用建模思想统领“解决问题”教学

园丁

解决问题的教学．就是要让学生通过经历观察，分析，操作等解决问题的过程，积累解决问题的经验，获得解决数学问题的一般方法和策略。这一教育功能有别于传统应用题类型教学以及机械解题训练，是新课程的一大亮点。教材在编写上将解决问题分散在“数与代数”等各个领域中，突出了问题背景的真实性、解决方法的指导性，同时也要求我们在教与学的方式上实行变革。怎样进行解决问题教学呢?课程标准指出：“教材应当根据课程内容，设计运用数学知识解决问题的活动，这样的活动应体现‘问题情境——建立模型——求解验证’的过程。”(《数学课程标准》修订稿)由此可见，开展建模活动是解决问题的关键环节，学生解决问题思考的依据就是数学模型。

园丁

一、理解四则运算意义，构建解决问题的基本模型

    四则运算的意义在解决问题中的作用是举足轻重的，具有战略意义的，是解决问题最为基本的模型。两个数量的匹配如“单价”与“数量”、“用去的”与“剩下的”等都是在理解运算意义的基础上通过加、减、乘、除运算完成的，建立运算模型是解决问题的战略举措。学生在解决问题时从运算意义出发进行思考，将情境中的问题与运算意义相联系，经历思考与创造的过程，淡化了解题类型教学。

    苏教版新教材在解决问题内容和知识基础的编排上体现了循序渐进的原则。1-2年级，着重用四则计算解决各类用一步计算解决的问题和简单的用两步计算解决的问题，要求依据量的关联性学会提出问题和解决问题，立足意义理解，根据意义确定算法。3-5年级重点解决两步计算的连乘(除)、乘加(减)及用三步计算解决的问题，并在此基础上学习列方程解决问题。这一阶段主要是运算意义之间的连接和叠加。到了六年级，主要根据分数乘法的意义用分数(百分数)乘、除法解决问题，包括一步计算解决的问题、各类百分率问题、两步计算解决的问题以及用比和比例的知识解决问题等。用两步、三步计算解决的问题是由简单问题生长起来的，在解决问题时也是基本的四则运算模型之间有意义的不断重构。因此要十分重视四则运算的意义建构，为提高解决问题能力奠定坚实的基础。

    在小学阶段，四则运算的模型是很具体的。加法的模型是合并，减法是从总数中去掉一部分求另一部分，乘法是几个相同数的合并，除法是把总数分成相同的数。这些模型要结合具体情境．逐步体会并抽象出来。如加法模型教材采用的策略是结合情境图引入，然后通过静态的“合并”情形如“3个男生和2个女生在浇花，浇花的一共有多少人”、动态的“移人”情形如“3个人在浇花，又来了2个人，现在有多少人?”以及“比较”情形如“红花有5朵，黄花比红花多3朵，黄花有几朵?”等对加法的外延加以拓展，形成对于加法总体的概括性表象——合并。除法则先建立平均分的概念，然后分别通过包含除、等分除的直观操作，与除法建立联系，形成“等分”与“包含”的模型。

由日常生活中常见的问题引出新的运算，再用新的运算解决简单的实际问题，问题解决与算法的得出融为一体，有利于学生体会计算在解决问题中的价值，增强数学运算的应用意识。

园丁

二、探寻信息的关联性，构建解决问题的关系模型

分析数量关系是从“数学问题”到“用数学方法解决问题”的“桥梁”。新课程中应用问题的教学改革，关注的不是要不要数量关系问题，而是获得数量关系的过程。新
教材中解决问题编写的跳跃性、分散性，导致教学从“生活情境”直接走向“应用”，忽视或弱化了“数量关系”这个重要的数学建模环节。“数量关系”本身就是一种典型、简约、形象的数学模型，老师要引导学生经历从具体问题情境中抽象出数量关系的过程，使学生在直观的基础上理解和把握具体问题情境中的数量关系，并逐步内化，从而有效“建模”。
例如，在教学苏教版四年级(上)“有小括号的混合运算”时，我是这样引导学生构建数量关系模型的：

用50元钱买一个书包后，还可以买几本笔记本?

①图中告诉我们哪些数学信息?要解决什么问题?

②要求剩下的钱可以买几本笔记本，你准备怎么办?

(让学生提出模型假设：剩下的钱÷每本笔记本的钱=还可以买的本数)

③哪个信息还没有直接告诉我们?怎样解决?
(利用数学模型找出中间问题，进而建立关系：原来的钱—买一个书包的钱二剩下的钱)
④让学生独立列式计算，并尝试列出综合算式。(利用模型对问题求解)

⑤选取综合算式典型的错例50-20÷5进行讨论交流。

(让学生用前面提出的模型假设来验证运算顺序是否正确)

⑥引出小括号，体验小括号的作用。

(让学生根据数学模型作出解释：要先算剩下的钱50-20，就要改变运算顺序，添上小括号)

有时，在解决问题的过程中为了能够帮助学生理解信息中隐含的数量关系，可以运用数学化的手段(如画图、列表、转化等)，分析、梳理信息之间的数量关系，用数学语言构建基本模型，进而解决问题。如“希望小学五、六年级共有学生140人。从五年级抽出1/3，从六年级抽出1/4参加合唱活动，结果发现五、六年级抽出的学生一样多。五、六年级原来各有多少学生?”该题中的数量关系不能直接看出来，如果将题中的信息用图表示出来(如下图)，数量关系就会一目了然：五、六年级学生人数的比是3：4，或五年级人数相当于六年级的3/4。
   

三、引导分析与综合，构建解决问题的思维模型

“分析”与“综合”是解决问题过程中两种最为基本的、常用的、重要的思维方法。综合思维是从问题情境中的数学信息出发，分析它们之间的关系，思考可能得出的结果；而分析思维则是从问题出发，思考解决该问题所需的信息，从而有目标地从问题情境中寻找相关性的数学信息。这两种思维模型都是对事物之间本质联系的把握，为学生指明了思考问题的方向，使解决问题有了基本的思路。
如苏教版三年级(下)解决问题(如图)，我采用综合、分析两种思路进行教学。

师：从图上你能得到哪些数学信息?

生：一个乒乓球两元钱。
①

生：每袋有5个球。
②

生：一共有6袋。
③

师：根据这三个条件，你能提出用一步计算解决的问题吗?

生：(略)

(引导学生将相关联的两种量进行有意义连接，从已知信息人手寻找问题解决的思路，培养了学生综合思维的能力)
师：买6袋乒乓球要用多少元，你能解决吗?试一试。
学生利用一步计算问题解决的经验和成果，尝试建模解决用两步计算解决的问题。教师组织学生交流解决的思路——

生：我先算出买一袋乒乓球的钱5×2=10元，再算出买6袋乒乓球的钱10×6=60元。

生：我先算出6袋一共有多少个乒乓球，5×6=30个，再算出30个乒乓球要用多少钱，即30×2=60元。
师：解决这个问题时，我们可以从已知信息出发，根据数量之间的关系，一步一步地解决。根据①和②这两个信息求出买一袋乒乓球的钱，再根据③求出买6袋乒乓球要用的钱。也可以根据②和③求出6袋一共有多少个乒乓球，再根据①求出买6袋乒乓球要用多少钱。
学生总体上是按照综合法的思路解决的，于是我进行了如下跟进：
学生筛选出有用的数学信息后，迫问：

①求苹果树有多少棵，需要知道哪种树的棵数?(梨树)你是怎么想的?(引导学生建立解决问题的关系模型：梨树棵数×2=苹果树的棵数)

②梨树的棵数知道吗?(未知)，用什么方法可以求出梨树的棵数?(桃树的棵数×3=梨树的棵数)

③桃树的棵数知道吗?(已知)

教师从而揭示：解决问题时也可以像这道题一样，结合图中的信息从问题想起，根据数量之间的关系逐步寻找解决问题需要的信息。