青岛版八年级上册数学1.2 怎样判定三角形全等同步练习题有答案

桂馥兰香

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桂馥兰香

1.2 怎样判定三角形全等
一、选择题
1．在下列四组条件中，能判定≌的是（   ）
A．
B．
C．
D．的周长等于的周长
2．如图，相交于点O，则图中全等三角形有（   ）对．
A．1  B．2  C．3  D．4





3．如图，相交于E，则图中全等三角形有（   ）
A．1对  B．2对  C．3对  D．4对

4．在和中，①，②，③，④，
⑤，⑥，则下列各组条件中使和全等的是（   ）
A．④⑤⑥  B．①②⑥  C．①③⑤  D．②⑤⑥
5．如图，已知和BF交于点D，①≌；②≌，③D在的平分线上，则以上结论中正确的是（   ）

A．只有①  B．只有①②  C．有①②③  D．①和③
二、填空题
1．如图，，若利用“角边角公理”判定≌，则需要加一个条件为_____________；若利用“角角边公理”判定≌，则需要加一个条件为____________； 若利用“边角边公理”判定≌，则需要加一个条件为__________．



2．在下面的证明中，填写需补充的条件或理由，使结论成立．
如图，由                                       
可得≌（根据______或______或______）
                        
3．如图，已知：，那么．请在每步后面的括号里写出这一步的理由．

≌（____________）
     


三、解答题
1．如图，已知：．求证：点B是线段AC的中点．

补全下列证明过程，
证明：在和中
∴≌（______）
∴______＝______．
在和中
∴≌（根据______）  ∴
即点B是线段AC的中点．
2．如图，，问和能全等吗？如果能请说明理由．

                                       
    3．如图，点C是AB的中点，，且，求证：
                                            
    4．如图，，那么，吗？

                           









参考答案
一、选择题
1．D  2．D  3．C  4．D  5．C
    二、填空题
1． 或
2．
3．，全等三角形对应角相等；内错角相等，两直线平行．
三、解答题
1．
2．全等（提示：）
3．证明：，∴

∴≌（SAS）
∴
4．
在和中

∴≌（AAS）
∴


1.2 怎样判定三角形全等
一、选择题
1．在下列四组条件中，能判定≌的是（   ）
A．
B．
C．
D．的周长等于的周长
2．如图，相交于点O，则图中全等三角形有（   ）对．
A．1  B．2  C．3  D．4





3．如图，相交于E，则图中全等三角形有（   ）
A．1对  B．2对  C．3对  D．4对

4．在和中，①，②，③，④，
⑤，⑥，则下列各组条件中使和全等的是（   ）
A．④⑤⑥  B．①②⑥  C．①③⑤  D．②⑤⑥
5．如图，已知和BF交于点D，①≌；②≌，③D在的平分线上，则以上结论中正确的是（   ）

A．只有①  B．只有①②  C．有①②③  D．①和③
二、填空题
1．如图，，若利用“角边角公理”判定≌，则需要加一个条件为_____________；若利用“角角边公理”判定≌，则需要加一个条件为____________； 若利用“边角边公理”判定≌，则需要加一个条件为__________．



2．在下面的证明中，填写需补充的条件或理由，使结论成立．
如图，由                                       
可得≌（根据______或______或______）
                        
3．如图，已知：，那么．请在每步后面的括号里写出这一步的理由．

≌（____________）
     


三、解答题
1．如图，已知：．求证：点B是线段AC的中点．

补全下列证明过程，
证明：在和中
∴≌（______）
∴______＝______．
在和中
∴≌（根据______）  ∴
即点B是线段AC的中点．
2．如图，，问和能全等吗？如果能请说明理由．

                                       
    3．如图，点C是AB的中点，，且，求证：
                                            
    4．如图，，那么，吗？

                           









参考答案
一、选择题
1．D  2．D  3．C  4．D  5．C
    二、填空题
1． 或
2．
3．，全等三角形对应角相等；内错角相等，两直线平行．
三、解答题
1．
2．全等（提示：）
3．证明：，∴

∴≌（SAS）
∴
4．
在和中

∴≌（AAS）
∴

桂馥兰香

1.2 怎样判定三角形全等
一、选择题
1．如图，在中，为BC边中点，那么以下结论不正确的是（   ）
                           
    A．≌    B．
    C．AD平分     D．是等边三角形
2．如图，，则（   ）
                          
A．45°  B．55°  C．35°  D．65°
3．已知：如图，AB与DC相交于点，若使≌，则（   ）
                          
    A．应补充条件     B．应补充条件
    C．不用补充条件             D．以上说法都不正确

    4．如图，已知，则图中全等三角形的总对数是（   ）
                              
A．3  B．4  C．5  D．6


二、填空题
1．如图，已知，则≌____，≌____．
                                    

2．如图，若点E、F在DC上，，则____≌____，根据是____．
                           
3．如图，BE平分，且，则____≌____，根据是_________；，根据是______．
                                 
4．已知在和中，，若≌，还需要的条件是_____________
5．如图，在中，于于F，且与DC相等吗？你能说明下面小明思考过程的理由吗？
                                 

①__________________  ②_________________
三、解答题
1．如图，已知C在BD上，和全等吗？若全等请说出根据．
   
                                                         
2．如图，已知，问和全等吗？若全等请说出根据．
                                                           



3．如图，已知的交点是E，并且与相等吗？试说明你的答案．
                                                         
    4．如图：已知，，那么≌吗？
                                                            
    5．如图，D是的边AB上一点，DF交AC于点，那么吗？
                                                         



参考答案
一、选择题
    1．D       2．B       3．C       4．D
二、填空题
1．      2．     
3．，全等三角形对应边相等                 
4．或或
5．①：AAS  ②全等三角形的对应边相等
三、解答题
1．全等，根据：
2．全等，根据：或
3．相等（提示≌）
4．
∴
即
在和中

∴≌（SSS）
5．

∴
在和中

∴≌（ASA）
∴

桂馥兰香

1.2 怎样判定三角形全等
基础巩固
一、填空题
1．木工师傅在做完门框后为防止变形，常如图1所示那样钉上两条斜拉的木板条，这样做的数学依据是_______________________．
      
图1                   图2
2．如图2所示，已知△ABC≌△ADE，∠C=∠E，AB=AD，则另外两组对应边为________，另外两组对应角为________．
3．如图3所示，AE、BD相交于点C，要使△ABC≌△EDC，至少要添加的条件是________________，理由是________________．
         
图3                   图4                   图5
4．如图4所示，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，则△ABD≌△ACD，根据是_______，AD与BC的位置关系是_______．
5．如图5所示，已知线段a，用尺规作出△ABC，使AB=a，BC=AC=2a．
作法：(1)作一条线段AB=________；
(2)分别以_______、_______为圆心，以________为半径画弧，两弧交于C点；
(3)连接_______、_______，则△ABC就是所求作的三角形．
二、选择题
6．如图6所示，AB∥CD，AD∥BC，BE＝DF，则图中全等三角形共有(   )对．

图6
A．2                        B．3              C．4                                D．5
7．全等三角形是(   )
A．三个角对应相等的三角形                               
B．周长相等的两个三角形
C．面积相等的两个三角形                            
D．三边对应相等的两个三角形
8．如图7所示，在△ABC中，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定(   )
A．△ABD≌△ACD        B．△BDE≌△CDE  
C．△ABE≌△ACE        D．以上都不对

图7
9．如图8所示，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是(    )
      
图8
A．甲和乙                B．乙和丙      C．只有乙                D．只有丙
10．以长为13 cm、10 cm、5 cm、7 cm的四条线段中的三条线段为边可以画出三角形的个数为(    )
A．1                                        B．2                        C．3                                        D．4
11．如图9所示，∠1=∠2，∠3=∠4，若证得BD=CD，则所用的判定两三角形全等的依据是(    )
A．角角角                        B．角边角                        C．边角边                        D．角角边
         
图9                                图10

三、解答题
12．如图10，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不能直接测得．你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B间的距离吗？


综合提高
一、填空题
13．如图11，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：              ，使△AEH≌△CEB．
               
图11                           图12

14．如图12，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O，写出一组相等的线段              （不包括AB＝CD和AD＝BC）．
15．如图13，∠E＝∠F＝900，∠B＝∠C，AE＝AF．给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．其中正确的结论是          （填序号）．
               
图13                                   图14
16．如图14所示，在△ABC中，AD⊥BC，请你添加一个条件，写出一个正确结论(不在图中添加辅助线)．条件是_______________，结论为__________．
17．完成下列分析过程．
如图15所示，已知AB∥DC，AD∥BC，求证：AB=CD．
分析：要证AB=CD，只要证△________≌△________；需先证∠________=∠________，∠________=∠________．
由已知“________∥________”，可推出∠________=∠________，________∥________，可推出∠________=∠________，且公共边________=________，因此，可以根据“________”判定△________≌△________．
二、选择题
18．如果两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角(     )
A、相等      B、不相等      C、互余         D、互补或相等
19．如图16所示，AB＝BD，BC＝BE，要使△ABE≌△DBC，需添加条件(     )
A．∠A=∠D             B．∠C=∠E     
C．∠D=∠E           D．∠ABD=∠CBE
        
图16                 图17                  图18
20．如图17所示，在∠AOB的两边上截取AO＝BO，OC＝OD，连接AD、BC交于点P，连接OP，则下列结论正确的是(     )
①△APC≌△BPD  ②△ADO≌△BCO  ③△AOP≌△BOP ④△OCP≌△ODP
A．①②③④       B．①②③       C．②③④            D．①③④
21．已知△ABC不是等边三角形，P是△ABC所在平面上一点，P不与点A重合且又不在直线BC上，要想使△PBC与△ABC全等，则这样的P点有(     )
A．1个                                B．2个                                C．3个                                D．4个
22．如图18所示，△ABC中，AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是(     )
A．45°                                B．55°                                C．75°                                D．60°



三、解答题
23．已知△ABC与△中，AC＝，BC＝，∠BAC＝∠，
（1）试证明△ABC≌△．
（2）上题中，若将条件改为AC＝，BC＝，∠BAC＝∠，结论是否成立？为什么？








24．已知：如图19，AB=AD，BC=CD，∠ABC=∠ADC．求证：OB=OD．


拓展探究
一、填空题
25．如图20所示，某同学不小心把一块三角形的玻璃仪器打碎成三块，现要去玻璃店配制一块完全一样的，那么最省事的办法是带________去．
                        
图20
26．在△ABC和△ADC中，有下列三个论断：①AB=AD；②∠BAC=∠DAC；③BC=DC．将两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个正确的因果关系，则条件是__________，结论为__________．
二、选择题
27．在△ABC和△DEF中，已知AB＝DE，∠A=∠D，若补充下列条件中的任意一条，就能判定△ABC≌△DEF的是                         (     )
①AC=DF  ②BC=EF  ③∠B=∠E  ④∠C=∠F
A．①②③                        B．②③④         
C．①③④                    D．①②④
28．图21是人字型金属屋架的示意图，该屋架由BC、AC、BA、AD四段金属材料焊接而成，其中A、B、C、D四点均为焊接点，且AB=AC，D为BC的中点，假设焊接所需的四段金属材料已截好，并已标出BC段的中点D，那么，如果焊接工身边只有可检验直角的角尺，而又为了准确快速地焊接，他应该首先选取的两段金属材料及焊接点是(     )

图21
A．AD和BC，点D     B． AB和AC，点A
C． AC和BC，点C           D．AB和AD，点A

三、解答题
29．如图22，已知AD是△ABC的中线， DE⊥AB于E， DF⊥AC于F， 且BE=CF， 求证：(1)AD是∠BAC的平分线；(2)AB=AC．










30．某公园有一块三角形的空地△ABC(如图23)，为了美化公园，公园管理处计划栽种四种名贵花草，要求将空地△ABC划分成形状完全相同，面积相等的四块．”为了解决这一问题，管理员张师傅准备了一张三角形的纸片，描出各边的中点，然后将三角形ABC的各顶点叠到其对边的中点上，结果发现折叠后所得到的三角形彼此完全重合．你能说明这种设计的正确性吗？









31．如图24，已知： AO=DO，EO=FO，BE=CF．能否推证△AOE≌△DOF、△ABE≌△DCF？
   








32．如图25所示，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两滑梯倾斜角∠ABC和∠DFE有什么关系？












参考答案
基础巩固
一、填空题
1． 三角形的稳定性    2．BC=DE、AC=AE ，∠B=∠ADE、∠BAC=∠DAE
3． BC=DC或AC=EC ，两个三角形全等至少有一组对应边相等
4．“边边边公理(SSS)” ， AD⊥BC     7． 2  
5．(1)  a ；(2)  A 、 B ， 2a ；(3)  AC 、 BC 。
二、选择题
6．B  7．D  8．C  9．B  10．C  11．D
三、解答题
12．解：要测量A、B间的距离，可用如下方法：
（1）过点B作AB的垂线BF，在BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，根据“角边角公理”可知△EDC≌△ABC．因此：DE=BA．即测出DE的长就是A、B之间的距离．（如图甲）

    （2）从点B出发沿湖岸画一条射线BF，在BF上截取BC=CD，过点D作DE∥AB，使A、C、E在同一直线上，这时△EDC≌△ABC，则DE=BA．即DE的长就是A、B间的距离．（如图乙）．
综合提高
一、填空题
13．AH＝BC或EA＝EC或EH＝EB等；
14．DC＝DE或BC＝BE或OA＝OE等；
15．①②③   16．AB=AC 、BD=CD
17．要证AB=CD，只要证△ABC≌△CDA；需先证∠BAC=∠DCA，∠ACB=∠CAD．
由已知“AB∥DC”，可推出∠BAC=∠DCA，AD∥BC ，可推出∠ACB=∠CAD，且公共边AC=CA，因此，可以根据“角边角公理(ASA)”判定△ABC≌△CDA．
二、选择题
18．D  19．D  20．A  21．C  22．D
三、解答题







23．解： （1）如图1，作CD⊥BA于D，．
∵∠BAC＝∠，∴∠CAD＝∠＝70°，
∴△ADC≌△（AAS），∴CD＝．
在Rt△BDC与Rt△中，BC＝，CD＝．
∴Rt△BDC≌Rt△（HL），∴ ∠B＝∠．
　　∴在△ABC与△中，
∴△ABC≌△（AAS）．

图2
（2）若将条件改为AC＝，BC＝，∠BAC＝∠，结论不一定成立，如图2所示，△ABC与△中AC＝，BC＝，∠BAC＝∠，但△ABC与△显然不全等．
24．分析：要证出OB=OD，需要在△BCO和△DCO中证出此两个三角形全等，但需要有∠DCO=∠BCO．这两角相等又可以从△ABC≌△ADC得到．因此需要证明两次全等．
证明：在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC(SAS)
∴∠DCO=∠BCO(全等三角形对应角相等)
在△BCO和△DCO中，
∴△BCO≌△DCO(SAS)
∴OB=OD(全等三角形对应边相等)


拓展探究
一、填空题
25．③     26．①AB=AD；②∠BAC=∠DAC，③BC=DC  或①AB=AD；③BC=DC，②∠BAC=∠DAC ．
二、选择题
27．C    28．A
三、解答题
29．[思路分析]  要证∠1=∠2， 需证∠1，∠2所在的两个三角形全等， 即证Rt△DAE≌△Rt△DAF， 由于AD是公共边， 若证出DE=DF， 就可用HL证全等， DE和DF分别在Rt△BED和Rt△CFD中， 所以只要证出Rt△BED≌Rt△CFD即可．
证明： (1)∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD．
在Rt△EBD和Rt△FCD中
∴Rt△EBD≌Rt△FCD(HL)，
∴DE=DF(全等三角形的对应边相等)
在Rt△AED和Rt△AFD中，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，
∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等)，即AD是∠BAC的平分线．
(2)∵Rt△AED≌Rt△AFD(已证)，∴AE=AF(全等三角形的对应边相等)．
又∵BE=CF(已知)，∴AB=AC．
30．解：这种设计是正确的．以证EF∥BC且EF＝为例．延长FE至G，使EG＝FE，连结CG，FC．易证得△AEF≌△CEG．∴AF＝CG，∠AFE＝∠G，∴AB∥CG．在△BFC与△GCF中，BF＝AF＝CG，∠BFC＝∠GCF，CF＝FC，∴△BFC≌△GCF，∴FG＝BC，FG∥BC．即EF∥BC且EF＝．故可知△AFE≌△FBD≌△EDC≌△DEF．
31．解：在△AOE和△DOF中，
∴△AOE≌△DOF   ∴AE=DF，∠AEO=∠DFO
又∵∠AEB+∠AEO=∠DFC+∠DFO=180°    ∴∠AEB=∠DFC
    在△ABE和△DCF中，    ∴△ABE≌△DCF．
故可以推证△AOE≌△DOF、△ABE≌△DCF．
32．证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中，   
所以Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）    ∴∠ABC=∠DEF
又∵∠DEF+∠DFE=90°    ∴∠ABC+∠DFE=90°
即两滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE互余．