教学中渗透数形结合思想的案例分析

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这是小学数学（北师大版四年级下）“三角形三边关系”中的一道习题：

（1） ————3                  （2） ————3

       —————4                        ————3

       ——————5                      ————3

        （     ）                         （     ）

（3） ———2                    （4） ————3

———2                           ————3

       ——————5                     ——————5

        （     ）                         （     ）

从表面上看这道题非常简单，绝大部分学生都能解答。如果我们的教学目标仅仅停留于此，那么本课教学就没有意义。这道习题既然归属几何领域，在设定教学目标时，我们就不能只关注它代数领域的逻辑推理，把目标降低为会用“a+b＞c”进行准确而迅速的判断，而要重视作为几何的空间观念的建立以及空间观念中数的变化引起形的变化的规律，正是因为看到了这一点，我在挖掘这道习题背后的数学内容时强调了形与数的结合，使简单的判断上升为复杂的数形变换，教学实录如下：

师：请同学们独立完成此题，之后同桌交流。

师：第1题你是怎么判断的？

（学生把每两个数相加，与第3个数比较得出结果）

师：判断正确。但老师有一个疑问，每道题都加三遍，有点麻烦。

生：只要最短的两边之和大于第三条边就行了。

师：为什么呢？

生：连最短两边的和都大于第三边，其他比它长的两边加起来肯定大于第三边了。

师：好，这是判断三边关系最优的方法，我们用它来判断其余三道题。

……

师：第一组的三条线非常有意思，3、4、5是三个连续的自然数，那是否可以得出这样的结论，只要三边的长度是三个连续自然数都可以围成三角形呢？

生：不一定。1、2、3不行，1加2等于3。

生：一条边是0也不行，0就表示其中一条线段没有。

师：对，除了0、1、2和1、2、3以外呢，举举例子看。

生：都可以，比如：三条边长度是7、8、9、100、101、102；……

师：有很多，大家想象一下，3、4、5三条线段围成的图形会是什么样子的？

（大多数学生无法想象）

生：是直角三角形。

师：你的空间观念太棒了！我们来看一看到底是什么三角形？（课件演示）

师：到中学我们还会学到这个三角形，有一个勾股定理，三边分别称作勾三股四弦五。

师：第2题三条边3、3、3，它围成的又是怎么的三角形呢？

生：是一个等边三角形。（课件演示）

师：三条边相等的三角形是等边三角形，也叫正三角形。

生：2、2、6，不能成三角形。（课件演示）

师：3、3、5，这一组线段围成的三角形又是怎么的呢？

生：是等腰三角形。

师：因为两条边相等是吗？知识学得还真多。（课件演示）



  














师：第4题的等腰三角形我很感兴趣，如果把5厘米的边换一条，

可以怎么换呢？为了方便研究，线段取整厘米数。

生：1-5、第三条边不能等于或大于6，因为3加3等6。

师：想象第三条边是1百米的时候，这个三角形是怎么的？能用手表示一下吗？

生：是很尖的。（课件）

师：第三条边是2厘米的时候呢？

生：再胖一些。

师：第三条边是3呢4呢（课件淙三边分别为1、2、3、4时的三角形，以帮助学生感知图形的变化）

师：现在如果保留5百米的边，把其中3厘米的边换掉，又可以怎么换呢？

……

师：想象一下，第三条边分别是5、6、7时，这条边所对应的那个角会有什么变化？

生：会越来越大。

师：真厉害，我们一起来看图，是否真的像这个同学所说的那样？（屏幕显示三条边分别是5、6、7时的三角形图形）

生：这条边所对应的那个角也在慢慢变大，开始是锐角，后来是钝角了。

从上面的教学片段中不难看出学生的学习变得分外有价值：从“优化围成三角形三条边的判断判断方法”到“三条边的长度分别是三个连续自然数的推理”、从“勾三股四弦五直角三角形的想象”到“等边、等腰三角形的勾勒”、从“不能围三角形的小棒的调换”到“三角形第三边范围的猜想”、从“边的长度变化引起三角形形状的变化”到“边所对应的角也同时发生变化”等等，通过数与形之间的变化、联系及自然的转化引起学生的思考和讨论，让学生自己发现规律、纠正、补充着关于三角形三边关系的错误或片面的认识，从而把三角形三边关系的知识一步步引向深入。因此，这个片段对学生的学习起到了两个方面的作用：一是让学生从各自的经验背景出发，推出关于三角形三边关系的合乎逻辑的知识假设变得相对严谨，二是让学生感知到观察、分析、解决问题需要从（数、形）多个角度去完善的思维方式，在教学中，三角形三边关系的意义建构始终穿梭在数与形之间，学生比较深刻地体会到在三角形这个简单的图形中数的变化引起形的变化，形的背后是数的支撑，形与数互相影响，互相制约，学习显得更具数学味和生命力。