论文交流 基于“MM数学教育方式”的课堂“发现”

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摘  要：“MM数学教育方式”是应用数学思想方法指导数学教学和数学教学改革的一种数学教育方式。最能体现“MM数学教育方式”实验特色的两条基本原则是：“教学•研究•发现──同步协调原则”与“既教证明又教猜想的原则”。在小学数学教学中，发现是理解思路的关键，是寻找策略的捷径，也是创造新方法的基石。
关键词：“MM数学教育方式”  解题思路  解题策略  创造



“MM数学教育方式”是应用数学思想方法指导数学教学和数学教学改革的一种数学教育方式。“MM数学教育方式”有6条数学教学的狭义原则。那就是：数学教学中的德育(道德教育)原则；数学教学中的美育原则；充分暴露数学思维活动过程的原则；数学家学习机制激励原则；既教证明又教猜想原则；一般解题方法教学的原则。其中最能体现“MM”实验特色的两条基本原则是：“教学•研究•发现──同步协调原则”与“既教证明又教猜想的原则”。
“MM数学教育方式”改变了过去教学中学生被动学习的局面，使他们对既教证明又教猜想的教学方式产生浓厚兴趣，整个教学过程融入发明、发现的主旋律之中。本文拟就数学课堂中的“发现”，谈谈我们在教学实践中的一些体会。
一、“发现”是理解思路的关键
“要使学生真正理解与掌握数学中的抽象结论，就必须采用一种所谓‘启发式’的叙述形式，把抽象结论的来龙去脉完全剖析给学生……因为人们无法了解到它的来源与构想，只能被动地承认其正确。若整个数学教材基本上是按这种体系编写，教师又不对它进行教学法加工，学生就只有被动地接受与理解这些法则。靠套公式，模仿例题而日复一日、年复一年地机械操练，这对他们智力水平的提高很难有成效。学生的智力得不到发展，而所学内容却不断深化，长此以往，他们就会对数学产生厌恶情绪。”
这段来自“MM数学教育方式”的文字给我们传递了一个很重要的信息，那就是数学教学应遵循学生由形象思维逐步向抽象思维过渡的特征，把知识的来龙去脉完全剖析给学生，如果只注重题海战，机械模仿、操练，对学生智力发展和学习兴趣没有半点益处。
有了这些理论支撑，在教学中我们开始了自己的实践。以引导学生解决一道“错中求解”题为例，题目是这样的：“小红把被除数171错看成117，结果商比原来少了6，正确的算式是什么？”要解决这道题，关键要知道除数是多少。教学时分了三个层次：第一个层次，在黑板上画6个苹果，每2个一份，分成3份，学生列式6÷2=3；接着擦去2个苹果，还是每2个一份，分成2份，学生列式4÷2=2。然后让学生观察，前后苹果的总数少了2个，因为是每2个一份，所以相当于少了1份。这一层次的设计，是照顾班级中基础最弱的那些学生。第二个层次，我启发学生画线段图，6÷2=3表示成6是2的3倍，4÷2=2表示成6少了2后变成2的2倍，把除数看成1份，前后的被除数看成3份和2份，相差一份是因为被除数少了2，所以每份是2，即除数是2。第二个层次的教学其实是借助线段图逐步过渡到第三个层次，抽象出结论：被除数前后的差÷商前后的差=除数。这一过程，正是“数学化”的过程，是穿行于实物与算式之间，由具体、半具体向半抽象、抽象的逐步过渡。
小学生的思维正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，他们的思维仍然以具体形象思维为主要形式，抽象逻辑思维需要在感性材料的支持下才能进行。这样，在教学过程中就不可避免地存在数学知识的抽象概括性与学生思维的具体形象性之间的矛盾，并且这一矛盾势必贯穿于整个小学数学教学过程的始终。因此，我们面临的一个重要任务就是如何在教学中创造良好的条件，帮助学生克服数学学习的思维障碍，妥善解决数学知识特点和儿童思维特点所引起的矛盾。虽然，像这样层层递进由形象到抽象把数学结论的来龙去脉剖析给学生的教学方式会花去一些时间，但这样的教学如果能贯彻始终，透析知识之间的因果关系，就能使学生的思维具有逻辑性，省去大量机械重复练习的时间，大大提高数学学习的效率。
二、“发现”是寻找策略的捷径
小学阶段数学教材的编排体系有一明一暗两条主线：明线是写在课本上的数学知识，暗线是隐藏在知识背后的数学思想方法。数学家苏步青曾说过：“看书要看到底，书要看透，要看到书背面的东西。”这背面的东西，就是数学思想方法。
如，教学《认识人民币》时，有这样的练习：用1角、2角、5角的人民币拿出8角钱，共有几种不同的拿法？
学生通常只会凑出一两种拿法，很少有给出全部拿法的。但如果教师在指导学生做这道题时能及时“指点迷津”，学生的收获就远不止学会解一道题那么简单。
师：拿8角钱，可以只拿一种面值的吗？
生：可以。全用1角的，要8张。也可以全用2角的，要4张。5角的不行，1张太少，2张又多了。”
师：那，要是拿两种面值的呢？先找下朋友吧！1角的可以找──
生1：2角。
生2：5角。
师：对！还有呢？
生：还有2角的找5角的，1角的已经都找过了。
师：都找完了？有没有漏掉的？
生：都找完啦！
师：太好了！下面我们的任务就是找找两种面值一共8角的情况！
学生很快发现2角与5角的组合拿不出8角来，5角与1角的组合也只有1种拿法，但2角与1角的组合拿法就多了。
师：拿法多也不怕！咱们给它排好了，有次序地找，保证一个都跑不了！要是只有1张2角──
生：那就还要6张1角。
师：要是有2张2角呢？”
……
师：拿完一种面值的，拿两种面值的，最后就要拿──
生：三种面值的。很简单，都要1张，1+2+5正好等于8。
师：那么，这道题的答案是？
生：……
师：真棒！你们觉得这道题难吗？
学生点点头，马上又摇摇头：拆开做就简单了。拆成三种不同的情况，不慌不忙地按顺序去找，最后全部加起来，一点也不难。
学生需要“由浅入深”地学，但教师教学却需要“由深入浅”地教。很多看似复杂的问题，其实都能转化、分解为若干道简单的题，先“由深入浅”，再逐步“深入”，直到解决问题。这就是“化归”的思想方法。在不动声色中，学生体验了“化归”的过程、结果与效果，更可贵的是，他们意识到难题都可以被“拆”成几道简单的题，然后一一击破，初步感受了解题的策略与方法。
三、“发现”是创造新方法的基石
特级教师胡炯涛先生认为：“数学教学不能满足于单纯的知识灌输，而是要使孩子掌握数学最本质的东西，用数学思想和方法统率具体知识、具体问题的解法，循此培养和发展孩子的数学能力。”因此，数学教学要注意以数学思想方法为统领，以数学问题及解决过程为载体，培养学生的数学能力，启迪学生的智慧。
教学苏教版四年级（上册）《找规律》时，我们注意在教学中引导学生逐步发现规律，感受数学思想方法。
师：（课件出示夹子、手帕情境图）观察一下，手帕有几块？夹子有几个？
生：手帕有8块，夹子是9个。
师：我们来简洁地画一画，好吗？用横线表示手帕，竖线表示夹子：︱—︱—︱—︱—︱—︱—︱—︱—︱。
师：为什么“︱”比“—”多了1？
生：从左起，每条“︱”对应一条“—”，最后一条“︱”没有对应的“—”，所以“︱”比“—”多1。
师：（课件出示小兔子与蘑菇情境图）你能像刚才一样画一幅图表示小兔子与蘑菇的关系吗？
学生独立画示意图，教师肯定学生用□、○、△等其他符号作的图，并收集以下两张作业展示评价。
生1：︱—︱—︱—︱—︱—︱—︱—︱。（“︱”表示兔子，“—”表示蘑菇）
生2：—︱—︱—︱—︱—︱—︱—︱—。（“—”表示兔子，“︱”表示蘑菇）
师：比较这两位同学的作业，不同点是什么？相同点呢？你发现了什么？
生：小兔子与蘑菇都可以简化为任何一种符号，哪种符号到最后找不到对应的另一种符号，那种符号所代表的量就会多1。
师：（课件出示植树情境图）树与树之间虽然什么也没有，但是存在一定的距离。距离也能用符号来表示。请你再来画一画。
学生自发表示成：︱—︱—︱—︱—︱—︱—︱—︱。（“︱”表示树，“—”表示距离）
师：解释一下树为什么比距离多1？要是距离要比树多1，是怎样种的呢？
生1：—︱—︱—︱—︱—︱—︱—︱—。
生2：距离先出现，最后一个距离没有对应的树，所以距离比树多1。
师：有没有树与距离数量正好相等的情况？
……
本课的教学没有对“植树问题”的各种类型进行细致的划分，而是利用符号思想使学生体会各种一一间隔排列的物体，它们都能被简化为一种符号，这些符号的关系是完全平等，不分主次的。应用一一对应的思想，很容易判断哪种符号最终没有找到对应的符号，那么，它的数量就会多出1。可以说，这是一种借助符号来“发现”，并带来的创新方法。
总之，如果教师能通过自己的教学让学生看到知识背后负载的数学思想方法，并注意点化与渗透，促使学生的发现、领悟和应用，那么，“教是为了不教”才会成为可能。