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发表于 2012-6-3 01:06:06
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参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1.A【解析】因为复数 为纯虚数，所以 ，解得 ，选A.
2.A【解析】集合 ，而 ，因为 ，所以 ，选A.
3.A 【解析】∵f( )= =—1< 0； ∴ f(—1)= .
4.C 【解析】不等式 的解为 或 ；不等式 的解当 时，成立，当 时，得 ，所以不等式 的解为 或 ，所以不等式 ”是“不等式 ”成立的充要条件，选C.
5.B 【解析】 ，又 ．
6.D 【解析】设等差数列的首项为 ，公差为 ， ，即 ，又 ，解 得 ，所以 ，选D.
7.C 【解析】若俯视图为A,则几何体为边长为1的正方体，所以体积为1，不满足条件；若为B,则该几何体为底面直径为1，高为1的圆柱，此时体积为 ，不满足条件；若为D, 几何体为底面半径为1，高为1的圆柱的 部分，此时体积为 ，不满足条件，若为C，该几何体为底面是直角三角形且两直角边为1，高为1的三棱柱，所以体积为 ，满足条件，所以选C.
8.D 【解析】由导数图象可知，当 或 时， ，函数单调递增，当 或 ， ，函数单调递减，当 和 ，函数取得极大值 ， ，当 时，函数取得极小值 ,所以函数 不是周期函数，①不正确；②正确；因为在当 和 ，函数取得极大值 ， ，要使当 函数 的最大值是4，当 ，所以 的最大值为5，所以③不正确；由 知，因为极小值 未知，所以无法判断函数 有几个零点，所以④不正确，所以真命题的个数为1个，选D.
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
9. 【解析】 .
10. 55% 【解析】后两个小组的频率为 ，所以前3个小组的频率为 ，又前3个小组的面积比为 ，所以第三小组的频率为 ，第四小组的频率为 ，所以购鞋尺寸在 的频率为 .
11. 4 【解析】第一次运算为 ，第二次运算为 ，第三次运算为 ，第四次运算为 ，第五次运算不满足条件，输出 ，所以 ，填4..
12. 【解析】 ， ，因为 ，所以 ，解得 .
13. 161 【解析】 ，所以 ，二项式为 ，展开式的通项为 ，令 ，即 ，所以 ，所以 的系数为 ，令 ，得所有项的系数和为 ，所以不含 项的系数和为 .
14.②③④ 【解析】①命题的否定为“任意的 ， ”，所以不正确；②因为 ，又 ， ，所以函数的零点在区间 ，所以正确；③把极坐标方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式求出极点到直线的距离， ，即普通方程为 ，则极点到直线的距离为 ，正确；④函数的导数为 ，当且仅当 ，即 时取等号，所以正确；⑤线性回归直线 恒过样本中心 ，但不一定过样本点，所以不正确，综上正确的为②③④.
三、解答题（共6小题，共80分）
15.解：（Ⅰ）
，
由题意知，最小正周期 ， ，所以 ，
∴
（Ⅱ）将 的图象向右平移个 个单位后，得到 的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 的图象.
令 ，∵ ,∴
，在区间 上有且只有一个实数解，即函数 与 在区间 上有且只有一个交点，由正弦函数的图像可知 或
∴ 或 .
16.解：（1）设等差数列 的公差为 ，则由条件得
，
解得 ，
所以 通项公式 ，则
（2）令 ，则 ，
所以，当 时， ，当 时， .所以，当 时，
当 时，
所以
17.（Ⅰ）解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是 ．
记“甲以 比 获胜”为事件 ，
则 ．
（Ⅱ）解：记“乙获胜且比赛局数多于 局”为事件 .
因为，乙以 比 获胜的概率为 ，
乙以 比 获胜的概率为 ，
所以 ．
（Ⅲ）解：设比赛的局数为 ，则 的可能取值为 ．
，
，
，
．
比赛局数的分布列为：
18.
（Ⅰ） 为等边三角形，
设 ，则 ，
即 ．
底面 ， 平面 ， ．
．
（Ⅱ）取 中点 ，则 ，又 ，
所以△ 为等边三角形．
则 ， ．
分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，设 ，
则 ．
．
设平面 的法向量为 ，
则 ，
取 ．
平面 的法向量为 ，
则 ，
取 ．
．
所以二面角 的余弦值为 ．
19.解：（Ⅰ） ，
直线 的斜率为 ， 曲线 在点 处的切线的斜率为 ,
……①
曲线 经过点 ，
……②
由①②得：
（Ⅱ）由（Ⅰ）知： ， ， , 由 ，或 .
当 ，即 或 时， ， ， 变化如下表
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
由表可知：
当 即 时， ， ， 变化如下表
- 0 + 0 -
极小值 极大值
由表可知：
综上可知：当 或 时， ；
当 时，
（Ⅲ）因为 在区间 内存在两个极值点 ，所以 ，
即 在 内有两个不等的实根．
∴
由 （1）+（3）得： ，
由（4）得： ，由（3）得： ，
，∴ ．
故
20.解： (Ⅰ)则由题设可知 ，
又
所以椭圆C的方程是 .
(Ⅱ)解法一：假设存在点T（u, v）. 若直线l的斜率存在，设其方程为 ，
将它代入椭圆方程，并整理，得 ．
设点A、B的坐标分别为 ，则
因为 及
所以
当且仅当 恒成立时，以AB为直径的圆恒过定点T，
所以 解得
此时以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）.
当直线l的斜率不存在，l与y轴重合，以AB为直径的圆为 也过点T（0，1）.
综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1），满足条件.
解法二：若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆是
若直线l垂直于y轴，则以AB为直径的圆是
由 解得 .
由此可知所求点T如果存在，只能是（0，1）.
事实上点T（0，1）就是所求的点. 证明如下：
当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为 ，过点T（0，1）；
当直线l的斜率存在，设直线方程为 ，代入椭圆方程，并整理，得 8分
设点A、B的坐标为 ，则
因为 ，
所以 ，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）.
综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件.
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发表于 2012-6-3 01:05:47
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