往会收到意想不到的效果．
总之，我们要利用最优化思想处理高考数学选择题，如果对每一道选择题都能采用简捷的方法来解，则可以节省很可观的时间用于后面解答题的求解．高考数学选择题的“神奇巧解”方法，需要我们根据题目的特点，适当选择思考的视角，灵活运用各种方法技巧．“处处留心皆学问”，平时在做完每一道选择题后，一定要留意眼下的数学问题，考虑什么时候最适合用什么方法．所以我们要对选择题的解法不断进行总结，努力掌握灵活多样的解法，提高解题能力，这样才能在高考中取得好成绩．