小学数学教研论文：对“可能性”的理解和教学思考

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《数学课程标准（实验稿）》把可能性纳入数学教学内容体系，很多教师对这一全新的内容产生了困惑。可能性知识即使不教，学生也能做出正确地判断，然而学生虽然知道某一事件发生的结果，但还是讲不清其中蕴涵的道理，可能性知识是只可意会不可言传的公理性知识吗？教学可能性都是通过摸球活动，根据摸球的结果得出“一定”“不可能”和“可能”的概念，但是整个教学过程似乎没有数学思维的参与，怎样有效地进行数学教学活动呢？

一、可能性是只可意会而不可言传的知识吗

在自然界和现实生活中，事物都是相互联系和不断发展的，根据事物间是否有必然的因果联系，可以分成两大类。一类是确定性现象，就是在一定条件下，必定会导致某种确定的结果，如：在标准大气压下水加热到100℃就必然会沸腾，太阳每天总从东方升起等。另一类是不确定性现象，就是在一定条件下的结果是不确定的，某一事件可能发生也可能不发生，这样的事件称为随机事件。随机事件的每一可能结果称为一个基本事件，如：抛一枚1元的硬币，有正面朝上和反面朝上两个基本事件；7位数体育彩票中奖号码有0000000、0000001、0000002等一千万个基本事件。前者事件发生的事件是必然的，后者是事件的发生是不确定的，是可能性研究的问题。

可能性知识的思维是什么呢？举个例子说明：在不透明的布袋里放了4个红色乒乓球和2个黄色乒乓球，给它们编上号：1号（红）、2号（红）、3号（红）、4号（红）、5号（黄）、6号（黄），由于球的大小、质量、手感都一样，所以在不用眼睛看的前提下从袋子里任意摸出一个球，每个球都有可能被摸中，而且摸到每一个球的机会相等，因此摸出的结果有6种不同可能。如果摸出的是1号、2号、3号、4号球则是红球，如果摸出的是5号和6号球则是黄球，有2种可能性，所以“摸出的球可能是红球，也有可能是黄球”，也就是摸出红球的可能性有4种、摸出黄球的可能性有2种，摸到红球的可能性是，摸到黄球的可能性是。由于6种不同可能性中没有一种是绿球，摸不出绿球是确定的，所以“不可能摸到绿球”，摸到绿球可能性为0。如果放进的6个球都是红色球，不管摸出哪个球都是红色，摸出红球是必然的，所以摸出的“一定是红球”，摸到红球的可能性是1。

显然，可能性知识不是只可意会不可言传的公理性知识，其思维是：如果在所有的基本事件中只有一种结果发生，那么这种事件就是必然事件，用“一定”表述；如果在所有的基本事件中没有某一种结果发生，那么这一事件就是不可能事件，就用“不可能”表述；如果在所有的基本事件中有两种或两种以上的结果发生，这一事件就是可能事件，用“可能”表述。

二、可能性的实际教学中存在的不足

教师让学生在装3个红球3个黄球的布袋里摸球，摸6次后师生对话如下──

师：你发现了什么？

生1：我发现摸出的有时是红球，有时是黄球。

师：摸出的球为什么有时是红球，有时是黄球呢？

生2：因为袋子里既装了红球，又装了黄球，所以摸出的有时是红球，有时是黄球。

师：真棒！因为袋子里的球只有红色和黄色两种不同颜色的球，而且摸出的有时是红球，有时是黄球，所以摸出的球可能是红球，也可能是黄球。

师：如果袋子里放5个红球和1个黄球，又会怎样呢？

生3：肯定是红球。

生4：不对！可能是红球，也可能是黄球。

生3：一定是红球！因为我摸了6次，每次摸出的都是红球。

……

不足之一：教师的理解有偏差。教师的教学思维是：通过几次摸球发现有时摸出红球，有时摸出黄球，所以摸出的可能是红球，也可能是黄球。然而，可能性不是操作得来的，不是对多次摸球结果的总结，而是推理得出的，是某一次摸球前的预测，假设给6个球编号：1号（红）、2号（红）、3号（红）、4号（黄）、5号（黄）和6号（黄），摸球前思考：可能会摸到哪个球？这不能确定。如果摸到1号、2号、3号则是红球，如果摸到4号、5号、6号则是黄球，所以摸出的球可能是红球，也可能是黄球。教师把可能性教成了对多次摸球结果的概括，而没有教成摸球前的预测。

不足之二：学生的理解不到位。学生对“可能”的理解还处于朦胧的状态：袋子里有红色和黄色两种颜色的球，可能摸出红球，也可能摸出黄球。其结果固然正确，但是细细分析却发现，由于教师的理解有偏差，导致学生的理解不到位。有不少学生存在“6次都摸到红球，就是一定摸到红球”这样的错误认识。其实，这里的基本事件并不是红、黄两种颜色，而是摸中的可能是哪个球，所以有6个基本事件，其中有5个基本事件是红球，还有1个基本事件是黄球。此时学生理解上的不到位，会给学生以后学习可能性大小、用分数表示可能性等造成负面影响。

三、怎样有效地组织和开展教学活动

1．摸球操作材料的准备。

教学中一般都是以摸球游戏为载体开展可能性研究，学生在摸球活动中体验有些事件发生是确定的，有些则是不确定的，感悟到事件发生的可能性是有大有小的，并验证预测结果的正确性。为了保证每个球都有可能被摸中，而且每个球被摸中的机会相等，所以选择的球要大小一致、轻重相等，手感相同，只是在颜色上有所区别。

2．摸球操作的方法。

眼睛是能够识别颜色的。虽然球的大小一致、轻重相等、手感一样，只是颜色上的区别，但是，如果摸球者边看球边摸球，或者每个球都处在固定在不变的位置，那么摸球活动就不是随机事件，摸到每一个球的可能性就不一样，其结果就不具备偶然性，甚至演变成必然事件。所以，在摸球操作时要注意两点：一是摸球者不允许看着球摸球，可以用不透明的袋子装球，或蒙上摸球人的眼睛去摸球；二是每次摸球前先把球充分搅匀，使每一个球都有同等机会处于任何一个位置，然后再任意摸出一个球。

3．摸球后的理性思考。

摸球活动不是单纯的游戏活动，而是学生研究可能性的数学活动。由于可能性是推理的结果，动手操作只是为了验证这一数学事实，为进行深入的数学研究提供素材，加深学生的认识和体验，因此，要重视引导学生展开积极的理性思考，将在摸球活动中获得的数学事实加以提升，把生活经验上升为数学认识。如：二年级（上册）第98页，小芳从装有6个红球的口袋里摸球，“摸出的一定是红球”。教学时先让学生进行摸球活动，得到摸出的都是红球的客观事实，但此时还不要急于下结论，应当组织学生进行深入的研究：如果再摸一次会是什么颜色的球？肯定是红球吗？为什么？通过研究帮助学生明白其中的道理：把袋子里的球编号：1号（红）、2号（红）、3号（红）、4号（红）、5号（红）、6号（红），任意摸出一个球，可能会摸到1号球、2号球、3号球……一共有6个基本事件，但是每一个基本事件都是红球。再用同样的方法引导学生理解小明摸不出红球的道理和小丽摸出的有时是红球有时是黄球的道理，体验事件发生的确定性和不确定性，使学生的思维从感性上升到理性。

4．学会用数学语言进行判断和表述。

在学生理解其中的道理之后，接下来就要引导学生用适合的语言表示事件发生的结果，明白“一定”“不可能”和“可能”的使用条件：当多个基本事件中只有某一种结果发生时，则这一结果的发生是确定的，用“一定”表述；当多个基本事件中肯定没有某种结果发生时，则这一结果的不发生是确定的，用“不可能”表述；当多个基本事件中有两种或两种以上结果发生，其中某一结果的发生是不确定的，用“可能”表述。



参考文献：

[1]陈希孺．概率──机会大小的度量（一）[J]．小学教学.2009（4）：46．

[2]陈希孺．概率——机会大小的度量（二）[J]．小学教学.2009（5）：47．

[3]陈希孺．概率——机会大小的度量（三）[J]．小学教学.2009（6）：45．