加强逻辑修养

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摘要  小学数学课堂教学的优质高效，依赖于教师对数学知识的深刻理解。笔者通过对小学数学课堂的观察和现象分析，发现小学数学教师本体性知识中逻辑知识明显缺失，造成学生理性思维的误导。为此，加强小学数学教师的逻辑修养 不容忽视。

直面课堂

[片段描述]在明确轴对称图形的意义后，老师组织学生研究一组图形(平行四边形、圆、正五边形、梯形、三角形)的对称性。当学生对“平行四边形是不是轴对称图形”发生争论时，教师难以解疑释惑。

[简析]可以看出，学生产生意见分歧的原因在于，判断的对象是观察到的“这个平行四边形”，还是把“这个平行四边形”当成一类图形的代表。学生的回答是对平行四边形的属性进行肯定或否定，是一种简单性质判断。性质判断包含主项、谓项、联项和量项四个组成部分，根据联项可以分为肯定判断和否定判断:根据量项可以分为全称判断、特称判断和单称判断。这样，性质判断就可以分为六类。针对上述问题，教者应注意引导学生先将全称判断转向单称判断“这个平行四边形是(不是)轴对称图形。”为了进一步讨论，可以说明“(所有)平行四边形是轴对称图形”与“(所有)平行四边形不是轴对称图形”这样的全称判断都是不对的，而特称判断“有些平行四边形是轴对称图形”，与“有些平行四边形不是轴对称图形”才是正确的。人们认识事物总是从个别开始的，再逐步扩大到一类事物的全体，这样由单称判断扩展到特称判断、全称判断有利于人们认识事物的本质，掌握规律、预见未来、决定行动。

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[片段描述]在形成分数的初步概念后，引导学生判断图中涂色部分是不是1/4。

由于前两幅图的"图形分割"分得的各部分都是全等形，因而直观地显示了它是“平均分”，从而根据分数的意义可以作出肯定判断。
但当教师问到后两幅图中的涂色部分能否用士表示时，
学生回答:不能。
师:为什么?
生:因为不是平均分。
教师表示肯定。
[简析]这样的逻辑错误在听课中不止一次发生，带有普遍性。对于直观可见平均分(分得的各部分全等)的场合，可以根据分数的意义作出肯定判断；不能直观可见是平均分的场合，就不能立刻根据分数的意义作出肯定判断，但也不能如此作出否定判断。易见，下图等边三角形并没有分成3份全等图形，然而两腰三等分点连线所构成的中间部分的梯形的面积 正好是这个等边三角形面积的1/3。
对于“片断描述”中的问题，“不是，全等形，不能直观地分辨”并不是“涂色的一部分不能用1/4表示”的充足理由。我们只能说:因为不是正好分成形状相间的4份，所以我们无法直观地断定涂色的部分可以用工表示。究竟该用什么分数表示，可以通过用其他方式进行判别。

这些判断反映了四种命题之间的关系:
如果把一个图形分成4个全等图形那么其中的1份是这个图形的1/4。(原命题)
如果不是把二个图形分成4个全等图形，那么其中的1份不是这个图形的1/4。(否命题)
如果其中的1份是这个图形的1/4，那么这个图形被分成 4 个全等图形。(逆命题) 如果其中的1份不是这个图形的1/4，那么这个图形不是被分成4个全等图形。(逆
否命题)
可以证明，原命题与逆否命题、否命题与逆命题的真假性，但原命题与否命题的真
假性不一定相同。在上述四个命题中，原命题与逆否命题同为真，而否否命题与逆命题同为假。把原命题为真推演到否命题亦为真，这违背了基本的逻辑规律。

现实给我们的启示

教师的知识通常可分为本体性知识、条件性知识和实践性知识。数学教师的本体性包括显性的可言传的数学知识，也包括隐性的默会知识，即数学能力、数学素养。有研究指出：“有效的教学依赖于教师对所教内容的深层含义是否有坚实的理解。”也有学者从推进新一轮课程改革入手，通过对小学数学课堂观察、现象分析和交流对话，发现有近一半的课后分析或多或少涉及学科知识的纰漏或对学科知识理解的偏差。其中除了教师教错之外，还有两类反映教师本体性知识缺失的现象：一是学生提出疑问，教师难以解惑；二是按似是而非的理解加工教学内容。
为了使数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥独特的、不可替代的作用，避免数学教学中逻辑错误的发生，应加强小学数学教师的逻辑修养。
首先，我们应该充分认识到，逻辑学是一切其他学科的基础。逻辑学是研究思维形式及其规律的科学。思维是人脑的一种功能，是人脑对客观事物的间接的、概括的反映。在日常生活中，人们离不开思维，人的智力发展的核心是思维能力的发展。任何一门科学的发展，包括自然科学、社会科学都离不开思维科学。列宁曾经说过；任何科学，都是应用逻辑。

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著名数学教育家弗顿登塔尔认为“数学尽管深深地扎根于普通的常识，但是它比任何其他的事物离着普通的常识要更远一些。”“为了真正的数学及其进步，普通的常识必须要系统化和组织化。”这种组织化、系统化过程，必须遵循一定的逻辑规律。学习和掌握逻辑知识，有助于我们明确概念，恰当判断，正确推理。

其次，要改变当前小学教师培养课程体系中逻辑知识缺 失的现象。自上世纪80年代初招收初中毕业生培养中师程度的小学教师起，我国小学教师培养的学历层次经历了中师、大专、本科几个阶段。中师阶段，由于要求师范生不仅具有高中程度的文化知识，还要掌握一定的小学教育的基本理论和基本技能，时间紧、任务多，数学教材中几乎不涉及逻辑学知识 (江苏教育出版社出版的中师数学课本中有一个单元——数学中的逻辑初步知识) ；进入大专层次以后，教育部2003年颁 布的《三年制小学教育专业课程方案(试行)》中，也没有将逻辑学知识纳入课程内容;近年来，许多本科高校相继举办小学教育本科专业，从笔者所掌握的部分高校的教学计划来看，只有少数高校开设形式逻辑选修课，并且一般作为文科方向类课程，理科方向的课程计划中，逻辑学知识的缺失是相当明显的。由此看来，小学数学教师知识结构中的逻辑学知惧存在“先天不足”。因此，小学教师培养者应加强基础教育研究，对当前基础教育改革作出前瞻性思考科学构建小学教育专业的课程体系和内容结构。第三，小学教师应加强本体性知识的学习，弥补知识缺陷。 生理学、心理学的研究表明，人类有终身学习的基础和条件。“先天不足”可以通过后天弥补，教师专业化是一个动态发展过程，教师需要通过不断的学习与探究，来拓展其专业内棚，促进教师知识的平衡发展。教师在职培训、教师的自我学习应加强针对性、实用性。然而，当前各级培训机构，比较关注条件性知识和实践性知识的培训本体性知识的培训似乎成了一个盲区，这需要引起人们的关注。新课标在精选传统小学数学的基础上，适当加强了空间与图形、统计与概率以及综合与实践的内容。由于一些教师数学素养缺乏，不能准确理解教材，对课堂上出现的“偏离预设”、学生的奇思妙想难以恰当的把握，对学生自然生成的教学资源不能有效利用。有研究表明：当教师对数学知识的理解加深了，其在教学任务的设计与实施中，更能将问题的类型、难度与儿童的解决方法联系起来，教师就有更多的机会了解学生在解决问题时的思维策略，因而在教学中能够为学生创造更多的数学交流的机会，以及进行猜想、、解释、推理与证明自己数学想法的机会。实践表明，由于小学数学学习内容的更新，小学教师不仅要加强概率统计、图形变换、几何证明与初等数论等方面知识的学习，还要弥补 逻辑知识缺漏。新课程要求小学数学教师不仅要有宽广的知识面，而且对基础数学要有本质的理解，能用高观点指导小学数学教学，只有这样才能深入研究教材，提高驾驭教材的能力。

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第四，小学数学教学中，应加强教师语言的逻辑性和对小学生逻辑思维能力的训练。培养小学生的逻辑思维能力历来 是小学数学教学的重要任务。新课程强调:经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。小学生为6岁～12岁儿童，根据皮亚杰的研究，这一阶段儿童的心理发展尚处于具体运算阶段，思维处于形象思维为主并向抽象思维过渡阶段，儿童认识的发展一般还离不开具体事物的支持，因此小学数学教学必须贯彻直观性原则。与此同时，数学教学的目的 之一是为了促进学生抽象思维能力的发展，从而使儿童的认知发展从具体运算阶段上升到形式运算阶段。所以，在强调直观性、操作性、生活性的同时，需要不断地对数学对象进行分析与综合、抽象与概括、判断与推理。

比如，借助事例，让学生建立线段的表象、逐步形成线段的概念时，事例的选择非常重要。毛线并不是“线段”的典型而纯粹的现实原型，折纸折痕才是“线段”的较为理想的实例。让学生适当地动手画线段、量线段并进行观察、思考和想象，使学生体会线段的本质特征:直的、无粗细可言、有两个端点、有一定长度。线段的空间观念的建立，主要靠观察、画图、思考和想象，而不是靠触摸所获得的触觉表象。

成功智力理论的提出者斯滕伯格(R . J . Stemberg)曾从实践性思维和分析性思维对学习的影响角度提出:以生活类操作为特征的实践性思维对学习的作用是不容忽视的，但是这种作用只有上升到更高层次的分析性思维才是真正有效的。教学中我们不仅要创设情境，引导学生发现和提出问题、建立猜想，猜想提出后还必须“检验猜想”、“修改猜想”和“论证猜想”。更好地体现作为数学的两个侧面，即系统的演绎科学和实验性的归纳科学。随着学生数学知识的不断积累，推理论证方法的运用应该逐步增多只有通过将外部的操作实践引导 到对事实、现象的理性分析上来，通过将实际问题抽象化、生活数学形式化、数学规律逻辑化才有利于发展小学生的逻辑 思维能力，才能做好中小学数学课程的衔接和确保小学生可持续发展。