小学教师教学论文 数学实验：内涵诠释与实践探索

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摘　要：数学实验意识的淡漠在小学数学教学、小学生的数学学习中比较普遍，甚至有人认为数学不需要实验。实际上，数学实验是一种学习方式，是进行数学探究的一种方式，是问题解决的一种方式。因此，我们需要重视数学实验在教学中的积极意义，探索数学实验教学中需要注意的问题，倡导建构一种基于实验的“做数学”的学习方式。
关键词：数学　实验　内涵　实践  



这是一个流传很广的“钟面问题”：一天24小时内钟面上的时针和分针一共重合多少次？我对身边的小学生进行过调研，结果发现：大部分学生无从下手，少数学生能够动笔演算出结果（但是需要较多的时间），也有几个学生能从拨弄手表的实验中收获成功。想到拨弄手表进行实验，问题就不难了，关键在于学生普遍想不到这种方法。
这种数学实验意识的淡漠与我们的教学有着千丝万缕的关联。数学实验是为研究与获得某种数学理论、验证某种数学猜想、解决某种数学问题，运用一定的物质手段，在典型的试验环境中或特定的条件下所进行的一种数学探索活动。数学教学必须重视数学实验意识的培养和实验方法的指导。“经历、观察、感知、操作、模仿、收集、参与、尝试、发现、探究”构成了《数学课程标准》中实验教学的主要行为动词，是实现“过程与方法” 目标的主要途径，也是数学实验的主要思想── “用实验学数学、用实验做数学”。
长期以来，人们有一种误解，认为物理、化学需要实验，而数学不需要实验。其实,人们从结绳计数开始就在进行着数学实验，并且通过实验不断地发展数学。人们最先接触到的数学问题，都是从实践中得来的，然后进一步形成数学理论。从儿童数学学习历程看，他们从幼儿园开始建构数学知识时，就是从实验和操作开始的；小学一年级学生学习数的加法和减法时，是借助实物从数数开始的；在认识图形时，是通过动手折纸、剪纸、画图或其他相关操作来认识的……可见，对于数学实验的关注和研究某种意义上是一种“旧话重提”。为什么要“重提”？主要是基于以下几方面的思考：一是部分学生动手能力教弱；二是不仅在“空间与图形”领域的学习中需要实验，“数与代数”“统计与概率”“实践与综合应用”等领域的学习也需要数学实验的介入；三是现代意义上的数学实验已不再局限于演示教学和简单的动手能力训练，而是更多地被应用于数学研究和问题探究；四是随着计算机技术的迅速发展，计算机模拟（也称计算机仿真实验）为数学实验的研究拓展了更为广阔的空间。
为了了解教师对数学实验的看法及具体实践情况，笔者对南通市8所小学（兼顾不同层次）的130多位不同年龄阶段的数学教师做了一份简单的问卷调查。从中抽取100份有效问卷做了汇总和分析，有89人认为“在数学教学中有必要做数学实验”，但平均每个教师每年仅做过1.41次数学实验，最多的平均每年约7次，最少的平均每年仅0．13次。既然都认为“做数学实验是必要的”，为什么又很少采用这种教学形式呢？问卷中的回答主要有四类：怕影响教学进度的占54％，没有经验的占27％，自己没有时间考虑的占12％，其他原因占7％。
由此可见，要使数学实验真正进入课堂，成为数学教学的一种重要的、有效的教学形式，应特别注意两个问题：一是进一步提升教师对数学实验的价值认同，二是深入开展数学实验教学的相关研究。
一、数学实验方法的分类
数学的学科特点决定了数学实验的方法与物理、化学实验不同。根据所研究问题的不同，以及不同问题所呈现出的不同形式，我们可以将数学实验方法大致归为以下的四类：
1.操作实验。
数学中的有些实验问题，是通过对实物对象的操作完成的，通常被称为操作实验，即利用实物模型或数学教具等进行实验操作，从而发现并解决数学问题。如测量、手工及模型制作、实物或教具演示等，主要是为了帮助学生理解和掌握数学概念、定理，以发现、演示、验证结论为主要目的。
【案例】建筑模型
选择题：小强观察一个建筑模型(由若干个相同的小正方体拼成)，分别从前面、右面、上面观察，看到的图案如下图所示，那么该模型共由(     )个小正方体拼成。





前面          右面            上面
A．8       B.9     C.10     D.11
由于正方体的块数较多，看到的图案相对复杂，所以大部分学生凭想象解决这个问题是不容易的。可以用小方块参照从各个方向看到的图案动手摆一摆，再根据实际情况进行调整，从而解决问题。
2.思想实验。
思想实验就是根据研究目的人为地创设、改变和控制某种数学情景，在一定条件下经过思想活动（包括必要的推理和计算），来研究某种数学现象和规律。这种实验是在想象中完成的，不必依靠具体的实验器材，只需要有一个具体操作的模型作为依据。正如象棋这种高智商游戏是在棋盘上操作完成的，但是它的最高境界却又是在大脑里下“盲棋”。
【案例】撕纸片
简答题：一张纸，将其撕成5片，以后的每一片都可以再撕成5片，照这样撕下去能够撕成25片吗？照这样撕下去能够撕成2011片吗？
能否撕成25片，我们首先可以通过操作实验来完成，并记下每次的结果：
次数  0   1   2   3   4   5   6
片数  1   5   9  13  17  21  25
显然，第6次就能撕成25片了。
还需要真正撕下去吗？显然不必。我们的大脑也会在撕纸片的过程中关注是否能找出其中的规律，而这一问题中的规律就是：原来有1片，每撕一次，将增加4片，撕第n次，会得到（1＋4n）片。这时我们就已将操作实验转化成思想实验，在“头脑中操作”判断能否撕成2011片。
3.模型实验。
数学模型是根据一定的目的，对所研究的客观事物的数量关系，空间形式及其简化的、抽象化的模拟而得到的一种数学结构，通常表现为一些数学符号、数学公式、程序和图形。美国数学家L.Steen说“创建好的数学模型正如证明深刻的定理一样有意义”。数学模型方法是问题解决中借用数学模型处理各类问题的方法。数学模型方法是将数学思想方法应用于理论问题和实际问题的实验。
【案例】糖水浓度
判断题：真分数 ，如果把它的分子和分母同时加上m(m>0)，则所得的新分数 > 。                                                
解答这道题，根据小学生的知识水平和认知特点大多数老师给学生的指导都是举几个真分数的例子去试一试，但是这种举例的方法显然是不严密的，因为它无法穷尽所有的可能。
我们可以尝试构造一个模型实验：将a克糖加上水配成b克糖水，其浓度为 ，如果再加入m克糖，其浓度就变成 ，显然加糖后的糖水浓度应该是提高了，即 > 。这里用一个实际问题的模型将一个抽象的不等式问题阐释得严密、深刻而又直观。
4.模拟实验。
计算技术的快速发展，给数学实验增添了许多的技术成分，计算机模拟实验使得以前手工操作不能实现或不易实现的很多实验得以解决。计算机模拟实验以计算机软件的应用为平台，充分运用现代信息技术，模拟实验环境，通过操作、实践、试验，探索数学定理的证明、数学问题的解决。这种模拟实验，可以是学生按照教师提出的实验要求，自己用电脑完成相应的实验，还可以是学生自己由于解决某个问题的需要而自觉地运用计算机这一工具对问题展开的研究。

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【案例】药物残留量
探索题：小明锻炼时受伤了，医生要求他服用一种药。每次服药量为440mg，每日三次（间隔8小时），连服10天。假如小明身体每8小时吸收药物的60%，试分析学生小明体内的药物含量从什么时候开始将大致稳定在一定的水平上。
这是我在教学“百分数的应用”之后留给学生的一个具有一定挑战性的探索题，原题出自美国数学课程标准。这是一个动态的递推问题，它反映事物的动态变化过程，以8个小时为一个时段，10天一共是30个时段。
若用xk表示k个时间段后的药物含量，可以得到递推公式
xk＋1 =xk×0.6＋440
若将xk理解为第k个8小时后身体内吸收的药物含量，可得递推公式
xk＋1 =（xk＋440）×0.6
启动Excel，在A1单元格输入440，在A2单元格输入“=A1*0.6＋440”，再将A2中的公式向下引用至A30；在C1单元格输入440，在C2单元格输入“=（C1＋440）*0.6”，再将C2中的公式向下引用至C30，得到如图所示系列实验数据。























由此可见，大约到第15个时间段左右即服药5天后，药物含量（或吸收量）将会大致稳定在一定的水平上。
二、数学实验教学的探索
实验是一种数学学习方式，是进行数学探究的一种方式，是数学应用及问题解决的一种方式。教学苏教版四年级（上册）《游戏规则的公平性》这一内容，我设计了三次摸球的游戏活动，这里的摸球游戏其实就是一种实验，是一种真正能够“寓教于乐”的教学方式。
【摸球游戏1】
在一个小包里放了一些球（6个黄球），每次任意摸出一个球，摸到黄球算老师赢，摸到白球算学生赢。摸球结果都是老师赢，学生质疑老师作弊。老师将球倒出，学生大呼上当。
一上课就让孩子紧紧地“盯”上了这个实验，对实验的关注不是教师的强制要求，而是源自对实验本身的兴趣。
【摸球游戏2】
调整包里球的个数（6个黄球，2个白球），再玩一次。白球代表“男生”，黄球代表“女生”，哪种颜色的球摸到的次数多，就代表哪一方获胜。详细说明游戏要求后，游戏开始。
游戏结束后，先比较学生的各种记录方法（打“√”的，画“○”的，写“正”字的……），分析利弊（画正字，既简洁又明了，又便于汇总），然后再公布游戏结果，女生获胜。男生不服气并陈述理由，再次将包里的球倒出来，学生一片哗然……
组织学生的实验活动，首先要拟定可操作的实验规则，没有明晰的规则，实验的组织就会涣散，效果一定不会好。对记录方式的比较是一种实验过程中的方法指导，用画“正”字来记录实验数据是学生在比较后自主地做出的选择。实验之后的反思很重要，只有充分反思，才能让学生获得“思维的发展”，没有思维参与的实验活动必将沦为“机械的操作”。
【摸球游戏3】
先讨论“该怎样改变包中的球，才能使游戏变得公平”，然后预测“当黄球和白球的个数一样多时摸球的结果可能是怎样的”，接着公布小组合作要求，分小组设计并实施一次公平的摸球游戏，最后结合实验数据分析指出：规则公平，双方赢的机会是均等的，但在规则公平的前提下仍然会有输赢，这就是游戏的魅力所在。
实验前的“预测”显得尤为必要，因为不少学生认为：球的个数相等，实验的结果摸到两种球的个数也应该是相等的。揭示错误，正是为了矫正错误。数学实验教学中小组合作是经常使用的组织形式，明晰的合作要求、合理的小组分工、良好的合作习惯都很重要。另外，对实验数据的分析是一种重要的能力，教师在教学中要有意关注。
在具体的实验教学中，下面几点尤其要注意：第一，实验动机，不能“一厢情愿”。目的不明，意义不清的实验，对于学生而言很大程度上就是一种“机械的操作”而已。真正有效的实验，学生应该有明确的实验动机，教师只起一个引路人的作用。第二，实验方案，不求“一步到位”。一些数学课堂过分追求“顺畅”，教师把实验方案控制得太“死”，学生实验做得顺顺当当，然而实验之后，认识并没有提升。实验过程过于“顺利”背后潜伏着的往往就是“肤浅”。第三，实验过程，不得“一做了之”。“数学实验”不能等同于简单的“动手操作”，一定要重视孩子活动前的估计、预测，活动后的分析、反思。数学实验中学生积累感性体验很重要，而理性思考则更为重要。第四，实验结论，不可“一告而知”。教师不能过于简单地呈现实验结论，结论应尽可能由学生来总结。如果有困难，可以借助统计、观察、比较、反思等方法，让学生逐步逼近结论，经历结论的形成过程。               

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作者:海安县实验小学　　储冬生