湖南省长沙市雅礼实验中学中考数学二模试卷（含答案解析）Word免费下载

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湖南省长沙市雅礼实验中学中考数学二模试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）﹣2018的绝对值是（　　）
A．2018        B．﹣2018        C．         D．﹣
2．（3分）下列图案不是轴对称图形的是（　　）
A．         B．         C．         D．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a2•a＝a6        B．（﹣2a2）3＝﹣8a6       
C．a6÷a3＝a2        D．4a3﹣3a2＝1
4．（3分）下列几何体中，俯视图为三角形的是（　　）
A．         B．        
C．         D．
5．（3分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．         B．        
C．         D．
6．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．若一个游戏的中奖率是 ，则连续做10次这样的游戏一定会有一次中奖       
B．为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式       
C．一组数据6，8，7，8，8，9，10的众数和中位数都是8       
D．若甲、乙组两组数据的方差分别是s甲2＝0.01，s乙2＝0.1，则乙组数据更稳定
7．（3分）将点A（﹣1，2）向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后点的坐标是（　　）
A．（3，1）        B．（﹣3，﹣1）        C．（3，﹣1）        D．（﹣3，1）
8．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB，则∠C的度数为（　　）

A．90°        B．84°        C．64°        D．58°
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，则sin∠A＝（　　）

A．         B．         C．         D．
10．（3分）为了迎接体育中考，体育委员到体育用品商店购买排球和实心球，若购买2个排球和3个实心球共需95元，若购买5个排球和7个实心球共需230元，若设每个排球x元，每个实心球y元，则根据题意列二元一次方程组得（　　）
A．         B．        
C．         D．
11．（3分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝8，则CD的长为（　　）

A．4         B．8         C．8        D．16
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），交x轴于A，B两点，交y轴C，则下列说法正确的有（　　）
①a+c＝0；
②b＝﹣2
③若a＝1，则OA•OB＝OC2
④无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点，函数图象截x轴所得的线段长度必大于2
A．①②③④        B．①②④        C．②③④        D．①②③
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）因式分解：2x2﹣8＝　   　．
14．（3分）在帮助居民累计节约用水305000吨，将数字305000用科学记数法表示为　   　．
15．（3分）已知分式 有意义，则x的取值范围是　   　．
16．（3分）如图，PC是⊙O的直径，PA切⊙O于点P，AO交⊙O于点B；连接BC，若∠C＝32°，则∠A＝　   　°．

17．（3分）关于x的方程x2+mx+16＝0有两个相等的实根，则m＝　   　．
18．（3分）如图，A为反比例函数y＝ 图象上一点，AB⊥x轴于点B，若S△AOB＝3，则k值为　   　．

三、解答题（本题共8个小题，第19、20小题每小题6分，第21、22小题每小题6分，第23、24小题每小题6分，第25、26小题每小题6分，共66分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：（﹣1）2018+ ﹣（ ）﹣1+ sin45°
20．（6分）先简化，再求值：（1+ ）÷ ，其中x＝3．
21．（8分）某班数学科代表小华对本班上期期末考试数学成绩作了统计分析，绘制成如下频数、频率统计表和频数分布直方图，请你根据图表提供的信息，解答下列问题：

分组        49.5～59.5        59.5～69.5        69.5～79.5        79.5～89.5        89.5～100.5        合计
频数        2        a        20        16        4        50
频率        0.04        0.16        0.40        0.32        b        1
根据上述信息，完成下列问题：
（1）频数、频率统计表中，a＝　   　；b＝　   　；
（2）请将频数分布直方图补充完整；
（3）小华在班上任选一名同学，该同学成绩不低于80分的概率是多少？
22．（8分）某校有一露天舞台，纵断面如图所示，AC垂直于地面，AB表示楼梯，AE为舞台面，楼梯的坡角∠ABC＝45°，坡长AB＝2m，为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯AD，使∠ADC＝30°．
（1）求舞台的高AC（结果保留根号）；
（2）在楼梯口B左侧正前方距离舞台底部C点3m处有一株大树，修新楼梯AD时底端D是否会触到大树？并说明理由．

23．（9分）某商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：
        A        B
进价（万元/套）        1.5        1.2
售价（万元/套）        1.65        1.4
该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．[毛利润＝（售价﹣进价）×销售量]
（1）该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？
（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问A种设备购进数量至多减少多少套？
24．（9分）如图，点P在y轴上，⊙P交x轴于A、B两点，连结BP并延长交⊙P于C，过点C的直线y＝2x+b交x轴于D，且⊙P的半径为 ，AB＝4．
（1）直接写出B、P、C三点坐标；
（2）求证：CD是⊙P的切线；
（3）过点A作圆P的切线交CD于点M，求M的坐标．

25．（10分）若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且△ABC恰好是直角三角形并满足OC2＝OA•OB，则称抛物线y＝ax2+bx+c是“雅实抛物线”，其中较短直角边所在直线为“雅线”，较长直角边所在直线为“实线”
（1）若“雅实抛物线”y＝x2+mx+n的“雅线”y＝kx﹣1与x轴交点坐标（ ，0），求m、n、k的值．
（2）已知“雅实抛物线”y＝﹣ x2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣1，0），其“实线”与反比例函数y＝ 的一个交点的横坐标是﹣4，求反比例函数解析式；
（3）已知“雅实抛物线”y＝ x2+bx﹣ c（b≠0）的“雅线”、“实线”及x轴围成的三角形面积S的取值范围是3 ≤S≤4 ，设t＝﹣2b4+16b2+2018，求t的最大值．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx﹣8k（k＜0）与x轴，y轴分别交于A、B两点，将直线l沿x轴翻折交y轴于点C，连接AC，过点B作BD⊥AC垂足为点D，并交x轴于点E．
（1）当∠BAO＝30°时，求直线l解析式及点E坐标；
（2）若AB＝2BE，求S△ABC；
（3）在（2）问条件下，构造抛物线y1，y2，其中抛物线y1经过A、B、E三点，其二次项系数为m；抛物线y2＝ax2+bx+c同时满足以下三个条件：①过线段OE中点；②5a+3b+2c＝0；③当 ≤x≤ 时，函数y2有最大值m；求a的值．



湖南省长沙市雅礼实验中学中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）﹣2018的绝对值是（　　）
A．2018        B．﹣2018        C．         D．﹣
【分析】根据绝对值的定义即可求得．
【解答】解：﹣2018的绝对值是2018．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是绝对值的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．
2．（3分）下列图案不是轴对称图形的是（　　）
A．         B．         C．         D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a2•a＝a6        B．（﹣2a2）3＝﹣8a6       
C．a6÷a3＝a2        D．4a3﹣3a2＝1
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同类项法则和积的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、a2•a＝a3，故此选项错误；
B、（﹣2a2）3＝﹣8a6，正确；
C、a6÷a3＝a3，故此选项错误；
D、4a3﹣3a2，无法计算，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及合并同类项和积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（3分）下列几何体中，俯视图为三角形的是（　　）
A．         B．        
C．         D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：A、的俯视图是圆，故A不符合题意；
B、俯视图是矩形，故B不符合题意；
C、俯视图是圆，故C不符合题意；
D、俯视图是三角形，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
5．（3分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．         B．        
C．         D．
【分析】首先解出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
【解答】解： ，
由①得：x＜2，
由②得：x≥﹣1，
不等式组的解集为： ，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是正确确定两个不等式的解集．
6．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．若一个游戏的中奖率是 ，则连续做10次这样的游戏一定会有一次中奖       
B．为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式       
C．一组数据6，8，7，8，8，9，10的众数和中位数都是8       
D．若甲、乙组两组数据的方差分别是s甲2＝0.01，s乙2＝0.1，则乙组数据更稳定
【分析】根据概率的意义，可判断A，根据调查方式，可判断B；根据众数、中位数的意义，可判断C；根据方差的性质，可判断D．
【解答】解：A、若一个游戏的中奖率是 ，则连续做10次这样的游戏可能中奖，也可能不中奖，故A不符合题意；
B、为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用抽样调查的方式，故B不符合题意；
C、一组数据6，8，7，8，8，9，10的众数和中位数都是8，故C符合题意；
D、若甲、乙组两组数据的方差分别是s甲2＝0.01，s乙2＝0.1，则甲组数据更稳定，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了概率的意义，利用概率的意义、调查方式，众数、中位数的意义，方差的性质是解题关键．
7．（3分）将点A（﹣1，2）向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后点的坐标是（　　）
A．（3，1）        B．（﹣3，﹣1）        C．（3，﹣1）        D．（﹣3，1）
【分析】直接利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，据此可得．
【解答】解：将点A（﹣1，2）向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，
则平移后点的坐标是（﹣1+4，2﹣3），即（3，﹣1），
故选：C．
【点评】本题主要考查了平移中点的变化规律：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB，则∠C的度数为（　　）

A．90°        B．84°        C．64°        D．58°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，得到∠DAB＝∠B＝32°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝32°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC＝∠DAB＝32°，
∴∠C＝180°﹣32°﹣32°﹣32°＝84°，
故选：B．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，则sin∠A＝（　　）

A．         B．         C．         D．
【分析】根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，
∴在Rt△ABC中，sinA＝ ＝ ＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦是解题的关键．
10．（3分）为了迎接体育中考，体育委员到体育用品商店购买排球和实心球，若购买2个排球和3个实心球共需95元，若购买5个排球和7个实心球共需230元，若设每个排球x元，每个实心球y元，则根据题意列二元一次方程组得（　　）
A．         B．        
C．         D．
【分析】根据“购买2个排球和3个实心球共需95元，购买5个排球和7个实心球共需230元”可得．
【解答】解：设每个排球x元，每个实心球y元，
则根据题意列二元一次方程组得： ，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．
11．（3分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝8，则CD的长为（　　）

A．4         B．8         C．8        D．16
【分析】根据圆周角定理得∠BOC＝2∠A＝45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE＝DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE＝ OC＝4 ，然后利用CD＝2CE进行计算．
【解答】解：∵∠A＝22.5°，
∴∠BOC＝2∠A＝45°，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，
∴CE＝ OC＝4 ，
∴CD＝2CE＝8 ．
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），交x轴于A，B两点，交y轴C，则下列说法正确的有（　　）
①a+c＝0；
②b＝﹣2
③若a＝1，则OA•OB＝OC2
④无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点，函数图象截x轴所得的线段长度必大于2
A．①②③④        B．①②④        C．②③④        D．①②③
【分析】二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），因而将M、N两点坐标代入联立方程即可判断①②；当y＝0时利用根与系数的关系，可得到OA•OB的值，当x＝0时，可得到OC的值．通过c建立等量关系求证判断③；根据根与系数的关系可得x1+x2＝﹣ ，x1•x2＝ ，由b＝﹣2，c＝﹣a，即可证得（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝ +4≥4，得出|x1﹣x2|＞2，然后再结合根的判别式即可判断④．
【解答】解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），
∴ ，
两式相加解得a+c＝0，两式相减解得b＝﹣2，
故①②正确；
由①可知a+c＝0，即c＝﹣a，
∴当a＝1时，c＝﹣1，∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1
当y＝0时，0＝x2﹣2x+c，利用根与系数的关系可得 x1•x2＝c，
即OA•OB＝|c|，
当x＝0时，y＝c，即OC＝|c|＝1＝OC2，
∴若a＝1，则OA•OB＝OC2，
故③正确；
∵c＝﹣a，b＝﹣2，
∴b2﹣4ac＝4+4a2＞0，
∴此二次函数图象与x轴必有两个交点，
设抛物线于x轴的交点为（x1，0），（x2，0），
由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣ ，x1•x2＝ ，
∵b＝﹣2，c＝﹣a，
∴x1+x2＝ ，x1•x2＝﹣1，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝ +4≥4，
∴|x1﹣x2|＞2，
∴函数图象截x轴所得的线段长度必大于2，
故④正确，
故选：A．
【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的图象性质及特点、一元二次方程根与系数的关系、直线解析式的确定．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）因式分解：2x2﹣8＝　2（x+2）（x﹣2）　．
【分析】观察原式，找到公因式2，提出即可得出答案．
【解答】解：2x2﹣8＝2（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查提公因式法和公式法分解因式，是基础题．
14．（3分）在帮助居民累计节约用水305000吨，将数字305000用科学记数法表示为　3.05×105　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：305000＝3.05×105，
故答案为：3.05×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
15．（3分）已知分式 有意义，则x的取值范围是　x≠2　．
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可求解．
【解答】解：根据题意得：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故答案是：x≠2．
【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，是一个基础题．
16．（3分）如图，PC是⊙O的直径，PA切⊙O于点P，AO交⊙O于点B；连接BC，若∠C＝32°，则∠A＝　26　°．

【分析】根据圆周角定理得到∠AOP＝2∠C＝64°，根据切线的性质定理得到∠APO＝90°，计算即可．
【解答】解：由圆周角定理得，∠AOP＝2∠C＝64°，
∵PC是⊙O的直径，PA切⊙O于点P，
∴∠APO＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠AOP＝26°，
故答案为：26．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
17．（3分）关于x的方程x2+mx+16＝0有两个相等的实根，则m＝　±8　．
【分析】由方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元二次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：∵方程x2+mx+16＝0有两个相等的实根，
∴△＝m2﹣4×1×16＝m2﹣64＝0，
解得：m＝±8．
故答案为：±8．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是利用根的判别式得出m2﹣64＝0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程解的情况利用根的判别式得出方程（或不等式）是关键．
18．（3分）如图，A为反比例函数y＝ 图象上一点，AB⊥x轴于点B，若S△AOB＝3，则k值为　﹣6　．

【分析】先设出A点的坐标，由△AOB的面积可求出xy的值，即xy＝﹣6，即可写出反比例函数的解析式．
【解答】解：设A点坐标为A（x，y），
由图可知A点在第二象限，
∴x＜0，y＞0，
又∵AB⊥x轴，
∴|AB|＝y，|OB|＝|x|，
∴S△AOB＝ ×|AB|×|OB|＝ ×y×|x|＝3，
∴﹣xy＝6，
∴k＝﹣6
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
三、解答题（本题共8个小题，第19、20小题每小题6分，第21、22小题每小题6分，第23、24小题每小题6分，第25、26小题每小题6分，共66分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：（﹣1）2018+ ﹣（ ）﹣1+ sin45°
【分析】原式利用乘方的意义，立方根定义，负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解答】解：原式＝1+2﹣3+1＝1．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（6分）先简化，再求值：（1+ ）÷ ，其中x＝3．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝ •
＝ •
＝ ，
当x＝3时，原式＝ ＝ ．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（8分）某班数学科代表小华对本班上期期末考试数学成绩作了统计分析，绘制成如下频数、频率统计表和频数分布直方图，请你根据图表提供的信息，解答下列问题：

分组        49.5～59.5        59.5～69.5        69.5～79.5        79.5～89.5        89.5～100.5        合计
频数        2        a        20        16        4        50
频率        0.04        0.16        0.40        0.32        b        1
根据上述信息，完成下列问题：
（1）频数、频率统计表中，a＝　8　；b＝　0.08　；
（2）请将频数分布直方图补充完整；
（3）小华在班上任选一名同学，该同学成绩不低于80分的概率是多少？
【分析】（1）根据a＝总人数﹣各分数段的人的和计算即可得解，b＝1﹣各分数段的频率的和计算即可得解；
（2）根据第二组的频数补全统计图即可；
（3）求出后两组的频率之和即可．
【解答】解：（1）a＝50﹣2﹣20﹣16﹣4＝50﹣42＝8，
b＝1﹣0.04﹣0.16﹣0.40﹣0.32＝1﹣0.92＝0.08；
故答案为：8，0.08．

（2）如图所示；

（3）该同学成绩不低于80分的概率是：0.32+0.08＝0.40＝40%．

【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
22．（8分）某校有一露天舞台，纵断面如图所示，AC垂直于地面，AB表示楼梯，AE为舞台面，楼梯的坡角∠ABC＝45°，坡长AB＝2m，为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯AD，使∠ADC＝30°．
（1）求舞台的高AC（结果保留根号）；
（2）在楼梯口B左侧正前方距离舞台底部C点3m处有一株大树，修新楼梯AD时底端D是否会触到大树？并说明理由．

【分析】（1）首先由已知AB＝6m，∠ABC＝45°求出AC和BC，再由∠ADC＝30°求出AD＝2AC；
（2）根据勾股定理求出CD后与3m比较后即可得到答案．
【解答】解：（1）已知AB＝2m，∠ABC＝45°，
∴AC＝BC＝AB•sin45°＝2× ＝ ，
答：舞台的高为 米；

（2）已知∠ADC＝30°．
∴AD＝2AC＝2 ．
CD＝AD•cos30°＝2 × ＝ ＜3
答：修新楼梯AD时底端D不会触到大树．
【点评】此题考查的是解直角三角形的应用，关键是运用锐角三角形函数求解．
23．（9分）某商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：
        A        B
进价（万元/套）        1.5        1.2
售价（万元/套）        1.65        1.4
该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．[毛利润＝（售价﹣进价）×销售量]
（1）该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？
（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问A种设备购进数量至多减少多少套？
【分析】（1）首先设该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为x套，y套，根据题意即可列方程组 ，解此方程组即可求得答案；
（2）首先设A种设备购进数量减少a套，则B种设备购进数量增加1.5a套，根据题意即可列不等式1.5（20﹣a）+1.2（30+1.5a）≤69，解此不等式组即可求得答案．
【解答】解：（1）设该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为x套，y套，
，
解得： ，
答：该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为20套，30套；

（2）设A种设备购进数量减少a套，则B种设备购进数量增加1.5a套，
1.5（20﹣a）+1.2（30+1.5a）≤69，
解得：a≤10，
答：A种设备购进数量至多减少10套．
【点评】此题考查了一元一次不等式与二元一次方程组的应用．注意根据题意找到等量关系是关键．
24．（9分）如图，点P在y轴上，⊙P交x轴于A、B两点，连结BP并延长交⊙P于C，过点C的直线y＝2x+b交x轴于D，且⊙P的半径为 ，AB＝4．
（1）直接写出B、P、C三点坐标；
（2）求证：CD是⊙P的切线；
（3）过点A作圆P的切线交CD于点M，求M的坐标．

【分析】（1）连结AC，由于BC是圆P的直径，那么∠CAB＝90°．解Rt△ABC，得出AC＝ ＝2，由垂径定理得出OB＝OA＝2，根据三角形中位线定理得出OP＝ AC＝1，从而求出点B、P、C的坐标；
（2）将C（﹣2，2）代入y＝2x+b，利用待定系数法求出过点C的直线解析式为y＝2x+6，得到D（﹣3，0），AD＝1．再利用SAS证明△ADC≌△OPB，得出∠DCA＝∠B，然后证明∠BCD＝90°，根据切线的判定定理证明CD是⊙P的切线；
（3）设M（m，2m+6），得出MN＝2m+6，AN＝﹣2﹣m，再判断出△AMN∽△PAO，代入即可得出结论．
【解答】（1）解：连结AC．
∵BC是⊙P的直径，
∴∠CAB＝90°．
在Rt△ABC中，∵∠CAB＝90°，BC＝2 ，AB＝4，
∴AC＝ ＝2，
∵OP⊥AB，
∴OB＝OA＝2，
∴OP＝ AC＝1，
∴P（0，1），B（2，0），C（﹣2，2）；

（2）证明：将C（﹣2，2）代入y＝2x+b，
得﹣4+b＝2，解得b＝6
∴y＝2x+6，
当y＝0时，则x＝﹣3，
∴D（﹣3，0），
∴AD＝1．
在△ADC和△OPB中， ，
∴△ADC≌△OPB（SAS），
∴∠DCA＝∠B．
∵∠B+∠ACB＝90°，
∴∠DCA+∠ACB＝90°，即∠BCD＝90°，
∴CD是⊙P的切线；

（3）过点M作MN⊥AB于N，
连接AP，
由（2）知，直线CD的解析式为y＝2x+6，
设M（m，2m+6），
∴MN＝2m+6，
∵OA＝2，
∴A（﹣2，0），
∴AN＝﹣2﹣m，
由（1）知，P（0，1），
∴OP＝1，
∵AM是⊙O的切线，
∴∠PAM＝90°，
∴∠PAO+∠MAN＝90°，
∵∠PAO+∠APO＝90°，
∴∠MAN＝∠APO，
∵∠ANM＝∠APO，
∴△AMN∽△PAO，
∴ ，
∴ ，
∴m＝﹣
∴M（﹣ ，1）．


【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判断和性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可，判断出△AMN∽△PAO是解本题的关键．
25．（10分）若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且△ABC恰好是直角三角形并满足OC2＝OA•OB，则称抛物线y＝ax2+bx+c是“雅实抛物线”，其中较短直角边所在直线为“雅线”，较长直角边所在直线为“实线”
（1）若“雅实抛物线”y＝x2+mx+n的“雅线”y＝kx﹣1与x轴交点坐标（ ，0），求m、n、k的值．
（2）已知“雅实抛物线”y＝﹣ x2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣1，0），其“实线”与反比例函数y＝ 的一个交点的横坐标是﹣4，求反比例函数解析式；
（3）已知“雅实抛物线”y＝ x2+bx﹣ c（b≠0）的“雅线”、“实线”及x轴围成的三角形面积S的取值范围是3 ≤S≤4 ，设t＝﹣2b4+16b2+2018，求t的最大值．
【分析】（1）由雅线与y轴的交点可得n＝﹣1，根据雅线与x轴的交点可得k＝2，再依据雅线与x轴的交点可得m＝ ；
（2）根据雅实抛物线定义知﹣ •c＝﹣1，得c＝2，由抛物线与x轴的交点可求得b＝ ，继而由抛物线的实线过（0，2），（4，0）求得其解析式，继而可得答案；
（3）先根据雅实抛物线定义得c＝1，由抛物线与x轴的交点及三角形的面积公式、一元二次方程根与系数的关系得S＝ |x1﹣x2|• ＝ • ＝  ，结合S的范围知8≤b2≤ ，令m＝b2，即8≤m≤ ，根据t＝﹣2m2+16m+2018＝﹣2（m﹣4）2+2050可得答案．
【解答】解：（1）由题意得n＝﹣1，
∵y＝kx﹣1过点（ ，0），
∴k＝2，
又∵y＝x2+mx﹣1过点（ ，0），
∴m＝ ；

（2）∵﹣ •c＝﹣1，
∴c＝2，
∵y＝﹣ x2+bx+2过点（﹣1，0），
∴b＝ ，
又∵y＝﹣ x2+ x+2实线过（0，2），（4，0），
∴实线为y＝﹣ x+2，
∴交点为（﹣4，4），
∴反比例函数为y＝﹣ ；

（3）由题意得c＝1，
∴S＝ |x1﹣x2|• ＝ • ，
∴S＝  ，
又∵3 ≤S≤4 ，
∴3 ≤  ≤4 ，
∴8≤b2≤ ，
令m＝b2，
∴8≤m≤ ，
∴t＝﹣2m2+16m+2018＝﹣2（m﹣4）2+2050，
∴当m＝8时，t取得最大值，最大值为2018．
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是理解“雅实抛物线”的定义，并熟练运用该定义及抛物线与坐标轴的交点，直线与双曲线相交，一元二次方程根与系数的关系等知识点．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx﹣8k（k＜0）与x轴，y轴分别交于A、B两点，将直线l沿x轴翻折交y轴于点C，连接AC，过点B作BD⊥AC垂足为点D，并交x轴于点E．
（1）当∠BAO＝30°时，求直线l解析式及点E坐标；
（2）若AB＝2BE，求S△ABC；
（3）在（2）问条件下，构造抛物线y1，y2，其中抛物线y1经过A、B、E三点，其二次项系数为m；抛物线y2＝ax2+bx+c同时满足以下三个条件：①过线段OE中点；②5a+3b+2c＝0；③当 ≤x≤ 时，函数y2有最大值m；求a的值．

【分析】（1）由题意可得：点A（8，0），点B（0，﹣8k），根据锐角三角函数可求k的值，即可得直线解析式，由题意可证△ABC是等边三角形，可得∠EBO＝30°，根据锐角三角函数可求OE的长，即可求点E坐标；
（2）由题意可证△BOE∽△AOB，可得 ，且AB＝2BE，即 ，则OB＝4＝OC，即可求S△ABC；
（3）由题意可求点A（8，0），点B（0，4），点E（2，0），即可求抛物线y1解析式，可得m的值，由题意可得y2＝ax2+bx+c＝ax2﹣3ax+2a＝a（x﹣1）（x﹣2），可得抛物线y2的对称轴为直线x＝ ，分a＞0，a＜0两种情况讨论，可求a的值．
【解答】解：（1）∵y＝kx﹣8k（k＜0）与x轴，y轴分别交于A、B两点，
∴点A（8，0），点B（0，﹣8k）
∵∠BAO＝30°
∴tan∠BAO＝ ＝
即 ＝
∴k＝﹣
即点B（0， ），BO＝
∴直线解析式y＝﹣ x+
∵将直线l沿x轴翻折交y轴于点C
∴AC＝AB，∠BAO＝∠CAO＝30°
∴∠BAC＝60°
∴△ABC是等边三角形，且BD⊥AC
∴∠CBD＝30°＝∠ABD
∴BO＝ OE
∴OE＝
∴点E（ ，0）
（2）∵翻折
∴∠BAO＝∠CAO，OB＝OC
∵AO⊥BO，BD⊥AC
∴∠OBE+∠BEO＝90°，∠CAO+∠AED＝90°
∴∠OBE＝∠CAO＝∠BAO
且∠AOB＝∠AOB
∴△BOE∽△AOB
∴ ，且AB＝2BE
∴
∴OB＝4＝OC
∴BC＝OB+OC＝8
∴S△ABC＝ ×8×8＝32
（3）∵△BOE∽△AOB
∴
∴OE＝2，OB＝4
∴点A（8，0），点B（0，4），点E（2，0）
∵抛物线y1经过A、B、E三点，其二次项系数为m；
∴设y1＝m（x﹣2）（x﹣8）过点B
∴4＝16m
∴m＝
∵点O（0，0），点E（2，0）
∴线段OE的中点（1，0）
∵抛物线y2＝ax2+bx+c过线段OE中点；且5a+3b+2c＝0；
∴
解得：
∴抛物线y2＝ax2+bx+c＝ax2﹣3ax+2a＝a（x﹣1）（x﹣2）
∴对称轴为直线x＝
∵当 ≤x≤ 时，函数y2有最大值m；
∴当 ≤x≤2时，函数y2有最大值 ；
若a＞0时，当x＝ 时，函数y2有最大值．
∴a（ ﹣1）（ ﹣2）＝
∴a＝
若a＜0时，当x＝ ，函数y2有最大值．
∴a（ ﹣1）（ ﹣2）＝
∴a＝﹣1
综上所述：a＝﹣ 或﹣1
【点评】本题考查了二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数，相似三角形的性质和判定，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．

水水水

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2020-6-14 19:56 上传

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