利用计算机进行数学实验案例设计

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昆明市第一中学　鲁开红



  

提要 数学实验作为一种新的数学教学方式，正快速向我们走来，但是目前广大数学教师对它的认识还较少.在高中数学教学中开设数学实验课是可行的.本案例通过对点关于点或直线对称变换的探索和验证，进一步探索直线关于点或直线对称变换的规律，猜想得出曲线关于点或直线对称变换的规律，再通过函数图象来验证，进而得出二次曲线关于点或直线的对称变换的一般性规律.数学实验有其特有的基本方法和设计要求，数学实验对培养学生的创新意识和实践能力具有其他传统教学方法不易替代的作用.

主题词 对称变换 实验 函数图象

什么是数学实验呢？目前还没有一个公认的定义数学实验就是运用计算机、软件包等信息技术工具解决数学问题.在中学，数学实验就是学生利用计算器或计算机等信息技术工具，自己动手学习和应用数学.

怎样实施数学实验呢？首先，应该有实验的指导思想，即教师创设恰当的问题情景，或直接利用教科书中的数学实验题，引导学生通过操作计算机，主动、积极、批判地思考问题，创造性地解决问题，来培养他们的科学研究意识和能力.其次，要有实施实验的具体步骤，主要包括以下一些内容：实验课题、实验背景、实验目的、实验工具、实验方法、实验过程、对实验结果的分析猜想、对实验结果的证明、结合实验结果进行问题讨论、结论的拓广等.以下就“函数图象的对称变换的验证及推广”为例说明实施数学实验教学的一般方法.

实验课题：函数图象的对称变换的验证及推广

实验背景：初三学生学习函数知识的时候，曾经学习过一个点关于坐标轴或原点对称时，对称的两个点坐标的变化规律；高中学生学习函数的过程中，对抽象函数符号表示的函数的研究，一直以来是学习的难点，特别是在给定条件时研究该函数的性质，更是感到困难重重，通过研究特殊而推知一般的方法在这里就可以起到帮助学生理解抽象问题的作用.高一学习了函数知识之后，学生自然接触到函数图象的变换问题，对称变换是其中一种重要的变换，它与点的对称变换之间有什么联系呢?由于曲线是点经过运动得到的，所以，函数图象的对称变换与点的对称变换存在某种必然联系；通过数学实验能够找到这种联系，通过研究点的对称变换的结论可以猜想函数图象的对称变换规律，并且用它解决实际问题，并在此基础上研究曲线的变换与方程的变化之间的联系，经过类比可以探求其他变换的规律.对培养学生的主动探究和建构意识有重大的指导意义.此外，经过学生的亲身实践，不仅可以体验数学过程，还能提高学习数学的兴趣.

实验目的：利用几何画板探究一个函数的图象关于一个点或一条直线对称的规律,寻找函数解析式的变化与图象对称性之间的关系.探索一般性结论.

实验前预习：点关于坐标轴、直线y=x以及关于原点对称的点坐标的变化规律.

实验工具：计算机，几何画板软件.

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实验过程：
1、打开几何画板，建立坐标系，在坐标平面内任取一点C，度量点C的坐标,C（
），作出点关于x轴的对称点C1（双击x轴或先选中x轴，在[变换]菜单栏中选择“标记镜面”，然后选中点C，在[变换]菜单中选择“反射”即可得对称点C1），再度量点C1的坐标，C1（
）.观察和C1两点坐标的关系.
2、作出点关于y轴的对称点C2，再度量点C2的坐标，C2（
），观察点和C2两点坐标的关系.
3、作出点关于直线y=x（因为几何画板不能对函数图象进行操作，所以直线要通过取直线上两点来画，在[图表]菜单栏中选择“绘制点”，将点（1，1）的横、纵坐标分别输入再按确定即完成描点，然后通过原点和点（1，1）画直线即得直线y=x）的对称点C3，度量点C3的坐标，C3（
），观察和C3两点坐标的关系.
4、作出点关于原点（双击原点将它标记为中心，选中点C后，在[变换]菜单栏中选择“旋转”，在对话框“固定角度”中输入180o）的对称点C4，再度量点C4的坐标，C4（
），观察和C4两点坐标的关系.
5、作出点关于直线y=－x的对称点C5，再度量点C5的坐标，C5（
），观察和C5两点坐标的关系.
6、拖动点，观察点和其各类对称点的坐标，并填入下表1：

点关于特殊直线和原点的对称点的坐标变化情况表

点C的坐标	关于x轴对称的点的坐标	关于y轴对称的点的坐标	关于原点对称的点的坐标	关于直线y=x对称的点的坐标	关于直线y=－x对称的点的坐标
C（2，3）	C1（2，-3）	C2（-2，3）	C3（-2，-3）	C4（3，2）	C5（-3，-2）

表1

7、 归纳总结出各类对称点的变化规律： (1) 点C（a,b）关于x轴对称点的坐标为C1（a,-b）,即关于x轴（横轴）对称，点的横坐标不变；（2）……
（因为有些学生可能对规律的叙述方法不是很熟练，故可根据实验学生的情况给出适当的提示）.
8、你能用学过的知识证明上述结论吗？
证明：如图1，设点P（a,b）为坐标平面内任意一点，过点P作x轴的垂线段PM，垂足为M，延长PM至P`，则由轴对称的定义知，点P`为点P（a,b）关于x轴的对称点.易知，这两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数.（同理可证关于y轴对称的情况）对于中心对称的情形，连结PO并延长至P``，过P``作P``M`⊥x轴，垂足为M`，易知△OPM≌△OP``M`，可得MP=M`P``，OM=OM`，且方向相反，所以，点P``的坐标为（-a,-b）. （提示：利用三角形全等可以证明另外两种对称）

9、将上述实验过程中的点C改变为一条直线，例如直线y= f (x) =2x+4（这条直线的作法与作直线y=x类似，取直线上的两个整点，即横、纵坐标均为整数的点）,分别作出它关于x轴、y轴、原点、直线y=x、直线y= -x的对称图形，观察对称图形的位置，求出这些直线的方程（选中直线，点击鼠标右键选择方程）.填写下表2：

直线关于特殊直线和点的对称直线的方程的变化情况表

已知直线的方程	关于x轴对称的直线的方程	关于y轴对称的直线的方程	关于原点对称的直线的方程	关于直线y=x对称的直线的方程	关于直线y=－x对称的直线的方程
y=f(x)=2x+4	y=g(x)=-2x-4
y=f(x)=x+2
y=f(x)=x-2

表2

观察对应的两个函数解析式之间的关系，能否得出一般性的结论？并试着进行证明.
实验结论： （1）函数y= f (x)的图象关于x轴对称的图象的方程为y= -f (x); (2) ……
10、用学过的相关知识证明上述结论.
证明：先证明关于x轴对称的情形，设点M (x,y)为函数y= f (x)的图象关于x轴对称的图形上的任意一点，则它关于x轴的对称点P`(x,-y)在函数y= f (x)的图象上,P`(x,-y)的坐标满足方程y= f (x)，即- y= f (x)，也就是y= - f (x).同理可以证明关于y轴、原点对称的情形.关于直线y=x、y= -x对称的情形，最好用解析几何中直线方程的相关知识，高二学生可以证明. 过程从略.
11、问题讨论：从步骤9中的结论可知，直线关于坐标轴、原点对称时，对称图形的方程只是自变量和函数值的符号发生了变化；关于直线y=x、y= -x对称时，对称图形的方程中自变量x和函数值y交换了位置、并且关于直线y= -x对称时符号发生了变化.那么，在直线y=x、y= -x的后面加上一个常数，即函数y= f (x)的图象关于直线y=±x+m　(m为常数)对称图形的方程会发生怎样的变化呢？可以再通过步骤9中提供的方法进一步验证.找到规律之后，进一步提出问题，一个二次曲线f (x,y)=0关于斜率绝对值为1的直线y=±x+m对称的曲线方程与原曲线方程之间的关系是什么？通过数学实验及归纳总结，学生并不难发现其中的规律.
12、对9中得出的结论在曲线中的再验证：以指数函数为例说明.具体操作步骤如下：第一步，打开几何画板，作一条线段，在上取一点，度量的长度，标注标签为.在[图表]菜单中选择“绘制新函数[F]”画出指数函数的图象.在上任取一点，作出点关于轴的对称点，选中和点，在[构造]菜单中选择“轨迹”，得到点随着点运动的轨迹.同理作出点关于轴、原点的对称点，分别得到相应的轨迹.第二步，分别画出函数，，的图象，对照它们与上述三种轨迹的位置，发现它们恰好与上述三种轨迹分别重合，说明9中得出的结论对指数函数是成立的.拖动线段上的点可以发现，随着值的变化，函数图象间的对应关系仍然保持.如图2所示.

图2

函数y=f (x) =的图象作关于直线y=±x+m (m为常数)对称变换的情形可以结合前面所述方法得到.

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13、反思：这个实验充分体现了用实验的手段和归纳方法进行数学教育的思想：从若干实例出发（包括学生自己设计的例子）→在计算机上做大量的实验→发现其中的规律→提出猜想→进行论证和证明[1] .这里主要体现的是学生自己发现并作大胆的猜想，然后在老师的指导下进行证明.最终目的是学生自己提出问题，自己设计实验方法和步骤，作出猜想并探索证明方法，最后写出实验报告，从而提高自己的数学意识和用计算机解决数学问题的能力.传统的数学教学，突出的是对逻辑推理能力的训练，学生被动接受的成分要占主导，忽视了学生对数学知识的发现，许多学生只知其然，不知其所以然.数学实验是促进学生由被动接受转向主动探索学习的一种好形式.在实施数学实验的过程中，学生必然会遇到已经熟悉的数学对象，也必然会碰到很多奇妙的现象和新的数学结论，必然引发学生的好奇心，从而激发学生的求知欲，为他们打下了进一步深入学习的基础.从教师的角度看，用实验的方式教授数学是对传统教学方式的有益补充.促进教师的教学思想的更新，从“讲授知识”的权威模式向以“激励学习”为特色的顾问模式转变，这也正符合现在提倡的研究性学习对教师的要求.