“平均数”教学的新视野

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“平均数”是本册教科书第十一单元“统计”教学的主要内容，涉及的知识点包括平均数的意义，计算简单数据的平均数等。粗略地看，这部分内容好像无异于传统小学数学的教学内容，但仔细品味，我们可以发现，虽然知识还是这些知识，但通过这些知识所要传递的理念和思想，已经发生了重大变化，平均数的教学应该呈现出新的气象。

一．新的教学视角：还平均数的统计本色

在传统的小学数学教学中，平均数是作为一种典型应用题加以教学的。孩子们在低年级时，会学习“把一个数平均分成几份，求一份是多少”的简单应用题，而平均数问题往往呈现这样的特点：已知几个数，在其总和不变的情况下，移多补少，使它们变成相等的几份，求每份是多少。从应用题由简单到复杂的变化看，两者间确有一脉相承的联系。因而，教师们在教学平均数问题时，往往要引导孩子们归纳出“总数÷总份数＝平均数”的解题要点，设计的练习也纯粹从训练学生解题思路出发，完全脱离现实生活的依托，人为地胡编乱造，例如“一辆汽车上午行了3小时，每小时行60千米；下午4小时共行180千米，平均每小时行多少千米？”。试想现实生活中采集数据，哪有上午每一小时采集一次数据，得“汽车每小时行60千米”；而到下午，变成4小时合在一起采集一次数据，得“共行180千米”的做法？很显然，这些做法已经完全掩盖了“平均数是描述一组数据集中趋势的量数”的统计学本质。

统计学认为，某次统计活动中，如果要对数据所蕴含的规律作更精确的描述和更进一步的推论，仅借助统计图表是不够的，为此，需要计算一些有代表性的量数，对整体数据所蕴含的规律作出更简洁明了的数量化描述。平均数就是其中的一个量数。它的基本思想是所有数据的和除以数据的总个数，以体现全体数据的一般水平，对数据总体起着“中心”代表的作用。本单元教材为体现如前所述的统计本色，正本清源的举措包括：

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1．让学生在具体的活动中体会平均数的意义。对小学生来说，“集中量数”这样的专业术语是难于理解的，所以，教材安排学生在运用统计知识解决实际问题的过程中，体会平均数的本质内涵，把握平均数的意义。

2．把认识平均数和学习其他统计知识结合在一起。在数据处理的过程中，可以用统计图表表示数据整理的结果，为了更好地描述数据的特点，可以在此基础上进一步计算平均数。教材在编写中，就通过统计图表呈现原始数据，尔后计算平均数，比较贴切地将求平均数嵌入了数据处理的过程中，利于学生自己体会在数据处理过程中，绘制统计图表与求平均数间的关系。当然，用条形统计图呈现数据，让学生在看图中自己搜集求平均数所需的数据，还利于学生用统计图中涂色方块的移动来揭示平均数的意义，为理解求平均数的方法提供了感性支撑。

3．在统计活动的大背景中设计练习。虽然会计算一组数据的平均数是重要的技能，但过多的训练就会变成一种纯粹的技能训练，妨碍学生体会平均数在数据处理过程中的价值。因而，本单元教材在编拟练习时坚决摒弃了那种似是而非的、人为编造的平均数问题，代之于学生熟悉的、现实的统计题材，这是其一。其二没有人为地将求平均数从一个完整的统计过程中生硬地抠出来，而是尽量减少了纯粹的求平均数的练习，将求平均数的练习放在一个个完整的统计活动中加以训练，比较好地阐释了“平均数是一种统计量”的本质。

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本单元教材编写的上述特点，有待于我们在教学过程中加以落实。但相比而言，在教学过程中，更要注意跳出以往那种立足于典型应用题教学平均数的桎梏，真正地从数据处理分析的角度引导学生把握求平均数的方法。不管怎样，纯粹地从数量关系上说，平均数的问题是平均分问题的延伸，解决平均数问题时要把握总数与总份数间的对应关系，这些客观存在的算理，往往导致教师习惯于从总结典型应用题解题思路的角度引导学生把握求平均数的方法。教学中要避免提出“总数”、“总份数”的名称，避免总结“总数÷总份数＝平均数”的关系，以及“总份数要与总数相对应”的说法等，要注意从数据处理的角度引导学生把握求平均数的方法，例如“求平均数就是将几个数均匀均匀，统计了5个同学的跳绳个数，就要除以5；统计了4个同学的跳绳个数，就要除以4”，即由统计了几个数据来决定除以几。又如，实际问题中提出“求××平均数”就是意味着要收集哪方面的数据，而不是提示用什么方面的总数除以份数，等等。

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二．新的目标追求：发展学生的统计观念

既然本单元教材立足于统计教学平均数，那么重视发展学生的统计观念，也就成为了本单元教学的应有之义。这突出地表现在教学中要注意：

    1．在尝试描述一组数据特点的活动中，学习根据不同的情况选择合适的数据表示数据总体的特点。教材在引导学生认识平均数意义的例题中，呈现了一个有趣的问题：套圈比赛是男生套得准还是女生套得准。在组织学生解决这个实际问题的过程中，教学宜清晰地分为三个阶段，首先让学生认识到由于参加套圈的人数不一样多，用男女生套中的总个数进行比较不尽合理；然后放手让学生尝试用各种数据来表示男女生的套中情况，教材在编写中呈现了两种想法，其意图也就是要让学生充分经历选取数据来表示男女生套中情况的过程；最后在各种表示方法的争论中，让学生感受表示男女生套中情况的代表性数据的意义。教学只有组织了这个过程，学生对平均数的统计意义以及作用才有比较深刻的理解，也才能在面临相类似问题时，能自主地想到用平均数作为一组数据的代表，去进行比较和分析。

虽然认识和计算平均数是本单元教学的主要内容，但教材在编写中并没有将平均数作为分析和处理数据的唯一方式，而是有意识地引导学生思考还能怎么说明这组数据的情况，立足于学生运用统计解决实际问题能力的提高。例如“练习六”中的3、4、6、7题，都非常明确地要求学生从不同的角度描述数据的特点，教学中要注意引导学生根据不同的情况选用合适的数据，提高数据的运用和解释能力。

2．在经历统计活动的全过程中，加深对平均数意义的理解，巩固求平均数的方法，体会统计在解决问题中的作用。统计观念的首要方面是能从统计的角度思考和解决问题。要让学生形成这样的意识，最有效的方法就是让他们真正投入到统计活动的全过程中去。因而，本单元教材并没有过多安排单纯地求平均数的练习，而是非常重视在数据收集、处理、分析的全过程中，巩固和加深学生对平均数意义的理解。特别是教材安排了实践活动“运动与身体变化”，为学生综合运用所学统计知识解决实际问题提供了很好的平台。“运动后身体会发生什么变化”，学生们可以根据自己的亲身体验作出回答，但要弄清运动时间、运动项目与身体变化之间的因果关系，就需要收集数据处理分析。教材为此安排了“提出问题――实验讨论――引申反思”层次分明的三个阶段，完整地引导学生经历了“运动与身体变化”之间关系的研究过程。虽然，这样的课题结论本身并不具有多少意义，但组织学生像一个真正的研究者那样经历完整的研究过程，情感上经历一筹莫展、若有所思、茅塞顿开、悠然心会的变化，对平均数表示一组数据的价值，以及统计在解决问题中的作用就有了深切的体会。

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三．新的教学方式：展示学生的生命活动历程

课堂教学不仅仅是传授知识、培养能力的过程，它的本质是教师有目的、有计划地组织学生进行有效学习活动的过程，是学生和老师共同活动的生命过程。最好的教学就是学生在课堂里进行了有效的学习。根据本单元教材的特点，这种有效学习活动主要体现为以下两点：

1、情感上经历引入平均数的认知冲突。在引导学生认识平均数意义的时候，教学中要注意，放手让学生尝试用各具特点的数据来表示男女生套圈的套中情况，并安排充分的交流活动，在争论中学生们就能体会到如果用张明套中的个数（最多）来表示整个男生的套中情况，没有反映出其中还有套中个数比较少的情况，反之也如此。即本例题原始数据中的单个数据都不能很好地表示整个男生或女生的套中情况。在此基础上，学生们对接纳新知也就有了强烈的情感需求，引入“平均数”水到渠成了。

    2、认知上经历新旧知的融会贯通过程。不论用什么理念指导教学，学生认知的基本规律都要遵循。教育心理学告诉我们，小学生的认识过程是个由未知到已知的过程。移多补少对理解平均数的意义很有帮助，但运用这种方法求一组数据的平均数并不实用。因而，要注意引导学生运用已有的解决平均分问题的旧知探索求平均数的新方法。也就是说，用“数据总和除以数据总个数”的求平均数的方法是学生已有旧知的自然延伸，教学中宜充分利用学生已有的旧知放手让学生自主探索。但新旧知的本质区别还是客观存在的，求一组数据的平均数又不能完全转化为平均分的问题，所以，教学中又要清晰地把握住这点。在总结求平均数的方法时，不能提出“总数÷总份数＝平均数”的关系式。教材在练习设计中，设置了具体的生活情境，引导学生辨析平均数与平均分的区别。教学中对此要舍得花时间，让学生在争论中完成新知与原有认知结构之间的切合。学生原有认知结构和所学新知之间的这种整合过程，学生应该充分享有独立思考的空间，在其心智的内部完成新旧知的融会贯通，体现其生命活动的价值。

四．新的练习取向：让学生得到多方面的感受

练习在学生的数学学习过程中是必须的，但新课程的背景下，练习也要注入新的内涵，在进行基本训练的同时，努力让学生得到多方面的感受，本单元教材就此进行了尝试。在练习设计中，大幅删减了纯粹的技能训练，每个练习题在保证基本的双基训练功能的前提下，都力图呈现各具不同的侧重点，引导学生通过练习在知识技能以外的其他方面得到提升。例如“练习六”中第1、2题，重在引导学生联系现实生活的背景理解平均数的意义。第3题，重在引导学生体会平均数是描述数据特点的重要方式，但不是唯一方式，要根据不同的情况灵活地运用各种数据。第4题有一定综合性，不仅要求学生能根据所要解决的问题，从统计图中搜集有关数据，而且通过“哪些小组植树棵数比平均棵数多？”、“哪些小组植树棵树比平均棵树少？”的提示，引导学生关注平均数的取值范围和原始数据之间的关系。第5题设计了一个完整的统计活动，引导学生经历数据搜集、整理、分析的全过程，从中体会统计方法的应用价值，并通过交流活动，组织学生相互学习合理利用时间的经验。第6题重在引导学生尝试估计一组数据的平均数，教材细致地安排了“观察原始数据”、“大胆估计”、“精确计算”、“比较校正”、“交流估计策略”的练习环节，体现了教材对学生估计能力培养的重视。此外，本题通过“你还能说出这个小组同学身高的哪些情况？”，给学生提供了从不同角度描述数据特点的空间。第7、8题不只是仅仅要求学生计算平均气温、平均体重，更重要的是引导学生体会平均数在现实生活中的广泛应用。当然，这里给出的原始数据更多，或者要求学生自己收集数据，稍稍提高了数据处理分析的难度，使问题更具有挑战性，因而也更有利于培养学生的一般能力。教材最后安排的“你知道吗”，向学生介绍了日常生活中运用平均数进行比较的技巧。教学中，力戒向学生灌输，要结合具体的数据引导学生体会：原始数据的大小对平均数的影响，平均数在反映一组数据一般水平时的局限性，以及减少不正常数据对平均数影响的技巧等等。