人教版初中数学新教材七年级上册第三章“一元一次方程”介绍（2012修订）

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备课资料 七年级上册第三章“一元一次方程”介绍（一）（2012修订）
课程教材研究所　田载今
方程是《全日制义务教育数学课程标准（修订稿）》中 “数与代数”领域的重要内容之一，一元一次方程是最简单、最基本的方程.继第一章“有理数”和第二章“整式及其加减”之后，本章对一元一次方程进行研究，主要内容包括一元一次方程的有关概念、解法和应用，化归思想和模型思想隐含于知识之中. 通过学习本章，学生的代数运算能力和数学建模能力将得到进一步发展. 本章共安排四个小节和两个选学内容，教学时间大约需要19课时，具体安排如下（仅供参考）：



3.1  从算式到方程                                         约4课时



3.2  一元一次方程的讨论（一）



——合并同类项与移项                              约4课时



3.3  一元一次方程的讨论（二）



——去括号与去分母                                约4课时



3.4  实际问题和一元一次方程                                约5课时



数学活动



小结                                                      约2课时

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一、教科书内容和课程学习目标

（一）本章知识结构框图

1.利用一元一次方程解决问题的基本过程

2. 本章知识安排的前后顺序

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（二）教科书内容

人们对方程的研究有悠久的历史，方程是重要的数学基本概念，它随着实践需要而产生，并且具有极其广泛的应用.从数学学科本身看，方程是代数学的核心内容，正是对于它的研究推动了整个代数学的发展.从代数中关于方程的分类看，一元一次方程是最简单的代数方程，也是所有代数方程的基础.

本章主要内容包括：一元一次方程及其相关概念，一元一次方程的解法，利用一元一次方程分析与解决实际问题.其中，以方程为工具分析问题、解决问题，即根据问题中的等量关系建立方程模型是全章的重点之一，同时也是主要难点.分析实际问题中的数量关系并用一元一次方程表示其中的相等关系，是始终贯穿于全章的主线.对一元一次方程的有关概念和解法的讨论，是在建立和运用方程这种数学模型的大背景之下进行的，它们在本章前三节中占重要地位.解方程中蕴涵的“化归思想”和列方程中蕴涵的“数学建模思想”，是本章中包含的主要数学思想.讨论一元一次方程的解法时，会直接应用有理数的运算，还会应用“合并同类项” “去括号”等整式加减运算的法则，即第一、二章的内容是关于一元一次方程解法的基础知识.

全章共包括四节：

3．1  从算式到方程

3.1.1  一元一次方程

在小学阶段，用算术方法解应用题是数学课中的重要内容，此外对于方程也有过对一些最简单问题的讨论．本小节先通过一个具体的行程问题，引导学生尝试如何用算术方法解决它，然后再逐步引导学生通过列出含未知数的式子表示有关的量，并进一步依据问题中的相等关系列出含未知数的等式——方程．这样安排目的不仅在于突出方程的根本特征，引出方程的定义，而且要使学生认识到方程是比算术式子更有力的数学工具，字母(未知数)可以列入方程并参与运算，从而给解决问题带来更大的便利，从算术方法到代数方法是数学的进步．

算式表示的是用算术方法进行计算的程序，算式中只能含有已知数而不能含有未知数，这是列算式使用问题中的数量关系时必须遵守的规则．列方程依据问题中的数量关系，特别是相等关系，它打破了列算式时只能使用已知数的限制，方程中可以根据需要含有相关的已知数和未知数，未知数在被解出之前以字母形式进入表示相等关系的式子，是代数方法对于算术方法的新改革．正因有了如此的新突破，所以一般地说列方程要比列算式考虑起来更直接、更自然，因而有更多优越性．

本小节中引出了方程、一元一次方程、方程的解以及解方程等基本概念，并且对于“分析实际问题中的数量关系，设未知数，利用相等列出方程”的过程进行了归纳．这对后续内容的展开具有重要的基础作用.

3.1.2  等式的性质

方程是含未知数的等式，为适合初中学生学习，降低学习难度，本章不涉及关于方程的同解理论，而以相对说来比较容易理解的等式的性质作为解方程的主要根据．本小节通过观察、归纳引出等式的两条性质，并直接利用它们讨论一些较简单的一元一次方程的解法．这将为后面的3.2节和3.3节进一步讨论较复杂的一元一次方程的解法准备理论依据．

本节最后安排的“阅读与思考：‘方程’史话”，简要地回顾了中外古人研究方程过程中的几个重要事件，通俗地介绍了与方程相关的数学史料，这有助于传播数学文化、扩大知识面和增加学习兴趣.

3.2 解一元一次方程（一）—— 合并同类项与移项

本节的重点在于讨论解方程中的“合并同类项”和“移项”两个基本做法，这样就已经可解

类型的一元一次方程．

本节中对于“合并同类项”和“移项”的讨论，分别以问题1和问题2为出发点.以较为简单的实际问题作讨论方程解法的背景，一方面可使学生感觉到要讨论的解法来源于实际问题的需要，另一方面可使根据实际问题列方程贯穿于全章，将列方程的教学过程拉长．从而达到由简单到复杂地逐步提高学生列方程的能力的教学效果.

本节首先提及在数学史上对解方程颇有影响的一部著作，即生活在约780～850年间的阿拉伯数学家阿尔－花拉子米所著的《对消与还原》一书，提问“对消”与“还原”是什么意思，以此作为后面内容的引子．这也具有介绍数学史，传播数学文化的作用．

本节在问题1和问题2之后，各安排了两道例题，其中前一例题是单纯解方程，其作用为巩固对相应解法的理解和掌握；后一例题是简单的实际问题，其作用有两个，一是巩固对相应解法的理解和掌握，二是逐步引导学生理解和掌握如何列方程.解方程和列方程是利用方程分析和解决实际问题的基本过程中不可或缺的两个环节．

本节最后安排的“实验与探究：无限循环小数化分数”，是对一个纯数学问题的讨论.它展示了研究数的问题时方程的应用，这有助于加强知识之间的联系和增加学习兴趣，也有益于以后进一步研究实数.

3.3  解一元一次方程（二）——去括号与去分母

本节的重点在于讨论解方程中的“去括号”和“去分母”两个基本做法，至此就可以解各种类型的一元一次方程，并归纳出一元一次方程解法的一般步骤．

本节中对于“去括号”和“去分母”的讨论，分别以问题1和问题2为出发点，即从一道“用电问题”，引出解方程中的“去括号”问题；又从古代埃及的纸莎草文书中的一道题，引出带有分母的一元一次方程，进而讨论用去分母的方法解这类方程．以较为简单的实际问题作讨论方程解法的背景，这延续了3.2节的做法，其目的如前面所述.

本节通过古埃及数学问题为讨论“去分母”的引子，反映出人们对数学研究有悠久的历史，数学文化源远流长，这也可以增加相关内容的趣味性．

同3.2节的结构一样，本节在问题1和问题2之后，各安排了两道例题，其一是单纯解方程，其二是简单的实际问题，它们对理解和掌握“去括号”和“去括号”解方程，对理解和掌握根据实际问题中的相等关系列方程，有重要的示范作用．

本节归纳了解一元一次方程的一般步骤，至此这类方程的一般解法已得到完整的讨论.

3.4 实际问题与一元一次方程

本节的第一部分，在此前已经讨论过由实际问题列出一元一次方程以及解一元一次方程的一般步骤的基础上，又安排了例1（“成龙配套”问题）和例2（工程问题），并在其后以框图形式归纳了用一元一次方程解决实际问题的基本过程，这是一个重要的小结.

本节的第二部分，进一步以“探究”的形式讨论如何用一元一次方程解决实际问题．要探究的三个问题（“销售中的盈亏”“球赛积分表问题”“电话计费问题”）要比前几节的问题复杂些，问题情境与实际情况更接近，呈现形式也有别于普通数学习题．

本节的重点是建立实际问题的方程模型．通过探究活动，可以进一步体验一元一次方程与实际的密切联系，加强数学建模思想，培养运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力．

由于本节问题的背景和表达都比较贴近实际，其中的有些数量关系比较隐蔽，所以在探究过程中正确地列出方程是主要的难点．突破难点的关键是弄清问题背景，分析清楚有关数量关系，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系．

（三）本章学习目标

1．经历“把实际问题抽象为数学方程”的过程，体会方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，了解一元一次方程及其相关概念，认识从算式到方程是数学的进步.

2．掌握等式的性质，能利用它们探究一元一次方程的解法，知道它们是解方程的依据.

3．明确解方程的基本目标（使方程逐步转化为x=a的形式），在此目标引导下研究方程的解法；熟悉解一元一次方程的一般步骤，掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想.

4．能够找出实际问题中的已知数和未知数，会从数学运算角度分析它们之间的关系；会根据问题所求及题中条件设未知数，会列出方程表示问题中的相等关系，并利用方程求未知数，会结合题意进行检验.

5．通过探究用一元一次方程解决实际问题，进一步体会利用一元一次方程解决问题的基本过程（见上图）和建立数学模型的思想，在解决问题的过程中感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力.

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二、编写时考虑的几个问题



1.突出列方程，结合解决实际问题讨论解方程



    列方程是本章的重点之一，也是难点．为突出重点，分散难点，使学生能有较多机会接触列方程，本章把对实际问题的讨论作为贯穿于全章前后的一条主线．对一元一次方程解法的讨论始终是结合解决实际问题进行的，即先列出方程，然后讨论如何解方程，这是本章的一个特点．教科书先结合两个实际问题的求解过程分别讨论了“合并同类项”和“移项”，并进一步通过一些例题对这两种解方程的变形手段进行综合练习和强化．此后教科书又在对另两个实际问题的讨论中引出解方程中的“去括号”和“去分母”，并进一步通过一些例题和练习题帮助学生掌握它们．在此基础上，教科书归纳总结出解一元一次方程的目标和一般步骤，引导学生提高对一元一次方程解法的认识．我们认为这样处理解方程的教学符合人们对方程的认识过程，体现了方程的各种解法源于实际问题的需要，并且可以加强这章内容与实际的联系，有助于解决部分学生总感觉列方程难、学习列方程的时间过短等问题．



2. 通过加强探究性，培养分析解决问题的能力、创新精神和实践意识



本章的中心任务是，使学生经历建立一元一次方程模型并应用它解决实际问题的过程，体会方程的作用，掌握运用方程解决问题的方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识．由于实际问题的类型多样，在某些问题中数量关系不十分明显，使得建立方程模型表示问题中的相等关系成为教学中的难点．为切实提高利用方程解决实际问题的能力，本章在内容选择上注意加强探究性．例如，第3.4节特别安排了“实际问题和一元一次方程”的内容，选择了三个具有一定综合性的问题（ “探究1 销售中的盈亏” “探究2 球赛积分表问题” “探究3 电话计费问题” ），设置了若干探究点，引导学生利用方程为工具进行具有一定深度的思考，使全章所强调的以方程为工具把实际问题模型化的思想提到新的高度．这些内容包括：利用方程比较估算与精确计算（探究1），利用方程进行推理、判断、检验（探究2中已渗透了反证法的思想），利用方程寻找关键数值，对不同方案进行定量化对比与选择（探究3），安排这些探究问题的目的在于：一方面通过更加贴近实际生活的问题，进一步突出方程这种数学模型的应用具有广泛性和有效性；另一方面使学生能在更加贴近实际生活的问题情境中运用所学数学知识，使分析问题和解决问题的能力、创新精神和实践意识在更高层次上等到提高．



3. 重视数学思想方法和数学文化的渗透



本章不仅重视数学与实际的联系、列方程和解方程的方法，而且重视数学知识中蕴涵的建模和化归等数学思想方法的渗透．，本章所涉及的数学思想方法主要包括两个：一个是由实际问题抽象为方程模型这一过程中蕴涵的符号化、模型化的思想；另一个是解方程的过程中蕴涵的化归思想．虽然考虑到学生的理解能力等原因，教科书没有过多出现“数学模型”一词，但是本章以框图形式对“利用一元一次方程解决问题的基本过程”进行了归纳，意在渗透建模思想．为体现化归思想在解方程中具有指导作用，本章中讨论一元一次方程的各个步骤时，都注意说明解方程的目的即最终使方程变形为x=a（已知数）的形式，各种步骤都是为此而实施的，即在保持方程的左右两边的相等关系的前提之下，逐步使方程变形，从而使“未知”逐步转化为“已知”．



本套教科书的特色之一是，使教科书成为反映科学进步、介绍先进文化的镜子．重视数学的科学价值，同时关注其文化内涵．通过教科书这面镜子的反射，结合教学内容生动活泼地介绍古今数学的发展，深入浅出地反映数学的作用（工具作用和人文教育作用），使学生逐步地认识数学的科学价值和人文价值，提高科学文化素养．本章对于数学文化予以很大关注，从数字到字母，从算式到方程，从算术到代数……这些数学史上的重大进步以及有关方程的名著《还原与对消》、埃及纸莎草文书中的问题等在教科书中都有所反映．编者希望学生通过学习本章不仅在数学知识和能力方面得到提高，而且能够感受到数学文化的熏陶．

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七年级上册第三章“一元一次方程”介绍（二）（2012修订）
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三、对教学的几个建议



1. 关注在前面学段的基础上发展，做好从算术到代数的过渡



本章第3.1节从一个实际问题（行程问题）开始讨论，在引出方程后提出“从算式到方程是数学的进步”.算式与方程表现了算术与代数解决问题的两种不同方法.用算术方法解实际问题是小学阶段中学生已经学习过的内容，它对于提高分析问题中数量关系的能力具有打基础的作用.算式表示一个计算过程，用算术方法解实际问题时，算式受到“其中只含已知数而不能有未知数”的限制；而代数中设未知数或列方程时首先需要用式子表示问题中有关的量，这些式子实际上也是算式，只是其中可能含有字母（未知数）.方程是根据问题中的相等关系列出的等式，其中既含有已知数，又含有未知数，这是代数方程与算术算式的区别之一.由于方程中可以用未知数与已知数一起表示相关的量，并且未知数可以与其他数一样地参与运算，所以方程的应用更为方便.这正是用字母表示数带来的好处.方程的出现使代数方法超越了古老的算术方法.



从课程标准看，在前面学段中已经有关于简单方程的内容，学生已经对方程有初步的认识，会用方程表示简单情境中的数量关系，会解简单的方程，即对于方程的认识已经历了入门阶段，具备了一定的基础，这些基本的、朴素的认识为进一步学习方程奠定了基础.本章的内容是在前面的学习基础上的进一步发展，即对一元一次方程作更系统、更深入的讨论，所涉及的实际问题要比以前学习的问题复杂些，更强调模型化思想的渗透；对方程解法的讨论要更系统、更注重算理，更强调创设未知向已知转化的条件以及解法中程序化的思想.了解以上的联系与区别，有助于在本章教学中注意到应在哪些地方使学生得到新的提高.



2. 关注方程与实际问题的联系，体现数学建模思想



我们生活在一个丰富多彩的世界，其中存在大量问题涉及数量关系的分析，这为学习“一元一次方程”提供了大量的现实素材.在本章教科书中，实际问题情境贯穿于始终，对方程解法的讨论也是在解决实际问题的过程中进行的，“列方程”在本章中占有突出地位，全章教科书按照讨论实际问题的线索而展开.在本章的教学和学习中，要充分注意方程的现实背景，通过大量丰富的实际问题，反映出方程来自实际又服务于实际，加强对于方程是解决现实问题的一种重要数学模型的认识.鉴于本章的学习对象是七年级学生，教科书的叙述力求通俗易懂，在正文中避免过多直接使用“数学模型”等词，而是通过具体例子反复强调方程在解决实际问题中的工具作用，实际上这就是在渗透建立数学模型的思想.



设未知数、列方程是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，而正确地理解问题情境，分析其中的相等关系是设未知数、列方程的基础.在本章的教学和学习中，可以从多角度进行思考，借助图形、表格、式子等进行分析，寻找等量关系，检验方程的合理性.教师还可以结合实际情况选择更贴近学生生活的各种问题，引导学生用一元一次方程分析和解决它们.



本章第3.2节和3.3节中，与解方程相比，列方程居于次要位置，实际问题中的数量关系较简单，讨论它们可以使学生对列方程有初步认识.第3.4节的例1和例2是数量关系稍复杂的实际问题，讨论它们可以使学生对列方程有进一步认识，了解列方程的一般思路.这体现了本章在列方程上由浅入深的整体安排，教学中应注意体会教材前后的联系与变化.



利用一元一次方程解决问题的基本过程（见前面的图），在本章中反复出现并且逐步细化，这有助于从整体上认识一元一次方程与实际问题的关系，请注意在教学中不断强化对它的认识.



3. 抓住方程的主线，复习并加深对相关预备知识的认识



从数学学科内部来看，整式及其加减运算是一元一次方程的预备知识；而从应用的角度来看，一元一次方程要比整式用得更普遍、更直接．



通过本章学习，不仅可以复习有理数运算和合并同类项、去括号等整式加减运算的内容，而且可以进一步体会看似抽象的整式运算在解决实际问题中的用处，从而加深对相关内容的认识．



在本章的教学中，希望能够时刻关注教学重点，注意抓住方程这条主线，突出围绕一元一次方程的讨论，注重解方程的基本功训练，结合方程的解法复习已学整式的知识，帮助学生认识数、式与方程间的联系．



4. 关注培养学习的主动性和探究性



课程改革的目的之一是促进学习方式的转变，加强学习的主动性和探究性.本章内容涉及大量的实际问题，丰富多彩的问题情境和解决实际问题的快乐更容易激起学生对数学的兴趣.在本章的教学中，应注意引导学生从身边的问题研究起，主动收集寻找“现实的、有意义的、富有挑战性的”学习材料，并更多地进行数学活动和互相交流，在主动学习、探究学习的过程中获得知识，培养能力，体会数学思想方法.



在本章的教科书中，安排了许多可提供学生主动进行探究的内容，其中既涉及列方程又涉及解方程，例如3.4节“实际问题与一元一次方程”中的探究1~3就是为提高分析和解决问题的能力而安排的探究性内容，本章的“数学活动”及“拓广探索”栏目下的习题等也设置了很多探究性问题，例如讨论月历中的数字排列规律及由此产生的计算规律等有趣的问题.采用什么方式进行这些内容的教学是需要关注的问题．具体教学方式可能会因时因地因人而易，但是各种方式都应注意鼓励学生积极探究.当学生在探究过程中遇到困难时，教师应启发诱导，设计必要的铺垫，让学生在经过自己的努力来克服困难的过程中体验如何进行探究活动，而不要替代他们思考，不要过早给出答案．应鼓励探究多种不同的分析问题和解决问题的方法，使探究过程活跃起来，在这样的氛围中可以更好地激发学生积极思维，得到更大收获．



5. 关注数学思想方法的教学和学习



前面已经说过，本章所涉及的数学思想方法主要包括两个：一个是由实际问题抽象为方程模型这一过程中蕴涵的模型化（包括符号化）的思想；另一个是解方程的过程中蕴涵的化归思想.在本章的教学和学习中，不能仅仅着眼于个别题目的具体解题过程，而应关注对以上思想方法的渗透和领会，从整体上认识问题的本质.



数学思想方法是通过数学知识的载体来体现的，对于它们的认识需要一个较长的过程，既需要教科书的渗透反映，也需要教师的点拨，最终还需要学生自身的感受和理解.数学思想方法对一个人的影响往往要大于具体的数学知识，例如对解方程的本质有比较透彻的认识，就容易主动地探究具体方程的解法，这远比死记硬背方程的解法步骤的效果要好.因此，我们需要关注数学思想方法的教学和学习，希望教师在如何深入浅出地进行这方面的教学上不断探索.



6. 关注基础知识和基本技能，适当加强练习巩固



本章内容包括一元一次方程的概念、解法和应用.一元一次方程是最基本的代数方程，对它的理解和掌握对于后续学习（其他的方程以及不等式、函数等）具有重要的基础作用.因此，教学和学习中应注意打好基础.



由于本章教科书是以分析解决实际问题为线索展开的，方程解法的讨论安排于分析解决问题的过程之中，但在前面几节解方程是重点.如缺乏对教材设计意图的理解，可能会对它们有所忽视，而掌握方程解法是必须完成的教学目标，所以在教学和学习中应注意对基础知识和基本技能进行归纳整理，使得它们在学生头脑中留下较深刻的印象．从学习心理学的角度看，学生需要通过必要的练习途径来掌握基础知识和基本技能，所以教学和学习中还要注意适当加强对解方程的练习．这里所说的“适当加强”并非一味强调增加练习的数量，而是强调练习要着重在基础内容上，要加强针对性，使学生打好必需的基本功．对于教科书中的练习题以及“复习巩固”“综合运用”栏目下的习题，应切实掌握．在此基础上，再探究更高层次的问题（例如“拓广探索”栏目下的习题等）．



7. 关注数学文化的传承



本套教科书力求能够成为反映科学发展和文化进步的一面镜子，既体现数学的科学性和应用性，又体现数学科学中蕴涵的文化，使学生在学习科学知识的同时，提高文化素养.本章内容不仅涉及数学与实际的关系，渗透建模、化归等思想，而且多处涉及数学上从数字到字母，从算式到方程，从算术到代数等重大历史发展变化，体现了人类对客观世界中数量关系的不断探究和进展，从中可以看出数学文化的源泉和人类追求真知的长期努力，折射出科学文明的光辉和人类认识上的伟大创造力.



教学中除关注要使学生在数学知识和数学能力方面得到提高之外，还需要考虑在传承数学文化方面的工作，结合方程的内容进一步挖掘其文化内涵，通过生动活泼的形式使学生感受丰富的数学文化的熏陶.



此外，本章内容与实际关系密切，涉及问题广泛，因而与多元文化具有联系．例如，阅读与思考“方程史话”介绍了中外数学界研究方程的一些史实，使学生能了解人类认识方程这个重要的数学工具经历了长期不懈的努力探索.习题3.4第13题的原题是用希腊文写的一首诗，它简要记述了希腊数学家丢番图的生平．这是一道有悠久历史的名题，诗中并没有明确说出丢番图的寿命等数字，但是它们已经隐含于诗中，利用方程可以解出这些数字．此题本身就是数学与文学结合的佳作．复习题三第5题是选自元代算学名著《算学启蒙》中的“马匹行走”问题，它以古代行程追及问题为背景，为列、解方程提供了素材.这样选材也是希望能增加数学教科书的人文色彩．类似的例子，还分布于本章的其他之处．在编写本章时，我们有这样的体会，即数学教学应在内容和形式方面更丰富、更鲜活、更吸引人，这样才能使受教育者的科学、文化素养都得到提高．