北师大版七年级下册数学《变化中的三角形》导学案课件PPT板书设计教学实录

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北师大版七年级下册数学《变化中的三角形》导学案课件PPT板书设计教学实录
第二课时
●课    题
§6.2  变化中的三角形
●教学目标
（一）教学知识点
1.经历探索某些图形中变量之间的关系的过程，进一步体验一个变量的变化对另一个变量的影响，发展符号感.
2.能根据具体情况，用关系式表示某些变量之间的关系.
3.能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系.
（二）能力训练要求
1.发展符号感和抽象思维能力.
2.发展有条理的思考和表达能力，用变化的思想研究自变量和因变量的关系.
（三）情感与价值观要求
继续体验从运动变化的角度认识数学对象的过程，发展对数学的认识.
●教学重点
1.列关系式表示两个变量的关系.
2.根据图形的面积公式或体积公式来求两个变量之间的关系式，会利用关系式根据任何一个自变量的值，求出相应因变量的值.
●教学难点
将具体问题抽象成数学问题并将它用关系式表示出来.
●教学方法
启发——自主探究相结合
在教师的启发和学生已有基础知识下，鼓励他们实践、探索变化过程中的变量关系、数量关系，体会自变量和因变量的依存关系，借助关系式表示变量之间的关系.
●教具准备
课件演示一：三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动；
课件演示二：圆锥的底面半径由小到大的变化；
课件演示三：圆锥的高由小到大的变化.
●教学过程
Ⅰ.创设情景，引入新课
［师］我们先来看下面的问题：
1.（1）如果正方形的边长为a，则正方形的周长C=________;面积S=________；
（2）圆的半径为r,则圆的面积S=________;
（3）三角形的一边为a，这边上的高为h，则三角形的面积S=________；
（4）梯形的上底、下底分别为a、b,高为h，则梯形的面积S=________;
（5）圆锥的底面的半径为r,高为h，则圆锥的体积V=________;
（6）圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的体积V=________.
2.填写下表并回答问题：
n 1 2 3 4 5 6 7
m 4 5 6 7 8 9 10
（1）表格反映的是哪两个变量的关系？谁是自变量？谁是因变量？
（2）根据表格中的数据，说一说m是怎样随n而变化的？
［生］1.（1）C=4a,S=a2;（2）S=πr2;（3）S= ah;（4）S= （a+b）h;（5）V= πr2•h;（6）V=πr2•h.
2.（1）表格中反映的是m和n这两个变量的关系，其中n是自变量，m是因变量.
（2）m随n的增大而逐渐增大.
［师］在第2题中，我们借助于表格，反映了两个变量的关系.我们还能不能借助于其他的形式来反映两个变量m和n的关系呢？
［生］从表格中我发现有一个规律，每一个m的值都比对应的n的值大3.因此用等式m=n+3可以反映两个变量m,n的关系.
［师］真棒！以前我们学习过的一元一次方程是含有未知数的等式，如今我们又要用等式来表示两个变量的关系，你们认同吗？
［生］认同！
［师］很好.我们在这里就把m=n+3这个等式叫做m随n变化的关系式.
Ⅱ.讲授新课
——根据具体情况，用关系式表示某些变量之间的关系.
1.变化中的三角形
看一看：课件演示一
看图回答下列问题：
图6－2中的三角形ABC底边BC上的高是6厘米，当三角形的顶点C沿着底边所在直线向B点运动时，三角形的面积发生了变化.
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量分别是什么？
（2）如果三角形的底边长为x（厘米），那么三角形的面积y（厘米2）可以表示为________.
（3）当底边长从12厘米变化到3厘米时，三角形的面积从________厘米2变化到________厘米2.

图6－2
［师］从上面的课件演示过程来回答上面的问题.
［生］（1）自变量是△ABC的底边BC的长，因变量是△ABC的面积.
［生］（1）中的自变量也可以是∠ACB.
（2）y=3x
（3）当底边长是12厘米时，y= ×12×6=36（平方厘米）；当底边长是3厘米时，y= ×3×6=9（平方厘米）.因此当底边长从12厘米变化到3厘米时，三角形的面积从36厘米2变化到9厘米2.
［师］从同学们的回答中可以看到y=3x表示了三角形的底边长x和面积y之间的关系，它是变量y随变量x变化的关系式.因此，关系式是我们表示变量之间关系的又一种方法.大家可以比较一下这两种表示变量关系的方法——表格法和关系式法.
（让同学们与同伴交流，教师可倾听一下同学们在下面的说法）.
［生］用表格法表示变量之间的关系，只有自变量和因变量对应的的有限个值，但较直观.而关系式表示变量之间的关系，根据自变量的任何一个值，便可求出相应的因变量的值.
［师］同学的分析很精彩.同学们还记得上学期见过的“数值转换机”吗？看图6－3：直观地表示了自变量和因变量的数值对应关系，即“输入”一个x的值就可以“输出”一个y的值.例如：输入x=2,则就可输出y=3×2=6.

图6－3
2.变化中的圆锥
做一做：课件演示二
如图6－4，圆锥的高是4厘米，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化.
（1）在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？
（2）如果圆锥底面半径为r（厘米），那么圆锥的体积V（厘米3）与r的关系式为________.
（3）当底面半径由1厘米变化到10厘米时，圆锥的体积由________厘米3变化到________厘米3.

图6－4
［师］根据课件演示回答上述问题.
［生］（1）自变量是圆锥的底面半径，因变量是圆锥的体积；
（2）V= πr2;
（3）当底面半径r由1厘米→10厘米时，圆锥的体积V由 π厘米3→ π厘米3.
做一做：课件演示三
看图回答下列问题:
如图6－5，圆锥的底面半径是2厘米，当圆锥的高由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化.
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（2）如果圆锥的高为h（厘米），那么圆锥的体积V（厘米3）与h的关系式为________.
（3）当高由1厘米变化到10厘米时，圆锥的体积由_______厘米3变化到_______厘米3.

图6－5
［生］（1）自变量是圆锥的高，因变量是圆锥的体积；
（2）V= πh;
（3）当h由1厘米→10厘米时，圆锥的体积是由 厘米3→ 厘米3.
［师］在课件演示二中，我们知道当底面半径即自变量r由1厘米→10厘米时，因变量V由 π厘米3→ π厘米3；而在课件演示三中，当自变量h也是由1厘米→10厘米时，因变量V却是由 π厘米3→ π厘米3.为什么呢？
［生］这是由于它们的关系式不同.r与V的关系式是V= πr2;而h与V的关系式是V= πh.
Ⅲ.课堂练习
1.随堂练习（课本P169第1题）
在地球某地，温度T（℃）与高度d（m）的关系可以近似地用T=10－ 来表示.根据这个关系式，当d的值分别是0，200，400，600，800，1000时，计算相应的T值，并用表格表示所得结果.

图6－6
［分析］本题的目的是学生进一步认识现实生活中存在的变量之间的关系，体会自变量和因变量数值之间的对应关系.在解决问题的过程中，学生可利用计算器，并保留两位小数.
解：计算出相应的T的值填入下表：
高度d/m 0 200 400 600 800 1000
温度T/℃ 10.00 8.67 7.33 6.00 4.67 3.33
2.补充练习
圆柱的高是10厘米，圆柱的底面半径为R厘米，圆柱的侧面展开图的面积为S平方厘米.
（1）写出圆柱的侧面展开图的面积S与圆柱底面半径R之间的关系式.
（2）用表格表示R从1厘米到10厘米（每一次增加1厘米）时，S相应的值.
（3）R每增加1厘米，S如何变化？
解：（1）S=20πR;
（2）表格如下
底面半径R 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
侧面积S 20π 40π 60π 80π 100π 120π 140π 160π 180π 200π
（3）R每增加1厘米，S增加20π厘米2.
Ⅳ.课时小结
［师］这节课，同学们有何体会和收获呢？
［生］这节课，我们研究了某些图形中变量之间的关系，进一步体验一个变量的变化对另一个变量的影响.
［生］我们知道了变量之间的关系除了可以用表格表示外，还可以用关系式，并且初步体会了自变量和因变量的数值对应关系.
［生］课件演示使我们感受到学习数学的兴趣.
［生］用数学符号能表示现实世界中的一些规律，能用数学的角度去看世界.
［师］看来，同学们的收获还真不小！祝你们生活的快乐！
Ⅴ.课后作业
1.课本P169,读一读，去体会变量与变量之间的相互依赖关系在生活中广泛存在.在这个问题中，告诉我们随着地球内部厚度的增加，温度也在发生着变化.
2.课本P170  1、2.
Ⅵ.活动与探究
我省是水资源比较贫乏的省份之一，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的.某市规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6立方米时，水费按每立方米a元收费；超过6立方米时，不超过的部分每立方米仍按a元收费，超过的部分每立方米按c元收费.该市某户今年3、4月份的用水量和水费如下表所示：
月份 用水量（m3） 水费（元）
3 5 7.5
4 9 27
设某户该月用水量为x（立方米），应交水费y（元）.
（1）求a、c的值，并写出用水不超过6立方米和超过6立方米时，y与x之间的关系式；
（2）若该户5月份的用水量为8立方米，求该户5月份的水费是多少元？
［过程］该题结合生活实际，立意新颖，可以培养学生节约用水的社会意识.
在已知自变量和因变量的数值对应关系及根据题意，由表格读取信息得到的用水量和水费的关系式，求a、c的值，只需利用方程的思想.同时还要有分类讨论的思想去解决该问题.
［结果］（1）依照题意，有
当x≤6时，y=ax;
当x＞6时，y=6a+c（x－6）.
由已知，得7.5=5a ① 27=6a+3c ②
由①得a=1.5  把a=1.5代入②得c=6，
所以y=1.5x（x≤6）;y=9+6（x－6）=6x－27（x＞6）.
（2）将x=8代入y=6x－27（x＞6）得
y=6×8－27=21（元）
所以，该户5月份的水费是21元.
●板书设计
§6.2  变化中的三角形
一、看一看
课件演示一：变化中的三角形
①关系式表示变量之间关系的又一种方法.
②根据任何一个自变量的值，利用关系式，便可求出相应的因变量的值.
二、做一做
课件演示二：高为4厘米时，圆锥的体积与底面半径R的关系:V= πr2.
课件演示三：V= πh.
三、练习（由学生板演）
四、小结