等腰三角形结论开放性试题
所谓结论开放性试题是指条件确定，而结论不唯一的试题，这类试题要求考生充分利用题设条件进行大胆思考，由过去解唯一答案的定向思维，拓展转变为多方位的发散思维，因此这类试题可以考查学生的发散思维能力、创新能力、分析能力及综合运用知识的能力，从而使得这种考查能力的开放性试题在近年中考中所占的比例越来越大，从中考阅卷的情况来看，学生解答这类问题时，往往不能抓住问题的本质，语言表达能力差，失分较多，下面我们举例探究这类题型的解答.
例1 如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．
(1)求证：AD⊥CF；
(2)连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．
分析：要证明AD⊥CF，可证∠CAD +∠GCA =90°，又∠BCF+∠GCA=90°，所以只需证明∠CAD=∠BCF，也就是证明Rt△CBF和Rt△ACD.
(1)证明：在等腰直角三角形ABC中，∵∠ACB=90o，∴∠CBA=∠CAB=45°．
又∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠BDE=45°．
又∵BF∥AC，∴∠CBF=90°，
∴∠BFD=45°=∠BDE， ∴BF=DB．
又∵D为BC的中点，∴CD=DB，即BF=CD．
在Rt△CBF和Rt△ACD中，
∵ ∴Rt△CBF≌Rt△ACD，
∴∠BCF=∠CAD．
又∵∠BCF+∠GCA=90°，∴∠CAD +∠GCA =90°，即AD⊥CF；
(2) △ACF是等腰三角形．
理由：由(1)知： CF=AD，△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，
∴BE垂直平分DF，∴AF=AD，
∴CF=AF，∴△ACF是等腰三角形．
评注:本题将等腰直角三角形、平分线、角平分线、全等三角形等知识集于一身，综合考查同学们分析问题和解决问题以及执果索因的探究能力.
例2 已知：如图2，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G.
(1)求证：BF=AC；
(2)求证：CE=BF；
(3)CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论.
分析：（1）要证明BF=AC，可考虑这两条线段分别是两个直角三角形的斜边，将问题转化为证明两个直角三角形全等.（2）要证明CE=BF,而由(1)知BF=AC,则证明CE= AC,此时可将问题转化为证明AE=CE.(3)为了能正确地得到线段CE与BG的大小关系，可连接CG,这样将问题转化为探索线段CE与CG的大小关系,显然在Rt△CEG中问题可得到解决.
解 1)证明:因为CD⊥AB, ∠ABC=45°，
所以△BCD是等腰直角三角形.
所以BD=CD.
在Rt△DFB和Rt△DAC中,
因为∠DBF=90°-∠BFD, ∠DCA=90°-∠EFC,
又∠BFD=∠EFC,
所以∠DBF=∠DCA.
又因为∠BDF=∠CDA=90°,BD=CD,.
所以Rt△DFB≌Rt△DAC.
所以BF=AC.
(2)证明:在Rt△BEA和Rt△BEC中,
因为BE平分∠ABC,
所以∠ABE=∠CBE.
又因为BE=BE, ∠BEA=∠BEC=90°,
所以Rt△BEA≌Rt△BEC.
所以CE=AE=AC.
又由(1),知BF=AC,
所以CE=AC=BF.
(3)CE＜BG.证明:连接CG,
因为△BCD是等腰直角三角形,
所以BD=CD,
又H是BC边的中点,
所以DH垂直平分BC.
所以BG=CG,
在Rt△CEG中,
因为CG是斜边,CE是直角边,
所以CE＜CG,即CE＜BG.
评注:本题应用化归思想,主要考查直角三角形全等的判定和性质,等腰三角形的性质以及公理“垂线段最短”. (3)小题具有开放性,培养了学生的发散思维以及灵活运用知识的能力,在处理此类问题时,一定要注意审清题意,找准解决问题的切入点.
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发表于 2020-8-27 17:02:22
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