探寻数学教学的“根”——张齐华老师“交换律”赏析

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一、巧妙导课，在良好的氛围中开始对“根”的探寻

这节课，张齐华老师是这样开始的：

    师：同学们，你们知道张老师是哪个学校的吗?

    (张老师借华南师范大学附小的孩子上课)

    生：(结合屏幕提示)知道。你是江苏省南京市北京东路小学的。

    师：关于张老师的学校，有一个有趣的故事，你们想听吗?

    生：想。

    师：我有一个朋友，有一天，他非说我调到北京去工作了。他说他在网上看到的我在北京市南京东路小学。原来，他把“北京”和“南京”两个词调换了。大家说，可以调换吗?

    生：不可以。

    师：看来啊，有些时候位置不能任意调换。看屏幕上这句话：我骑着马儿跑。“马儿”和“我”可以调换位置吗?

    生：(笑)不能。

    师：再看：小明在钓鱼。“小明”和“鱼”可以调换吗?

    生：(笑)不能。

    师：25这个数中的“2”和“5”可以调换吗?

    生：也不可以。

师：但是，在数学中有些情况是可以交换的。今天这节课我们就来研究数学中有关交换的问题。

张老师的新课导人，令人叫绝。利用自己学校的名称，以幽默的方式让学生先体会有时位置是不能调换的，变换“我骑着马儿跑”“小明在钓鱼”这两句话中的个别词语，成了  “马儿骑着我跑”“鱼在钓小明”。这种反常规的表达方式为课堂创设出轻松和谐的氛围，从而充分地调动起了学生的思维，为探寻学习内容的数学本质做好准备。

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二、层层递进，探寻数学教学的“根”

进入新课后，张老师按照“实际演算——提出猜想——验证猜想——提出新的猜想——验证新的猜想”来进行教学。整个教学过程，张老师牢牢地抓住“发现规律——验证规律”这条主线，促使学生不断地去思考：应该怎样验证?这样能验证吗?怎样可以说明它不成立?通过对这些问题不断的探究，学生的思维被激活，师生之间、生生之间的思维不断地进行碰撞，原有的问题解决了，新的问题又出现了，学生思维在不断的冲突中得以升华。让我们来欣赏几个精彩片断。

片断一：

    师：的确，仅凭几个特例就得出“交换两个加数的位置和不变”这样的结论，似乎草率了点。但我们不妨把这一结论当做一个猜想(教师随即将学生给出的结论中的“。”改为“?”)。既然是猜想，那么我们还得——

    生：(齐)验证。

师：怎么验证呢?

生1：我觉得可以再单一些这样的例子。

    师：怎样的例子，能否具体说说?

    生1：比如再列一些加法算式，然后交换加数的位置，看看和是不是跟原来一样。

    (生普遍认可这一想法)

    师：那你们觉得需要举多少个这样的例子呢?

    生2：五六个吧。

    生3：至少要十个以上。

    生4：我觉得应该举无数个例子才行。不然，你永远没有说服力。万一你没有举到的例子中，正好有一个加法算式，交换加数的位置和变了呢?

    (有人点头表示赞同)

生5：我反对!举无数个例子是不可能的，那得举到什么时候才行?如果每次验证都这样做的话，那我们永远都别想得到结论!

师：我个人赞同你(生5)的观点，但觉得他(生4)的想法也有一定道理。综合两人的观点，我觉得是不是可以这样，我们每人都来举三四个例子，全班合起来那就多了。同时大家也留心一下，看能不能找到“交换加数位置和发生变化”的情况，如果有，及时告诉大家，行吗?

(生一致赞同，随后在作业纸上尝试举例)

    片断二：

师：请同学们说说你举的例子。

生：我举了三个例子，7+8=8+7，2+9=9+2，4+7=7+4。从这些例子来看，交换两个加数的位置和不变。

生：我也举了三个例子，5+4=4+5，30+15=15+30，200+500=500+200。我也觉得，交换两个加数的位置和不变。

师：两个同学举的例子略有不同，一个全是一位数加一位数，另一个则有一位数加一位数、两位数加  两位数、三位数加三位数。比较而言，你更欣赏谁?

生：我更欣赏第一个同学，他举的例子很简单，一看就明白。

生：我不同意。如果举的例子都是一位数加一位数，那么我们最多只能说，交换两个一位数的位置和不变。至于加数是两位数、三位数、四位数等等，就不知道了。我更喜欢第二位同学的。

    生：我也更喜欢第二个同学的，她举的例子更全面。我觉得，举例就应该这样，要考虑到方方面面。(多数学生表示赞同)

    师：如果这样的话，那你们觉得下面这个同学的举例，又给了我们哪些新的启迪?

    (师出示作业纸：0+8=8+0，6+21=21+6，1/9+4/9=4/9+1/9)

生：我们在举例时，都没考虑到0的问题，但他考虑到了。

生：他还举到了分数的例子，让我明白了，不但交换两个整数的位置和不变，交换两个分数的位置和也不变。

师：没错，因为我们不只是要说明“交换两个整数的位置和不变”，而是要说明，交换——

生：任意两个加数的位置和不变。

师：看来，举例验证猜想还有不少学问呢。现在，有了这么多例子，能得出“交换两个加数的位置和不变”这个结论了吗?(学生均表示认同)有没有谁举例时发现了反面的例子，也就是交换两个加数的位置和变了?(学生摇头)这样看来，我们能验证刚才的猜想吗?

生：能。

    (师重新将“?”改成“。”，并补充成为：“在加法中，交换两个加数的位置和不变。”)

师：回顾刚才的学习，除了得到这一结论外，你还有什么收获?

生：我发现，只举一两个例子，是没法验证某个猜想的，应该多单一些例子才行。

    生：举的例子尽可能不要雷同，最好能把各种情况都举到。

    片断三：

师：从个别特例中形成猜想，并举例验证，是获取结论的一种方法。但，有时将已有的结论通过适当变换、联想，同样可以形成新的猜想，进而形成新的结论。比如(教师指读刚才的结论，加法的“加”字予以重读)，“在加法中，交换两个加数的位置和不变”。那么，在——

生1：(似有所悟)减法中，交换两个数的位置，差会不会也不变呢?

    (随即有人作出回应：“不可能，差肯定会变!”)

    师：不急于发表意见。这是他(生1)通过联想给出的猜想。

    (师随即板书：“猜想一：减法中，交换两个数的位置差不变?”)

    生2：同样，乘法中，交换两个乘数的位置积会不会也不变?

    (师板书：“猜想二：乘法中，交换两个数的位置积不变?”)

    生3：除法中，交换两个数的位置商会不变吗?

    (师板书：“猜想三：除法中，交换两个数的位置商不变?”)

    师：通过联想，同学们由“加法”拓展到了减法、乘法和除法，这是一种很有价值的思考。除此之外，还能通过其他变换，形成不一样的新猜想吗?

生4：我在想，如果把加法交换律中“两个加数”换成“三个加数”、“四个加数”或更多个加数，不知道和还会不会不变?

师：这是一个与众不同的、全新的猜想!如果猜想成立，它将大大丰富我们对“加法交换律”的认识。

(师板书：“猜想四：在加法中，交换几个加数的位置和不变?”)

师：现在，同学们又有了不少新的猜想。这些猜想对吗?又该如何去验证呢?选择你最感兴趣的一个，用合适的方法试着进行验证。

三、拓展补充，延伸对“根”的探索

在学生自己举例对减法、乘法、除法进行验证后，张老师引导学生对这节课的学习进行了回顾。我还以为这节课再练习几道题就结束了。没有想到，精彩还在继续，思维

还在拓展。

首先，张老师设计了几道填空题来巩固这节课所学的加法交换律和乘法交换律，其中最后一道是(    )+(    )二(    )+(    )。学生举了几个例子后，老师间：能填

得完吗?有没有什么办法表示呢?从而有机地渗透了用字母表示数。

    其次，张老师又提出一个问题，你们知道数学家是怎样去说明加法和乘法的交换律的吗?你们想去看看吗?学生带着强烈的好奇心倾听着张老师介绍数学家用集合图和点阵图的方法证明加法交换律和乘法交换律。

再次，张老师给学生讲了这样一个故事：天文学家、物理学家和数学家坐着火车在苏格兰的大地上奔驰。他们向外眺望，看到田野里有一只黑色的羊。天文学家说：“多么有趣，所有的苏格兰羊都是黑色的。”物理学家反驳道：“不!某些苏格兰羊是黑色的。”数学家慢条斯理地说：“在苏格兰，至少存在着一块田地，至少有一只羊，这只羊至少有一侧是黑色的。”

多么巧妙的设计，多么引人深思的结尾!简简单单的一道填空题，让学生体会了使用字母表示数的优越性，发展了学生的符号感；用集合图和数阵图的方法来验证加法交换律和乘法交换律，让学生对刚才举例验证的担心得以消除，也进一步体会到数学思维和数学方法的奇妙。

这就是有“根”的课堂；“根深方能叶茂”，学生发展之“根”的深深植入，使得人人都能获得良好的数学教育。