九年级数学优质课教学设计

与你同行

〔活动4〕 1．选择判断圆柱体的三视图，分析学生诊断错误的原因。 2．由三棱镜引出正三棱柱 板演正三棱柱的三视图。 　3．与学生讨论： （1）从三个方向看正三棱柱应看到什么形状？ （2）三棱柱的宽是三棱柱上哪部分距离？ （3）总结三视图的画法步骤。 4．课件演示底面是一般的三棱柱的三视图画法。 5．通过积累得知识和经验完成课前提出的任务。小组探究合作完成小零件的三视图。 6．课件演示得到小零件三视图的过程。 〔活动5〕 小结升华 布置作业 1．小结知识并指出重点。 2．课件展示辛勤工作的设计师，及各种零件的三视图，总结升华。

活动中教师应关注： （1）学生在画图之前要正对几何体，从三个方向观察投影。 （2）板演三视图时，总结出明确的步骤。 （3）先确定主视图位置，画主视图。 添加平行线在主视图下方“长对正”画出俯视图。 添加平行线在主视图右方“高平齐”画左视图。 用圆规截取左视图的宽与俯视图“宽相等”。 注意：三视图用粗线画出，辅助线用细线 初学时，标注长对正，高平齐，宽相等，可以加深印象。 （1）利用手中的长方体搭建模型帮助想象。 （2）从各个方向的观察得到正确的投影。 （3）按照投影规律画出几何体的三视图。 （4）小组审核完成。 教师提问： （1）这一节课你收获到了什么？ （2）我们今天学习的内容和以前“从不同方向看”有哪些不同？ （3）画一个几何体的三视图的一般步骤是怎样的？ 活动中教师应关注： （1）引导学生总结：本节课的学习使我们不但知道三视图的形状，还明确了三种视图之间的位置关系及大小对应关系。 （2）学生是否明确三视图的画法步骤？ （3）向学生渗透将立体图形分解成平面图形的研究方法。

通过师生共同讨论三视图的画法，并明确画法步骤，为准确的画出三视图打好基础。 画底面是一般三角形的三棱柱的三视图为了总结得到“长对正，高平齐，宽相等”的规律应该是对几何体的整体和局部都满足的。 通过小组合作讨论解决难点。 通过摆放的模型帮助分析想象。 通过小结帮助学生梳理本节课的知识点，并从中领悟将立体图形分解成平面图形的研究方法。 通过总结三视图画法，指出三视图的学习培养了我们精益求精的学习品质。

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“二次函数”（第6课时）教学设计

北京东直门中学　杨革华

教学任务分析 教 学 目 标 知识技能 通过探究实际问题与二次函数关系，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法． 数学思考 1．通过研究生活中实际问题，让学生体会建立数学建模的思想． 2．通过学习和探究“矩形面积”“销售利润”问题，渗透转化及分类的数学思想方法． 解决问题 通过研究生活中实际问题，体会数学知识的现实意义，进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题． 情感态度 通过将“二次函数的最大值”的知识灵活用于实际，让学生亲自体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣． 重点 探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法． 难点 如何将实际问题转化为二次函数的问题． 教 学 流 程 安 排 活动流程图 活动内容和目的 活动1 　创设情景 引出问题 活动2 　分析问题 解决问题 活动3 　归纳、总结 活动4 　运用新知 拓展训练 活动5 　课堂小结 布置作业 教师提出矩形面积问题，引导学生思考，培养学生的求知欲 教师与学生共同分析，寻找解决问题的方法，培养学生的探索精神，让学生初步感受数学的使用价值． 利用二次函数的顶点坐标解决生活中的最大值（或最小值）问题是一种常用的方法． 运用函数知识解决实际问题，提高学生分析问题、解决问题的能力． 师生共同小结，加深对本节课知识的理解． 教 学 课 程 设 计 问题与情境 师生行为 设计意图 [活动1] 问题： 现有60米的篱笆要围成一个矩形场地， （1）若矩形的长为10米，它的面积是多少？ （2）若矩形的长分别为15米、20米、30米时，它的面积分别是多少？ （3）从上两问同学们发现了什么？ 教师提出问题，学生独立回答．通过几个简单的问题，让学生体会两变量的关系． 在活动中，教师应重点关注： （1）学生是否发现两变量； （2）学生是否发现矩形的长的取值范围； 通过矩形面积的探究，激发学生的学习欲望． [活动2] 你能找到篱笆围成的矩形的最大面积吗？ 教师引导学生分析与矩形面积有关的量． 教师深入小组参与讨论． 在活动中，教师应重点关注： （1）学生是否能准确的建立函数关系； （2） 学生是否能利用已学的函 数知识求出最大面积； （3）学生是否能准确的讨论出自 变量的取值范围； 通过运用函数模型让学生体会数学的实际价值，学会用函数的观点认识问题，解决问题． 让学生在合作学习中共同解决问题，培养学生的合作精神． [活动3] 提问： 由矩形面积问题你有什么收获？ 学生思考后回答， 师生共同归纳后得到： （1）由抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是最低（高）点，可得当时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（大）值． （2）二次函数是现实生活中的模型，可以用来解决实际问题； （3）利用函数的观点来认识问题，解决问题． 在活动中，教师应重点关注： （1）学生是否能从面积问题中体会到函数模型的价值； （2）学生能否利用函数的观点来认识问题，解决问题． 通过层层设问，引导学生不断思考，积极探索，让学生感受到数学的应用价值． [活动4] 问题： 我班某同学的父母开了一个小服装店，出售一种进价为40元的服装，现每件60元，每星期可卖出300件． 该同学对父母的服装店很感兴趣，因此，他对市场作了如下的调查： 如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件． 请问同学们，该如何定价，才能使一星期获得的利润最大？ 问题： 能否说最大利润为6125元吗？ 问题： 该同学又进行了调查： 如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，则此时该如何定价，才能使一星期获得的利润最大？ 教师展示问题，某同学的父母该如何定价呢？ 学生分组讨论，如何利用函数模型解决问题．教师帮助学生解决问题． （1）本问题中的变量是什么？ （2）如何表示赚的钱呢？ 师生讨论得到： 设每件降价x元，每星期售出的商品的利润y随x的变化： y=（60－x－40）（300+20x） =-20x2+100x+6000 自变量x的取值范围： 0≤x≤20 当x=2。5时，y的最大值为6125 由学生分析得出： 应对市场作全面调查，有降价的情况，那么涨价的情况呢？ 设每件涨价x元，每星期售出的商品的利润y随x的变化： y=（60+x－40）（300－10x） =-10x2+100x+6000 自变量x的取值范围： 0≤x≤30， 当x=5时，y的最大值为6250． 由上述讨论可知： 应每件为65元时，每星期的利润最大，最大为6250元． 在活动中，教师应重点关注： （1）学生在利用函数模型时是否注意分类了； （2）在每一种情况下，是否注意自变量的取值范围了； （3）是否对三种情况的最大值进行比较； （4）对问题的讨论是否完善． 本问题是一道较复杂的市场营销问题，不能直接建立函数模型，培养学生分类讨论的数学思想方法． 通过本问题的设计，让学生体会函数模型在同一个问题中的不同情况下可以是不同的，培养学生考虑问题的完善性． [活动5] 1．归纳、小结． 2．作业： 教科书习题26。1第9、10题． 引导学生回顾本节课利用二次函数的最大值解决实际问题的过程． 教师布置作业，学生按要求完成． 本次活动中，教师应重点关注： （1）学生对本节课建立函数模型的方法是否理解； （2）学生是否能全面的分析问题． 总结、归纳学习内容，培养全面分析问题的良好习惯，并培养学生语言归纳能力．

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“相似三角形的性质”教学片断

四川省乐山市悦来中学　黄世桥

相似形三角形的性质 目标 重点 难点 1、知识与技能目标：掌握相似形三角形的相关性质，并能利用相似形的相关性质解决一些简单的问题。 2、过程与方法目标：通过相似三角形的性质的探索，以知识的逐渐深化推动学生的学习，并引导学生得出正确的结论，用之解决实际问题，使学生站在一个系统的高度来认识、掌握知识，能使学生将所学的知识有效的纳入学生的认知结构。 3、情感与态度目标：学生通过积极参与知识的构建，感受数学来源于生活，体会学习知识的快乐。 相似三角形的性质 相似比、面积比、体积比之间的关系及其应用 内容 方法 相似三角形的性质 引导、启发、讲练结合 特色 1、选用数学史科学故事经典作为引导。 2、该课两大层次：其一,归纳相似三角形一切对应线段的比等于相似比；其二,放大0次量(角度)、一次量(线段)、二次量(面积)、三次量(体积)，扩充书本知识，系统地深入教学，使学习和教育逐步系统化。 3、以知识的内在联系推动课堂，学生也能很好的朝此方向思考，情景设计普通但独到，贯彻新课改精神。 4、注重要求学生写出证明过程，不仅可以避免眼高手低的现象，且对考试要求也有深刻认识。脚踏实地教与学，才能发挥师之所长，脚踏实地去学，才能学到真正的知识。 复习提问 问：相似三角形的定义是什么？ 生：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。 问：通过相似三角形的定义，你能得到一些什么样的性质？ 生：两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 问：其应用格式是什么？以图为描述对象： 　　 生：∵ΔABC∽ΔA1B1C1， 　　∴∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1 　　 问：什么叫相似比？ 生：对应边的比。 新课过程 人们从很早开始，就懂得利用相似三角形的有关性质来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度．古代一位数学家泰勒斯到埃及游学，泰勒斯出身贵族，在和家人分家的时候，泰勒斯一样东西也不要，带些钱只身到埃及游学。认识他的人，都叫他傻子。 师：学了地理，你们知道埃及的气候怎样？ 生：高温、晴朗，大部分面积是沙漠。 师：是的，但尼罗河两岸是生机勃勃的村庄。灼热的阳光照耀下，热气在大地上升腾，翻滚的热浪，一阵阵拂过人们的面庞，泰勒斯与他的弟子们，还有一些埃及贵族，坐在金字塔的阴影中谈论着一些琐事。 一位贵族想戏弄一下泰勒斯，对泰勒斯说到：“亲爱的泰勒斯先生，到埃及的日子也不短了，有什么收获呢？总不能空手而归吧？” 泰勒斯从容不从容不迫的答道：“亲爱的先生们，我们或许追求不同，也许你喜欢金钱，也许你喜欢女人，而我则不同，只以追求科学知识为光荣。” 泰勒斯继续说到：“我到埃及游学，学到了很多知识，并把几何提到了证明的理论高度，并给予证明”。 贵族说到：“您的那些东西，又有什么用呢？它能算出金字塔的高吗？” 泰勒斯并没有立即想出办法来：“怎样测出金字塔的高度，让我回家好好想一想，五天后见。” 师：前面我们学了有关比例的知识，你能想出办法来吗？ 生：用我们前面做过的题，使用比例式： ，放一根杆子就能测出来了。 师：呵呵，要以同学们现在的知识，在古代埃及，就是一位大数学家啦！希望同学们通过自己的努力，能成为以后的数学家，可以想象得出来，五天后，泰勒斯正是用这个方法测出来的。受到了人们的欢呼。明天我再给大家讲讲泰勒斯是如何利用知识发财的。 如图所示，如果ΔABC∽ΔA1B1C1，AD是BC边上的高，A1D1是B1C1边上的高，且 ＝k，请大家猜想： 与相似比有何关系？ 生： ＝ ＝k 师：猜想要经过证明才能作为结论使用，请大家想一想，如何证明？ (留几分钟给学生思考) 分析：在这里要通过三角形相似去证比例式，先要看所证的比例式在哪两个三角形中，在这里是在ΔABD与ΔA1B1D1中，只需要证这两个三角形相似即可。再想想：要证这两个三角形相似，具备了哪些条件，还差哪些条件？ 请大家写出证明过程(此时大多数学生已能找到证题思路) 证明：∵ΔABC∽ΔA1B1C1， 　　　∴∠B＝∠B1 　　又∵AD是BC边上的高，A1D1是B1C1边上的高 　　　∴∠ADB＝∠A1D1B1＝90° 　　　∴ΔABD∽ΔA1B1D1(AA) 　　　∴ ＝ ＝k 师：请大家用语言来总结这个结论？ 生：相似三角形的对应高的比等于相似比。 邓亚平：老师，我认为还可以总结得更一般点？ 师：说说你的想法？ 邓亚平：相似三角形的一切对应线段的比都等于相似比。 师：你们大家的看法呢？ 生众：可以这样总结，我们也是这样认为的。 师：首先对这种思考方式表示赞赏，非常不错的。但要说明的是，根据一些特殊的结论来进行推广，属于我们合情推理的一部分，但这种推理有些是正确的，而有些会产生错误。能不能再举一点例子说明你们这个结论的正确性？ 生：还有对应角平分线与中线可以用来证明这个结论(情绪高涨)。 师：好的，来看一看，如何证明？ 如图所示，如果ΔABC∽ΔA1B1C1，AD是∠BAC 的角平分线，A1D1是∠B1A1C1的角平分线，且 ＝k，试证： ＝ ＝k。 生：简单，证得∠BAD＝∠B1A1D1即可。 师：大家在学习新东西的时候切勿眼高手低，一定要塌实的完成例题，否则很容易导致失误。另外数学的书写格式很重要，特别对于考试来说，步骤是按步得分，如果有跳步现象就是要被扣分，如果有重复书写，就是浪费了时间。所以还是请大家认真写出证明过程来。

与你同行

生：∵ΔABC∽ΔA1B1C1，
　　　∴∠BAC＝∠B1A1C1
　　又∵AD是∠BAC 的角平分线，A1D1是∠B1A1C1的角平分线
　　　∴∠BAD＝ ∠BAC，∠B1A1D1＝ ∠B1A1C1
　　　∴∠BAD＝∠B1A1D1
　　　∴ΔABD∽ΔA1B1D1(AA)
∴ ＝ ＝k
师：没有写清楚的同学请自己改正，这个问题解决了，对应中线的比呢？

如图所示，如果ΔABC∽ΔA1B1C1，AD是BC边上的中线，A1D1是B1C1边上的中线，且 ＝k，试说明： ＝ ＝k。
生：一样的证明。
师：是一样吗？再仔细看看。
生众：有一点不一样，就是要利用 (S顶上的字母r表示成比例的意思，以后同)来证ΔABD∽ΔA1B1D1( )。
师：是的，要细心一点，请大家写出证明过程。
生：∵ΔABC∽ΔA1B1C1，
　　∴∠B＝∠B1
　　　
　又∵AD是BC边上的中线，A1D1是B1C1边上的中线
　　∴BC＝2BD，B1C1＝2B1D1
　　∴
　　∴
　　∴ΔABD∽ΔA1B1D1( )
　　∴ ＝ ＝k
师：谁来总结一下这个小结论？
生：相似三角形的对应中线的比等于相似比。
师：你们说的是一切对应线段的比等于相似比，这几个也是特殊的，我也要难一难你们，更一般地，能证明下面的结论吗？

如图所示，如果ΔABC∽ΔA1B1C1， D是BC边上的点，且BD＝ BC；D1是B1C1边上的点，且B1D1＝ B1C1，且 ＝k，试说明： ＝ ＝k。
生：这个简单，把上面证明中
“又∵AD是BC边上的中线，A1D1是B1C1边上的中线
　　∴BC＝2BD，B1C1＝2B1D1
　　∴ ”
　改为：∵BD＝ BC，B1D1＝ B1C1
　　　　∴BC＝3BD，B1C1＝3B1D1
　　　　∴
师：呵呵!你们很会偷懒的，不过这里偷懒无罪，积极动脑该表扬，这也是积极动脑的表现，前面我们提到跳步的现象这里还不存在，这点我很满意，大家的态度是很认真的，在这里我更满意的是这里的“偷懒”行为。因为前面几位同学的步骤实在是太繁，我不想提出来，是希望激出某类“偷懒”的行为，现在成功了。主要是通过代换将式子化为我们的需要的式子。由衷的为你们的自发性成功道贺。不过别得意，好戏还在后头，我还要再难一难你们，接招：
把A、A1分别沿AB、A1B1移动到E、E1的位置，如下有：

如图所示，如果ΔABC∽ΔA1B1C1， D是BC边上的点，且BD＝ BC；D1是B1C1边上的点，且B1D1＝ B1C1；E点在AB上，且AE＝ AB；点E1在A1B1上，且A1E1＝ A1B1，有＝k，试说明： ＝ ＝k。
生：简单，只需要改动前面证明过程中比例式的左半部分就可以了。按您这么变，还可以更随意一点的。
师：是的，看来你们是能够说服我的了，因为这个定理是邓亚平先说出来的，尽管其它同学也在下面小声的说，我们把这个结论命名为……
学生(兴奋地)接话：邓亚平定理。(相似三角形一切对应线段的比等于相似比。)
师：好的，除了相似三角形外，更一般的……
生：相似形的一切对应线段的比等于相似比。
师：好的。同学们的总结的好处再于，我们把众多的结论归结为一个定理，不但使我们记忆负担减轻了(现在只需要记一个定理)，更重要的是使我们的……
生接话：认识更深刻了。也利于这个知识的应用。
师：还有我们是站在一个系统的高度认识问题的。还有什么问题吗？
生：面积的比与相似比有何关系呢？
师：我也正想问呢，你们觉得呢？
生：(有的说等于相似比，有的说等于相似比的平方)
先看一个具体的例子:

如图，ΔABC与ΔA1B1C1相似比为1∶2，后者的面积为前者的多少倍？
生：后者是前者的4倍。
师：如果ΔABC与ΔA2B2C2相似比为1∶3呢？
生：后者的面积是ΔABC的面积的9倍。
师：根据这个特例，我们可以得出我们的猜想……
生：相似三角形面积的比等于相似比的平方。
师：如何证明呢？

如图所示，如果ΔABC∽ΔA1B1C1，AD是BC边上的高，A1D1是B1C1边上的高，且 ＝k，请大家证： ＝k2
师：请大家思考几分钟。
李伟上黑板做(其余同学在下面做)：
李伟：∵ΔABC∽ΔA1B1C1，
　　　∴ ＝ ＝ ＝k(相似三角形一切对应线段的比等于相似比)
　　又∵AD是BC边上的高，A1D1是B1C1边上的高
　　　∴ ＝ ＝ ·＝k·k＝k2
师：很好，刚学会定理就用，要这样。我们还可以这样来理解，三角形的面积等于底与相应的高的积的一半，两个三角形的底边扩大与缩小相同的倍数，其高也相应的扩大与缩小相同的倍数，其乘积将扩大与缩小相同的倍数的平方。
师：你们的猜想是正确的，请体会一下这个结论。
口答：两个相似三角形的相似比为2∶3，则面积比为__________。(生：4∶9)
　　　两个相似三角形的面积比为25∶16，则相似比为_________。(生：5∶4)
师：如何来的呢？
生：已知面积比求相似比，把面积比开方就可以了。
师：用式子表示一下：由 ＝( )2，
有： ＝
口答：两个相似三角形的面积比为4∶3，则相似比为＿＿。(生：2∶ )
师：我们四川的大文学家苏轼，现打算在乐山的新广场，按1∶5的相似比，用大理石为其塑造一座雕像，如果苏轼的体积为0.06米3，则需要多少立方米的大理石？
生：这是体积比。
师：是的，请大家想一想，体积比与相似比有何关系呢？
生：……
部分生：应该是相似比的立方。
师：大家再想想，最好能说出为什么？
生：长、宽、高都扩大与缩小k(相似比)倍，其体积将三者乘起来，当然该扩大与缩小相似比的k3倍了。
师：这个想法是正确的。来看最简单的正方体：

有 ＝ ＝k3。
师：现在你能计算出需要多少立方米的大理石吗？
生： ，有x＝0.06×125＝7.3米3。
生感叹：体积要扩大125倍。

　　师：还有一分多钟下课，想再考你们一下……
生：考吧！(情绪高涨)
师：有放大k倍的(比如线段)；有放大k2倍(比如面积)；有放大k3倍(比如体积)，那么有放不大的图形吗？
生(稍怔)：角。
师：正确。比如直角，无论如何放大，仍然是直角，放大或缩小前后大小的比为1。
谁来把今天的探索的总结一下(下课铃声已经打响了)
生：
相似三角形对应角的比为1；(师插话：即放不大)
相似三角形一切对应线段的比等于相似比；
相似三角形面积的比等于相似比的平方；
相似体的体积的比等于相似比的立方。

桃小

设计不错

园丁

欣赏