从《圆的认识》说开去

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数学教育的每次变革都和数学观的发展变化紧密联系着。自从“数学是一种文化”的理念盛行以来，我们常常看到一些努力张扬数学文化的数学课。张齐华老师执教的两个版本的《圆的认识》就是这方面的典型课例。将两个版本的课一比较，我们发现，张老师就数学文化完成了一次“华丽的转身”，这正如他在教后所言的那样：“与其向着数学以外的‘花花世界’去寻找课堂的精彩纷呈，不如从纯粹的数学内部找寻数学内在的精神力量。”由外转内，说起来简单，做起来难。让我们从品张老师的课开始，思辨两个问题。

    一、数学文化能走进常态课吗?

    数学文化虽然没有公认的定义，但不管怎样界定，它都指向思维方式、价值判断、思想观念等。而我们平时教的主要是知识与技能。这就自然而然地产生了一个话题：数学文化能走进常态课吗?或者说数学文化能否渗透在知识与技能的教学中吗?

    张老师执教新版《圆的认识》时，首先让学生整体感受圆的美：在与直线图形的比较中，感受圆的圆润美；在与不规则曲线图形的比较中，感受圆的饱满美；在与椭圆的比较中，感受圆的匀称美。然后，花大气力引导学生在画圆的过程中进一步感受圆的美，体会到圆的所有这些美都源自圆的特征——同长。细细品味，这一过程蕴涵了认识圆应教学的所有知识与技能：怎样画圆；什么是半径、直径，半径、直径的数量有多少，它们之间有什么关系；不同圆中的半径、直径有什么关系等。学生如果没有掌握这些知识与技能，能理解圆的美是因为同长的缘故吗?答案不言自明。在课的“沟通联结”部分，张老师打通了”直”和“曲”的界限。这个环节阐释了是无数的同长成就了圆的美。同长不是圆独有的特点，正多边形之所以没有成为圆是因为其同长的有限，而圆之所以能被称为正无数边形是因为其同长的无限。在“审美延展”部分，张老师向学生展示，三角形不具有旋转不变性是因为其同长的有限，而圆具有旋转不变性是因为其同长的无限，任何图形都可以通过旋转产  生圆。可以说，美的背后还是无限的同长。

回顾、考量张老师的课，我们可以真切地感悟到：数学的文化性应建立在数学知识与技能的理解上。说新版《圆的认识》是堂好课，一是因为张老师实现了演绎数学文化从”诉诸外”向“求诸内”的提升，二是因为无形的数学文化和有形的知识与技能在课堂中结合得比较完美。

数学文化，虽然表现为思维方式、价值判断、思想观念等层面上的东西，但不可避免地凝聚在或投射到数学定义、定理、技能中。可以说，文化性是数学的学科特质，数学文化与数学同在。学生领悟数学文化需要依托数学知识与技能，反过来，感悟到了知识与技能中蕴涵的文化底蕴的学生，肯定会加深对所学知识与技能的理解；而对知识与技能达到了新的理解程度，则又能在更高的层面上感悟其中的数学文化。如此螺旋上升，直至认识的高层次。鉴于此，我认为一线教师的常态课和数学文化并不矛盾——关注学生数学知识与技能的学习情况，实质就是站在眺望数学文化的此岸，就是获得了实践“数  学是文化”理念；的很好契机。

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二、如何上出有数学味的课?

由于广大教师对于数学文化存在认识误区，因此很多教师热衷于在课堂中用绚丽的画面、优美的音乐等外在的东西来呈现数学文化，这正如张老师第一版《圆的认识》。客观地说，在常规的数学教学之外，添一些数学图案，加一点数学史料，讲某个数学家的故事等，也是彰显数学文化的可行方式，是展示数学文化的一个层次，但数学课如果没有了数学昧也就没有了灵魂。因此，我们彰显数学文化不能一直停留在这个层次。那更高层次的数学文化从哪里来?或者说，有数学昧的课堂从哪里来?

如前文所言，数学文化和数学同在，有数学就一定有数学文化。因此，对数学文化性的认识取决于对数学的认识、理解程度。张老师在教后谈中说，“一旦真正要转向数学本身，此刻，考验你的已经不再是占有多少资料，而是你对数学本身，更进一步地，也就是你对圆这一平面图形究竟有多少深刻的洞察与解析”，这是对此课数学文化源头的极好注解。数学教育不是简单的“教育+数学”，一方面需要从上位的教育理论出发，给数学教育提出指导性意见；另一方面，需要从数学的角度，提出数学教育的特有规律。因此，常态课有没有数学昧，首先就取决于教师有没有从数学的角度设计教学的意识。张老师说，在设计新版《圆的认识》时，清晰地确立了“三不”·；标准，其实质就是确立了有意识地从数学的角度来阐释圆的美的意识。数学教学哲学指出，某个数学知识为什么这么教，而不那么教，不是由教育学、心理学、教学法决定的，而是由所教知识的数学本质决定的。很多教师教学“三角形的稳定性”时安排了拉三角形木架和四边形木架的操作。为什么有这样的安排?就是因为这些教师认为，稳定就等同于牢固，让学生认识三角形的稳定性就是让学生体会三角形的木架比四边形的木架牢固。而从数学的角

度考究，三角形的稳定性是指三角形的三边长度确定之后，它的形状与大小都不会有变化。有这样的认识作基础，就会发现组织学生拉木架的活动毫无意义，而应该让学生用三根固定长度的小棒，在有方格背景的纸上搭三角形，引导学生体会无论怎样搭，三角形的形状都不变。因此，虽然不能具体地说一堂数学课的数学味应该体现在那里，但可以肯定地说它源自教师从数学角度考量教学的意识。

数学文化具有其他文化形式所不具备的特点，感受数学文化也应该用不同于一般的方式。例如，数学具有抽象性、形式化的特点，正是这个特点，使得数学具有不同于文学、绘画、音乐等形式的文化品味。这实际上揭示了，数学的文化性不是用眼睛看到的、用耳朵听到的，也不是用其他感官感受到的。数学的抽象性、形式化特点源自数学的思维活动，那感受数学文化就必须要通过思维，没有数学思维活动，就不可能感受数学文化。理清这点很重要，它给了我们一个方向：数学味，浸润在数学知识与技能的形成过程中!常态课中，充分地展示知识与技能的形成过程，引导学生积极开展思维活动，也就让学生有机会领悟数学的方法；有机会体会原来数学并不是来自权威和课本，自己也能创造数学；有机会体会数学与生活的密切关系；有机会感受怎样从数学的角度思考和解决问题……让学生在知识与技能形成过程中开展积极的思维活动，随着理解的不断加深跨越纯粹的认知层面，直抵数学的文化层面，这就体现了鲜明的数学味。因此，教师不应该脱离数学知识与技能的形成过程，去琢磨给课堂加什么文化的东西，怎样体现数学味，而应该积极引导学生投入到知识与技能的形成过程中。在这样的数学课堂中，文化品位的流淌是水到渠成的事情，数学味也就成了课堂的灵魂。

好课如同好茶，都是需要品的。品茶，静心悟道才是至理。品课，莫不是如此!

真诚天下

如何上出有数学味的课?
     教师不应该脱离数学知识与技能的形成过程，去琢磨给课堂加什么文化的东西，怎样体现数学味，而应该积极引导学生投入到知识与技能的形成过程中。在这样的数学课堂中，文化品位的流淌是水到渠成的事情，数学味也就成了课堂的灵魂。