作业六答案：通过学习“小学函数思想和模型思想的教学策略”课程，说说什么是数学模型？什么是模型思想？举例说明

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参考答案内容：  
问题1：
小学数学中的数学模型，主要的是确定性数学模型，广义地讲，数学的概念、法则、公式、性质、数量关系等都是模型。数学模型具有一般化、典型化、和精确化的特点。
问题2：什么是模型思想？
就是针对要解决的问题,构造相应的数学模型,通过对数学模型的研究来解决实际问题的一种数学思想方法。
（1）模型化思想是“问题解决”的重要形式
（2）模型化思想是培养学生“用数学”的重要途径
（3）模型化思想有利于培养学生的创造能力
在小学阶段渗透函数思想方法，可以使学生懂得一切事物都是在不断变化、而且是相互联系与相互制约的，从而了解事物的变化趋势及其运动的规律。这对于培养学生的辩证唯物主义观点、培养他们分析和解决实际问题的能力都有极其重要的意义，而且可以为学生以后进一步学习数学奠定良好的基础。
例如，在探究商不变性质时：
    首先出示除法算式给学生计算（先计算，后寻找规律）
接着让学生观察所有算式及答案各有什么特点（找规律）
    让学生思考并讨论得出这样的结论:被除数和除数同时扩大和缩小相同的倍数，商不变。（注意让学生了解变与不变的量）。这样就有了隐藏的函数思想.
接着再出示红习，让学生不用计算可以根据前一题得到的规律加以解决。这种整合不光是能解决一两个练习的问题，而是让学生从中体会到“当一个数变化，另一个数不变时，得数变化是有规律的”这种朴素的函数思想，同时为六年级学习正、反比例做了很好的孕伏。这样做可以把商不变的性质、小数除法、正比例和反比例的相关知识串联起来，使知识脉络化，可以说是一举多得，而这种“得”归根到底是依赖于函数思想而实现的。     而在小学数学教材中，模型无处不在。小学生学习数学知识的过程，实际上就是对一系列数学模型的理解、把握的过程。在小学数学教学中，重视渗透模型化思想，帮助小学生建立并把握有关的数学模型，有利于学生握住数学的本质。模型思想就是针对要解决的问题,构造相应的数学模型,通过对数学模型的研究来解决实际问题的一种数学思想方法。（1）模型化思想是“问题解决”的重要形式（2）模型化思想是培养学生“用数学”的重要途径（3）模型化思想有利于培养学生的创造能力
在小学阶段渗透函数思想方法，可以使学生懂得一切事物都是在不断变化、而且是相互联系与相互制约的，从而了解事物的变化趋势及其运动的规律。这对于培养学生的辩证唯物主义观点、培养他们分析和解决实际问题的能力都有极其重要的意义，而且可以为学生以后进一步学习数学奠定良好的基础。
    其次，给学生出示生活中关于摆花盆、装路灯、设置公交车站等等问题，让学生都能应用植树问题的模型很好的解决它们。
     

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答题内容：  
数学模型也没有一个统一的、准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。一般是指用数学语言、符号和图形等形式来刻画、描述、反映特定的问题或具体事物之间关系的数学结构。

小学数学中的数学模型，主要的是确定性数学模型，广义地讲，数学的概念、法则、公式、性质、数量关系等都是模型。数学模型具有一般化、典型化、和精确化的特点。

模型思想:就是针对要解决的问题,构造相应的数学模型,通过对数学模型的研究来解决实际问题的一种数学思想方法。

在小学数学教材中，模型无处不在。小学生学习数学知识的过程，实际上就是对一系列数学模型的理解、把握的过程。在小学数学教学中，重视渗透模型化思想，帮助小学生建立并把握有关的数学模型，有利于学生握住数学的本质。如何在小学数学教学中渗透模型思想呢？

(一）、多运用实物模型

在小学数学中，学生要接触各种数：自然数、分数、小数，这些数都是现实模型的抽象。因此在教学中要适时用到一些实物模型如在低年级教学时用到的小棒：有一根一根的，一捆一捆的。这样，学生在接触数学时，通过学生的直觉和动手，逐渐有了一和十的概念。

(二）、选择合适的数学模型，让学生逐步感觉模型思想

在平时的教学中，一节课中可用的数学模型有很多，而如果无目的的滥用，可能会造成课堂混乱，学生注意力不集中，或对本节课的重难点理解作用不大等适得其反的后果，这就需要教师提前在备课时根据学生年龄特点、知识分布、学生个性特征等，选用合适的数学模型。如在低年级教学，可多用一些直观的、动手操作性强的模型，而在学生学习数学有一定的经验后，可逐步采用一些抽象性的如图表模型、数线模型等，这样，即让学生有了一定的成就感，还有助于学生模型思想的培养。

(三）、更加关注学生的学习过程

数学教学不只是为了教给学生知识，而是要教会学生学会发现问题，进而运用数学思维方法去解决问题。因此，在小学数学的教学中，就要关注学生学习的过程，让学生在通过一些直观模型、抽象模型得出数学结论的同时，学会解决数学问题的方法和培养自己勤于动手，不畏困难的品质，为学生一生的学习成才奠定基础。

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答题内容：  
模型思想在小学数学教学中的渗透

（一）数概念模型

每一个数概念就是一个数学模型。自然数、分数、小数都是现实模型的抽象。

1．整数的直观模型

教材中提供多种模型帮助学生经历、感受建模过程，体会模型思想。

（1）有结构的实物

（2）数位筒

（3）计数器（算盘），在这一阶段孩子对于数位的理解已经有抽象的成分在里面，并含有一定的位值思想。

（4）数位表：在数位表上摆珠子，孩子理解数位表上的珠子的意义比上一个层次更加抽象。

（5）半形象、半抽象的“数尺”、数轴、百数表。

2.分数的直观模型

小学数学教材中，分数有多种直观模型：

（1）实物模型

（2）面积模型

（3）集合模型：用集合的“子集—全集”来表示分数

（4）分数的“数线模型”

(二)、运算模型

加法、减法、乘法、除法的运算也是数学模型。

1.表内乘法中的计算模型：

国内教材：

※实物：具体情境中的事例

※矩阵：实物摆成的矩阵

实物摆成的方格矩阵

※数线：只有人教版在8和9的口诀学习中使用了数线模型

国外教材：

※实物

※矩阵：实物摆成的矩阵（方块、点子图）

方格摆成的矩阵

※百数表（乘法表）

※数线

2.“具有十进关系”的面积模型

(三)方程模型

方程是建模思想的重要体现——现实模型——静态模型、动态模型

（四）几何图形是模型

每一种图形本身就是一种数学模型。点、线、面、基本的平面图形、立体图形的定义就是生活中几何模型向抽象的数学模型的构建过程。平面图形、立体图形的周长、面积、体积的计算公式就是模型化思想渗透的重要途径。

计算公式是模型、模式与函数是模型、搭配、运算律、数学公式、“份总”关系、统筹问题、鸡兔同笼问题、植树问题、商不变的性质、工程问题、行程问题（行走中的数学、相遇问题）、烙饼问题、田忌赛马等等都是模型，模型无处不在。

从模型和模型化思想的角度来进行教学研究，要求我们在平日的教学中

（1）要更加关注学生学习的过程。

（2）要重视解读课本中呈现的数学模型，知道从模型描述的是对象的哪些特征，反映的是什么样的关系，与其它知识之间的联系是什么，这个知识的背景、发展历史，应用在哪儿等几个方面来解读模型。

（3）理解课标倡导的“情境——建模——应用、反思拓展”的意思，并研究实践这样的教学模式，获得宝贵的实践经验。

（4）重视建模需要的思维方法的训练。

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答题内容：  


     数学建模一般是指解决实际问题，要求学生能把实际问题归纳或抽象成数学模型加以解决，从数学角度讲，数学建模是舍去无关紧要的东西，保留其数学关系，形成数学结构。

         模型思想就是针对要解决的问题,构造相应的数学模型,通过对数学模型的研究来解决实际问题的一种数学思想方法。

        （1）模型化思想是“问题解决”的重要形式

       （2）模型化思想是培养学生“用数学”的重要途径

       （3）模型化思想有利于培养学生的创造能力


在教学中为了渗透模型思想的。我努力创设情境展开教学。如如以《平均数》为例：《从意义建模到能力生成》 金坛实验小学建造新校园，甲乙两个学生小队参加义务劳动，并进行1分钟搬砖比赛：　　

1、看到这些数据，你获得了哪些信息？　　

2、哪队搬砖快？你评判的标准是什么？（甲队一共15块，乙队一共12块，甲队搬砖的总数多，就说明甲队胜利，我们对甲队表示祝贺。）　　

3、这时小明加入乙队，1分钟搬砖4块，现在乙队一共搬砖16块，裁判判定乙队为获胜队，并向乙队表示祝贺。　　

4、（有些学生举手表示反对）你们有什么想法？假如你是甲队的队员，你有意见吗？为什么？　　

5、“哎呀，看来人数不相等，用比总数的办法决定胜负不公平。”　　

6、在人数不相等的情况下，难道就没有更好的办法来比较搬砖的快慢？　　

创设情景、感知平均数意义模型　　

7、用平均数能比较出。什么是平均数呢？（生结合自己的知识经验和生活经验说理解。）　　

8、你认为这两种评判标准在适用范围上有什么不同？

　　本题所设计的“问题情景”是生活中比赛场景和平均数意义的自然融合，这个比赛场景隐含着平均数意义的本质，具备情景的开放性和模糊性两个特点，学生在自由地解读中整理两组数据，而情景的呈现和解读并不是一步到位的，情景分两次呈现，从而激起学生思维冲突，思考更好的评判标准，从而有序地推进数学问题的深入。这样，从一个生活比赛场景中抽取出平均数意义的过程，反映出从一个生活问题（哪队搬得快）到数学问题（什么是平均数）的抽取过程，也是学生对平均数意义初步感知的过程。

对于学生来说，在教师的引导下通过具体生活中的情境活动，发现一些数学问题是学习数学的重要阶段，但这并不是数学学习的全部。只有让学生对发现的问题进行概括、整理，从中寻找其普通的规律，才能抽象出数学结构（即数学模型）即二次建模。

如以上题目《平均数》二次建模：　　

      1、怎么求出两队的平均数？四人小组讨论，推选一位介绍学习成果。　　

      2、反馈：哪个小组来汇报一下？　　

      ①估算：我们组估计一下，如果要使他们同样多，甲队大概在5块左右，乙队大概在4块左右……　　

      平均数的范围：最小数＜平均数＜最大数　　

      ②移多补少方法：对估算方法的验证延伸出来。电脑呈现：我们一起来估算一下，（把一根水平线移到7的位置），平均数会是7吗？为什么？……　　

      ③计算。甲队：（7+6+5）÷3=5（块）　　

      乙队（2+7+3+4）÷4=4（块）　　

      1）你是怎么想的？5代表什么？4代表什么？　　

      2）和小李的5一样吗？和小风的4块一样吗？（这种数字相同纯属巧合）　　

      3）平均数跟以前学过的每份数一样吗？（实质不同：呈现每份数的条形图和平均数的条形作对比。）　　

      4）总数量÷总份数=平均数　　



通过协作学习和教师有力度问题的追问，有机地呈现出估算、移多补少、计算等三种相互联系的方法，在对比中达到清晰概念、深刻理解概念的目的。　　

总之，数学建模过程可以使学生在多方面得到培养而不只是知识、技能，更有思想、方法，也有经验积累，其情感态度（如兴趣、自信心、科学态度等）的培养也会得以落实，从而进一步将数学理论与实际问题联系在了一起。





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生：我发现每样东西下面都有个价格牌。

师：你观察的真仔细，同学们都看看上面写了什么呀？

生：QQ糖，2.20元

师：真厉害，它与我们前面学的数可不一样，它叫小数。（板书课题）《小数的初步认识》

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答题内容：  
所谓“模”，即“建模”。也就是在教学中要帮助学生不断经历将现实问题抽象成数学模型并进行解释和运用。对小学数学而言，“建模”的过程，实际上就是“数学化”的过程，是学生在数学学习中获得某种带有“模型”意义的数学结构的过程。以下是两位老师利用同一素材教学“减法”的片段：
【教学片段1】
出示情境图。
师：请同学们认真观察这两幅图，说一说从图上你看到了什么？
生：有5个小朋友在浇花，走了2个，剩下3个。
师：你真棒!谁再来说一说。
生：原来有5个小朋友在浇花，走了2个小朋友，还剩下3个小朋友。
师：很好！你知道怎样列式吗？
生：5-2=3。
教师听了满意地点点头，板书5-2=3。
接着教学减号及其读法。
【教学片段2】
出示情境图。（同上）
师：谁来说一说第一幅图，你看到了什么？
生：从图中我看到了有5个小朋友在浇花。
师：第二幅图呢？
生：第二幅图中有2个小朋友去提水了，剩下3个小朋友。
师：你能把两幅图的意思连起来说吗？
生：有5个小朋友在浇花，走了2个，还剩下3个。
师：同学们观察得很仔细，也说得很好。你们能根据这两幅图的意思提一个数学问题吗？
生：有5个小朋友在浇花，走了2个，还剩几个？
生（齐）：3个。
师：对，大家能不能用圆片代替小朋友，将这一过程摆一摆呢？
（教师在行间指导学生摆圆片，并请一生将圆片摆在情境图的下面。）
师：（结合情境图和圆片说明）5个小朋友在浇花，走了2个，还剩3个；从5个圆片中拿走2个，还剩3个，都可以用同一个算式（学生齐接话：5-2=3）来表示。（在圆片下板书：5-2=3）
生齐读：5减2等于3。
师：谁来说一说这里的5表示什么？2、3又表示什么呢？
……
师：同学们说得真好！在生活中存在着许许多多这样的数学问题，5-2=3还可以表示什么呢？请同桌互相说一说。
生1：有5瓶牛奶，喝掉2瓶，还剩3瓶。
生2：树上有5只小鸟，飞走2只，还剩3只。
……
        上述两段教学，所体现出来的教学着力点是不一样的。第一个片段，属于“就事论事”式的简单教学，教师对教学的定位完全停留在知识传授的层面上，“5-2=3”仅是一道题的解答算式而已。第二个片段，除了教学充分展开外，更主要的是渗透了初步的数学建模思想，训练的是学生抽象、概括、举一反三的学习能力。且这种训练并不是简单、生硬地进行，而是和低年级学生数学学习的特点相贴切——由具体、形象的实例开始，借助于操作予以内化和强化，最后通过思维发散和联想加以扩展和推广，赋予“5-2=3”以更多的“模型”意义。

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答题内容：  
也就是在教学中要帮助学生不断经历将现实问题抽象成数学模型并进行解释和运用。         数学模型是指用数学语言描述了的实际事物或现象。它一般是实际事物的一种数学简化。它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别。要描述一个实际现象可以有很多种方式，比如录音，录像，比喻，传言等等。为了使描述更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。模型思想就是在教学中要帮助学生不断经历将现实问题抽象成数学模型并进行解释和运用的思想。有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。       今天反复听了小学数学中渗透数与形结合思想的教学策略，体会到数与形结合思想在数学学习过程中有非常重要的作用，不但促进了学生形象思维和抽象思维的协调发展，而且沟通了数学知识之间的联系, 从复杂的数量关系中凸显最本质的特征，小学数学教学中注意数形结合思想的培养数学主要是研究数与形的学科，小学生的思维特点又处于形象思维向抽象思维过渡的阶段。因而，数形结合是学生最喜欢、最常用的一种学习数学的方法。例如，用“形”来帮助学习“数”。        新课标教材将负数引入到小学数学中来，当学生理解了正小数、正整数都是正数，负小数、负整数都是负数后，老师直接请学生比较下列每组数的大小： ①、1.2和-2.4 ②、②-3.5和0 ③、-2.4和-3 ④、-3和-3.5 　　学生先画出一数轴，再在上面标出4组数中的各个数。然后，他们受到数轴及数轴上的数的刺激，发现正、负整数及零的大小比较方法（负整数＜零＜正整数，或在数轴上表示的数是左小右大），同样适用于正、负小数及零大小的比较，进而也找到了正、负小数及零大小比较的方法，并得出： ①、1.2＞-2.4 ②、-3.5＜0 ③、-2.4＞-3 ④、-3＞-3.5 　　又如，用“数”来帮助学习“形”。学生学习长方形的面积，先是数面积，后来发现用算“数”（长×宽）的方法能很快地知道长方形的面积。       学生学习活动中的学习方法，并非只是某一种学习方法在起作用，而往往是几种方法在起共同的、相互的作用，“一法为主，多法并重”的学习活动，才更有助于学生实现学习心理的相互作用、互为转化，获得学习成功。       学生在学习活动中，一方面要有较为充裕的学习时间，因此，作为教师的我们要舍得花时间让学生去学习；另一方面，需要相互之间商量议论和合作学习，这样才容易互为启发、补充，形成学习方法和数学思想。